专题02 角度计算经典压轴大题专训（解析版）

专题02角度计算经典压轴大题专训【精选最新30道角度计算经典压轴大题】1．（2023春·北京怀柔·七年级统考期末）如图，直线与的两边交于，两点，，点是边上一个动点，连接．

(1)过点作，交射线于点，依题意补全图形，①直接写出的度数（用含α的式子表示）；②若点，在，的延长线上，并且直线，当平分时，求的度数（用含的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点作交射线于点，通过转化角可以求出的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出的度数．(2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点，在，的延长线上，并且直线，当点在上运动时，直接用含的等式表示，，的数量关系．【答案】(1)①；②；(2)或或．【分析】（1）①根据垂直定义即可得解；②由平行线的性质得，进而根据角平分线得，最后利用三角形的内角和定理即可求解；（2）分点在线段上，点在线段上以及点在射线上三种情形讨论求解即可．【详解】（1）解：①补图如下，

∵，∴，∵，∴；②如下图，

∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：过点作交射线于点，当点在线段上时，如下图，

∵，，∴，，∵，∴，当点在线段上时，如下图，

∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；当点在射线上时，如下图，

∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴．综上所述，或或．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）在中，，点在射线上运动（点不与、重合），连接，过点作，垂足为，交射线于点．

(1)如图1，当点在线段上时，过点作交于．求证：；(2)如图2，作的角平分线和的角平分线且相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由．(3)如图3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于，的角平分线与的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)的度数不会变化；理由见解析(3)的度数不会变化；理由见解析【分析】（1）先证得，再由可得，最后证得；（2）由角平分线定义可得，，从而证得，最后在中，可得；（3）先证得，再证明，由角平分线性质可得，，最后得出结论．【详解】（1）∵∴在中，

又∵∴∴∴

∵∴

∴∴在中，∴（2）的度数不会变化；理由：∵∴在中，

∵、的角平分线相交于点P

∴，由①得，∴

∴∴在中，（3）的度数不会变化；理由：如图：

∵∴在中，又∵∴∴∵∴∴∴设的平分线交于H点∵平分、平分∴，∴

∴∴∴的度数不会变化【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和平行线的性质．3．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）【基础巩固】（1）如图1，已知，求证：；【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，求的度数；【拓展提高】（3）如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，．①试求出的度数；②已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长．2.1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时，________；2.2如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，则________（用含的代数式表示）．

【答案】（1）见解析（2）40°（3）①90°②2.1：15°或60°或120°，2.2：【分析】（1）由，再结合两直线平行内错角相等即可证明；（2）过点作，交于点，再结合（1）证明计算求值即可；（3）①设，，根据两直线平行同旁内角互补可得，求得即可；②第一问根据三角形内角和，求得，由得到，进而可得，再分和所在直线垂直、和所在直线垂直于、和所在直线垂直三种情况计算求值即可；第二问利用三角形外角的性质求得，进而可得，再由计算角度差即可解答；【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）如下图过点作，交于点，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（3）①设，，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；②2.1：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，如图和所在直线垂直于点M时：

，如图和所在直线垂直于点G时：

∵，∴，，如图和所在直线垂直于点C时：

，∴或或；2.2：由2.1可知，，∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，∴，∴；【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识；掌握相关性质和定理是解题关键．4．（2023春·四川·七年级统考期末）如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．

(1)如图1，当时，求证：；(2)如图2，当时，直线交直线于点，问与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；(3)如果将（2）中的条件改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．【答案】(1)证明见解析(2)结论：，证明见解析(3)结论：【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，推出，得到，即可得证；（2）角平分线和平角的定义，推出，三角形的内角和得到，在四边形中，，得到，进而得到；（3）角平分线和平角的定义，推出，三角形的内角和得到，在四边形中，，得到，进而得到．【详解】（1）证明：∵，∴，∵是的平分线，是的平分线∴，，∴，∴，∴．

