数学模型姜启源第五章微分方程模型

5.1传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型第一页第二页，共62页。已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为

模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第二页第三页，共62页。模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为

,且使接触的健康人致病建模

~日接触率SI模型第三页第四页，共62页。模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻

(日接触率)tm

Logistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大第四页第五页，共62页。模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为

~日治愈率建模

~日接触率1/

~感染期

~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。第五页第六页，共62页。模型3i0i0接触数

=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0第六页第七页，共62页。模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率

,

接触数=/建模需建立的两个方程第七页第八页，共62页。模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质第八页第九页，共62页。模型4消去dtSIR模型相轨线的定义域相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析第九页第十页，共62页。si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减

相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0第十页第十一页，共62页。模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段

(日接触率)卫生水平

(日治愈率)

医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/

的估计降低s0提高r0提高阈值1/

降低

(=

/

)

,

群体免疫第十一页第十二页，共62页。模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提高阈值1/

降低被传染人数比例xs0-1/

=

第十二页第十三页，共62页。5.2经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0第十三页第十四页，共62页。模型假设静态模型每个劳动力的产值每个劳动力的投资z随着

y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生产函数含义？Douglas生产函数第十四页第十五页，共62页。QK~单位资金创造的产值QL~单位劳动力创造的产值

~资金在产值中的份额1-

~劳动力在产值中的份额更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数1.Douglas生产函数第十五页第十六页，共62页。w,r,

K/L

求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）第十六页第十七页，共62页。3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)劳动力相对增长率为常数第十七页第十八页，共62页。Bernoulli方程第十八页第十九页，共62页。产值Q(t)增长dQ/dt>03)经济增长的条件第十九页第二十页，共62页。劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt>03)经济增长的条件第二十页第二十一页，共62页。5.3正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型第二十一页第二十二页，共62页。一般模型每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方非战斗减员率与本方兵力成正比甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型第二十二页第二十三页，共62页。正规战争模型甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战忽略非战斗减员假设没有增援f(x,y)=

ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率第二十三页第二十四页，共62页。0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型乙方胜第二十四页第二十五页，共62页。游击战争模型双方都用游击部队作战甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加忽略非战斗减员假设没有增援f(x,y)=

cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积第二十五页第二十六页，共62页。0游击战争模型线性律模型第二十六页第二十七页，共62页。0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第二十七页第二十八页，共62页。5.4药物在体内的分布与排除药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计

药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学

建立房室模型——药物动力学的基本步骤房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)第二十八页第二十九页，共62页。中心室周边室给药排除模型假设中心室(1)和周边室(2),容积不变药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立第二十九页第三十页，共62页。线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立第三十页第三十一页，共62页。几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0

瞬时注射剂量D0的药物进入中心室,血药浓度立即为D0/V1给药速率f0(t)和初始条件第三十一页第三十二页，共62页。2.恒速静脉滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指数规律趋于零药物以速率k0进入中心室0Tt££第三十二页第三十三页，共62页。吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)第三十三页第三十四页，共62页。参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,

n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,

由较小的用最小二乘法定B,

第三十四页第三十五页，共62页。参数估计进入中心室的药物全部排除第三十五页第三十六页，共62页。过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型分析分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境认为是不变的。问题5.5香烟过滤嘴的作用第三十六页第三十七页，共62页。模型假设定性分析1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a,a´+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和

4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u，v>>uQ~吸一支烟毒物进入人体总量第三十七页第三十八页，共62页。模型建立0t=0,x=0，点燃香烟q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)第三十八页第三十九页，共62页。t时刻，香烟燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)第三十九页第四十页，共62页。3)求w(ut,t)第四十页第四十一页，共62页。4)计算Q第四十一页第四十二页，共62页。结果分析烟草为什么有作用?1）Q与a,M成正比，aM是毒物集中在x=l处的吸入量2)~过滤嘴因素，

,l2~负指数作用是毒物集中在x=l1处的吸入量3）

(r)~烟草的吸收作用b,l1~线性作用第四十二页第四十三页，共62页。带过滤嘴不带过滤嘴结果分析4)与另一支不带过滤嘴的香烟比较，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高

-b与加长l2，效果相同第四十三页第四十四页，共62页。5.6人口预测和控制年龄分布对于人口预测的重要性只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程第四十四页第四十五页，共62页。人口发展方程一阶偏微分方程第四十五页第四十六页，共62页。人口发展方程~已知函数（人口调查）~生育率（控制人口手段）0tr第四十六页第四十七页，共62页。生育率的分解

~总和生育率h~生育模式0第四十七页第四十八页，共62页。人口发展方程和生育率~总和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反馈系统滞后作用很大第四十八页第四十九页，共62页。人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按

(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制

(t)不过高第四十九页第五十页，共62页。5.7烟雾的扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。问题分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。观察的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏程度有关。第五十页第五十一页，共62页。模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律。2）光线穿过烟雾时光强的减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强。3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。模型建立1）烟雾浓度的变化规律热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比第五十一页第五十二页，共62页。曲面积分的奥氏公式1）烟雾浓度的变化规律第五十二页第五十三页，共62页。初始条件Q~炮弹释放的烟雾总量

~单位强度的点源函数对任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2;R

C

仅当t

,对任意点(x,y,z),C01）烟雾浓度的变化规律第五十三页第五十四页，共62页。2）穿过烟雾光强的变化规律光强的减少与烟雾浓度成正比第五十四页第五十五页，共62页。3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限烟雾浓度连续变化