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第二章热传导方程§1热传导方程及其定解问题的导出§2初边值问题的分离变量法§3柯西问题§4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性§5解的渐近性态*傅里叶实验定律§2.1热传导方程及其定解问题的导出1.热传导方程的导出在该点的热传导系数热量从温度高流向温度低外法向量物体在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷小面积dＳ的热量dQ与物体温度沿曲面dＳ法线方向的方向导数成正比，即在物体Ｇ内任取一闭曲面，它所包围的区域记为，则从时刻到流进此闭曲面的总热量为该点附近在到时刻吸收热量密度：比热容：故内在到时刻吸收的总热量由能量守恒：利用高维N-L积分公式，左端N-L公式及交换下积分次序*高斯定理（体积分化成曲面积分）:设

是以足够光滑的曲面为边界的有界区域（可以是多连通区域），

在

上具有连续偏导数的任意函数，则成立记则由第二曲面积分定义由积分区域任意性，知特别系数都为常数时，注有热源情况：单位时间内单位体积所产生的热量为F(x,y,z,t).故在区域，时段的总热量为则有热源的热传导方程为2.扩散方程的导出*Nerst扩散定律扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线方向的方向导数成正比，即在该点的扩散系数扩散物从浓度高流向浓度低因此类似热方程推导：3定解问题的提法（以热方程为例）*边界条件*初始条件或或表面温度已知：称为第二类边界条件（Neumann边界条件）热量在表面各点的流速已知：称为第一类边界条件（Dirichlet边界条件）定义在傅里叶定律热传导实验定律（牛顿定理）：从物体流到介质中的热量和两者温度差成正比注意到傅里叶定律：一般形式：或介质初始条件泛定方程：初边值

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