（2）结论：证明：∵是的平分线，是的平分线，

∴，，∵，∴，在中，，∴，∵在四边形中，，∴，∴；（3）结论：，如图：∵是的平分线，是的平分线，

∴，，∵，∴，∴在中，，∴，∵在四边形中，，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线有关的计算，三角形的内角和定理．熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．5．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则．

(1)如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线（与光线平行，且，则_______°，______°；(2)如图3，有三块平面镜，，，入射光线与镜面的夹角，镜面，的夹角，当光线经过平面镜，，的三次反射后，入射光线与反射光线平行时，请求出的度数；(3)如图4，在（2）的条件下，在，之间再照射一条光线，经过平面镜，两次反射后反射光线与交于点，请探究与的数量关系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合的性质及三角形内角和定理即可得到答案；（2）过作，如图所示，根据题中平面镜反射角度之间的关系，结合的性质及三角形内角和定理即可得到答案；（3）根据题中平面镜反射角度之间的关系，在（2）的基础上，得出相关角度，再结合四边形内角和、四边形内角和，列方程组求解即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示：

根据题意，，，，，，，，在中，由三角形内角和定理可得，故答案为：，；（2）解：过作，如图所示：

，，，，，，，则，在中，，，则由三角形内角和定理可得，，则，；（3）解：如图所示：

由（2）知，，，，由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形中，，，，，则，，由于一个四边形可以分成两个三角形，由三角形内角和定理可知，在四边形中，，，由与，代入已知角度有与，可得，，解得．【点睛】本题考查利用数学知识探寻平面镜反射中角度关系，涉及平行线的性质、平面镜反射角度关系、三角形内角和定理、四边形内角和为及恒等变形等知识，读懂题意，理解平面镜反射角度之间的关系，数形结合，准确表示各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．6．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）已知，、直线分别交、于点，、．点在直线的左侧，射线平分．

(1)如图1，若，直接写出与的度数；(2)点在直线的左侧，，，直线与直线相交于点．①如图2，当点在直线上方时，设，用含的式子分别表示与；②若，请直接写出此时的度数．【答案】(1)，(2)①，；②或【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，求出的度数，再根据角平分线的定义求出度数即可；（2）①根据题意表示出和，再根据三角形内角和定理求解即可；②分四种情况表示出与，再代入中即可求解．【详解】（1）解：（1）∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∵射线平分，∴．即：，．（2）①已知，且，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，根据三角形内角和定理，∴，故；由（1）知，，，∵，∴，∴，故．②设，；（Ⅰ）当时，则，即：此时点在直线的上方，由①可知，，∵，∴，∴，∴．（Ⅱ）当时，，即：此时点在直线的上，则直线（直线）与直线相交于点和点重合，不符合题意，（Ⅲ）当时，则，即：此时点在直线的下方，点在直线的上方，

∵，∴，∵，∴，∵，，则，∴，则，∴，根据三角形内角和定理，∴，故；∵射线平分，∴，∴，故∵，∴，∴，∴．（Ⅳ）当时，则，即：此时点在直线的下方，点在直线的上方，

则，，由上可知，，，∴，故；∵射线平分，∴，∴，故，∵，∴，∴，不符合题意，当时，，点在直线的右侧，不符合题意，综上，或．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等基础知识，利用等量代换思想是解题的关键．7．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）平面内有两个锐角与，点B在直线的上方．保持不动，且的一边，另一边与直线相交于点F．

(1)若，，且位置如图1，当点E，O，D在同一条直线上（即点O与点F重合）时，________°；(2)若，，，当点E，O，D不在同一条直线上，画出图形并求的度数（用含α，β的式子表示）．【答案】(1)85(2)或，图见解析【分析】（1）根据平行线性质和角的和差关系解出即可；（2）分情况画出图形，利用平行线性质，三角形内角和性质，对顶角的性质，三角形外角的性质即可探究出结论．【详解】（1）∵，∴，∴，故答案为：85；（2）①点在下方时，如图，设与交于点，

