氢原子薛定谔方程的解

定态薛定谔方程为：11.10氢原子的薛定谔方程的解1、氢原子的定态薛定谔方程氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为:由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：在球坐标系下：在球坐标系下的薛定谔方程：此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解，即设代入上式得：方程（1）的解为方程（2）的解为由标准化条件决定：l=0,1,2,•••••,同时限定给定一lml只能取下列2l+1个：是连带的勒让德函数角度部分的解：方程（3）的解为其中：Nnl为归一化常数，为一常数，为缔合勒盖尔多项式。同时规定了l的取值范围，即对于某一确定n,l可能取n个值：l=0,1,2,…n-1氢原子的波函数：讨论n、l、ml参数的物理意义为主量子数或称能量量子数。（1）能量量子化在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取一些分立的负值，即：n=1的能级称为基态能级n>1的能级称为激发态能级：如图所示，n增大时，能级间隔减小；n很大时间隔非常小，可看成连续变化。126

534氢原子能级图-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eVEnl主量子数

n（2）角动量量子化方程（2）得到的波函数

(

)表明：电子绕核转动的角动量是量子化的，其大小为：其中：l称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数的空间对称性。说明：1、L只能取由l决定的一系列分立值，即量子化。2、不同的n值，只要l=0，则L=03、对于同一n值，l不同时，L有不同的值。所以氢原子内电子的运动状态必须同时用n,l才能确切地表征。一般s、p、d、f、g……等字母表示l=0,1,2,……，显然，对于s态的电子来说，其动量矩L=0.（3）角动量的空间取向量子化方程（1）得到的波函数

(

)表明：电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：这里的ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个l，ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设 如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情形。ml=Lz/h1-100011-1-1-2-2223-3（4）电子自旋电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。KBNSPK原子射线；B狭缝；NS磁场；P照相板结果：无外场时，P上沉积一条正对B的痕迹；有外场时，出现几条不连续的线状痕迹。此实验最初用s态银原子进行，原子射线分裂为二条，且二者偏转上下对称。因s态原子l=0本身无动量矩和磁矩。1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。量子力学的计算：自旋动量矩S为自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz只能有如下两种取值：为正时，称为自旋向上。为负时，称为自旋向下。确定氢原子的状态的四个量子数主量子数决定电子的能量。角量子数