与三角形外角有关的定理

第2课时与三角形外角有关的定理北师大版八年级上册情景导入三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.三角形的外角：观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？1.∠1的顶点在三角形的一个顶点上;2.∠1的一条边是三角形的一条边;3.∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线.定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.DABC1234已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.求证：∠1=∠2+∠3探索新知证明：∵∠4+∠2+∠3=180°

（三角形内角和定理）

∴∠2+∠3=180°-∠4（等式的性质）

∵∠1+∠4=180°(1平角=180°)∴∠1=180°-∠4（等式的性质）∴∠1=∠2+∠3(等量代换)DABC1234定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.求证：∠1>∠2,∠1>∠3DABC123证明:∵∠1=∠2+∠3

（三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和）∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).DABC123在这里，我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.三角形内角和定理的推论:定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.例2已知：在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求证：AD∥BC.分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠B=∠C（已知），∴∠C=∠EAC（等式的性质）∵AD平分∠EAC（已知）∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）∴∠DAC=∠C（等量代换）∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）例3已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.求证：∠BPC>∠A.证明：如图，延长BP，交AC于点D∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）∴∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BPC＞∠AD随堂练习1.已知：如图所示，在△ABC中,∠DCA=100°,∠A=45°求：∠B和∠ACB的大小.ABCD100°45°解：∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知)∠DCA=100°(已知)∠A=45°(已知)∴∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义)∴∠ACB=80°(等式的性质)2.已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。求∠1+∠2+∠3的度数。

1A23BC解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角

∴∠1=∠ABC+∠ACB

∠2=∠BAC+∠ACB

∠3=∠ABC+∠CAB∵三角形内角和为180°∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°∴∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+∠ABC+∠ACB）=360°

1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定巩固练习C①三角形的一个外角等于两个内角的和。（）②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（）③三角形的一个外角大于任何一个内角。（）④三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（）2.判断对错.×√×√3.如图所示，在△ABC中，E、F

分别在AB、AC上，则下列各式不能成立的是（）A.∠BOC=∠2+∠6+∠AB.∠2=∠5-∠AC.∠5=∠1+∠4D.∠1=∠ABC+∠4C4.如图，△ABC的外角平分线与BA的延长线交于D点.求证：∠BAC>∠B.解：∵∠2是△BDC的外角

∴∠2=∠B+∠D∴∠B＜∠2∴∠B+∠BAC=∠1+∠2=2∠2∵∠B＜∠2∴∠BAC＞∠2∴∠BAC＞∠B