∵，∴，∴；②点在下方时，如图，

过点向右作，则，∵，∴，∴，∴，∴．③当点在下方时，设与交于点，如图，

∵，∴，又∵，∴,∵，∴．④点在左侧时，延长与交与点，过点作，如图：

∵，∴，∵，，∴，∴，∴；⑤点在右侧时，与交于点，如图：

∵，∴，∴，∴；⑥点在下方时，与的延长线交于点，如图：

∵，∴，∴，∴；综上，的度数为或．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质，准确作出图形是解题的关键．8．（2023春·广东广州·七年级校考期中）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动.其中，满足方程组(1)求，的值；(2)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）；(3)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值.【答案】(1)，(2)(3)=10或66或130或138.【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可求解.（2）设运动的时间为，根据邻补角定义，将用表示，再根据可求出度数，利用平行可求出度数，从而根据外角定义即可求出度数.（3）根据题意分情况讨论，列出对应的有关的一元一次方程，按照一元一次方程的解法即可求出值.【详解】（1）解：，得③，得，.将代入①得，.故答案为：，.（2）解：设直线交于点，如图所示，的度数为，，.设运动的时间为，则运动的时间为，，.，，.，.，，.，.故答案为：.（3）解：，，，先运动30秒，.当时，在左侧，，，，，，，.当时，在左侧，，在右侧，，.当时，在右侧，，在左侧，，.当时，，.综上所述，的值为10或66或130或138.故答案为：=10或66或130或138.【点睛】本题考查的是平行线的综合题，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质和动点过程中的分类讨论情况.9．（2023春·江苏常州·七年级校考期中）如图，直线，，分别交，于点、，射线、分别从、同时开始绕点顺时针旋转，分别与直线交于点、，射线每秒转，射线每秒转，，分别平分，，设旋转时间为t秒．

(1)用含t的代数式表示：________°，________°；(2)当时，________；(3)试探索与之间的数量关系，并说明理由；(4)若的角平分线与直线交于点，的度数是________．【答案】(1)，(2)或(3)，理由见解析(4)或【分析】（1）根据题意可难得出的度数为，；（2）由平行线的性质可得，再由可得，从而可得，结合所给的条件即可求解；（3），分别用含的代数式表示出和的度数，再结合三角形的内角和，可表示出，进行比较即可求解；（4）可分在的左边与在的右边两种情况进行讨论，再把的和的度数用含的代数式表示出来，再利用三角形的内角和求的度数即可．【详解】（1）解：①由题意得：，，，，；故答案为：，；（2）①当点在左侧时，，，，，，，，，解得：；②当点在右侧时，如图，

，，，，，，，，，，解得：；∴t的值为或；（3），理由：平分，由（2）得，，由（1）得，在中，，；（4）①当点在的左边时，如图所示：

由（2）得，，是的平分线，，由（1）得：，，在中，．②当点在的右边时，如图所示：

由题意可知：，则有，，平分，平分，，，，在中，．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，解答的关键是对这些知识点的掌握与熟练应用．10．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）已知，点在直线、之间，连接、．

(1)探究发现：探究，，之间的关系．如图1，过作，（）（已知）（）；(2)解决问题：①如图2，延长至点，作的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，试判断与的数量关系并说明理由；②如图3，若，分别作，，、分别平分，，则的度数为（直接写出结果）．【答案】(1)两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行，，(2)①，理由见解析；②【分析】（1）过作，根据两直线平行，内错角相等，可得，再由平行于同一条直线的两直线平行推出，则，进而得出结论；（2）①过点作，根据平行线的性质可得，由平行于同一条直线的两直线平行推出，则，再根据角平分线的性质和邻补角的性质可得，再根据（1）中的数量关系可得，进而得出结论；②作，根据平行线的性质可得，，延长交延长线于点，延长，设，，先推出，则，由角平分线的性质及平行线的性质可得，再由三角形外角的性质求得，即可求得．【详解】（1）解：如图1，过作，

（两直线平行，内错角相等）（已知）（平行于同一条直线的两直线平行），；故答案为：两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两直线平行，，；（2）解：①过点作，

，，，，，的角平分线和的角平分线的反向延长线交于点，，，，由（1）可得，，，；②如图，作，延长交延长线于点，延长，

，，，，，同理可得，，设，，，，，，，由（1）知，，，，、分别平分，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握知识点，正确构造辅助线是解题的关键．11．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：．（2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则°（3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是．A．

B．C．

D．（4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数．【答案】（1）；理由见解析（2）（3）A（4）【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；（2）根据（1）的结论即可得到结果；（3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案；（4）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可．【详解】解：（1）；理由如下：由折叠的性质得：，，∴①，又∵，∴②，由①②得：，故答案为：；（2）由（1）可得，，，∴，∴，故答案为：；（3）理由：∵于点M，于点N，∴，，∴，由（1）知，∴，∴，故选：A；（4）由（1）得：，得，∴，∵平分，平分，∴，∴．【点睛】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键．12．（2023春·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）已知，点M、N分别在直线上，与的平分线所在的直线相交于点F．

(1)如图1，点E、F都在直线之间且时，的度数为___________；(2)如图2，当点E在直线之间，F在直线下方时，若，求的度数；(3)如图3，当点E在直线上方，F在直线与之间时，直接写出与之间的数量关系为___________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图1，过作，，设，，则，根据平行线的判定和性质可得，，即可求解；（2）根据平行线的性质和三角形的内角和定理可得，由（1）可得，结合已知条件即可求得结果；（3）如图3，延长交于点P，根据平行线的性质可得，，，根据三角形的外角性质即可推出，，进而可得结论．【详解】（1）设，，∵与的平分线所在的直线相交于点F∴，如图1，过作，，

，∴，，，，∴，，即，，∴，，∵，∴，∴；（2）如图2，，∴，∵，∴，由（1）可得：，∴，∵，∴，∴；

（3）如图3，延长交于点P，

，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形，找到角与角之间的关系是解题的关键．13．（2023春·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）如图，直线，点E、F分别是、上的动点（点E在点F的右侧），点M为线段上的一点，点N为射线上的一点，连接且．(1)如图1，若，则______；(2)如图2，连接，且恰好平分，，求的度数；(3)过点M作于H，G在射线上，连接，，若平分，，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据，得到，根据得到，结合三角形内角和定理直接求解即可得到答案；（2）设，根据平分得到，根据得到，结合列式求解即可得到答案；（3）设，根据得到，根据得到，结合得到，结合得到，根据，得到，根据平分得到，根据三角形内角和列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：设，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴；（3）解：设，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分,∴，∵，∴，解得：，∴的度数为：；【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线有关计算，解题的关键是根据平行线性质及角平分线得到角度关系列式求解．14．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图1，直角与直角的斜边在同一直线上，，，平分，将绕点D按逆时针方向旋转，记为，在旋转过程中，

(1)如图2，当等于多少时，？(2)如图2，当________________时，与的一边平行；(3)如图3，当顶点C在内部时（不包含边界），边分别交的延长线于点M、N，①与度数的和是否变化？若不变，求出与的度数和；若变化，请说明理由；②若使得，求的度数范围（直接写出结论）．【答案】(1)(2)或或(3)【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）分、、三种情况，利用平行线的性质和三角形的内角和定理或外角性质分别求解即可；（3）①连接，由三角形内角和定理得出，则，由三角形内角和定理得出，即，即可得出结论；②先求得，由，，得出，解得，由三角形内角和定理得出，即，得出，解得，即可得出结果.【详解】（1）解：当时，，∵，，∴，故当时，；（2）解：当时，如图①，则，

∴，则，由（1）知，；当时，如图②，则，

∵，，∴，∴；当时，如图③，则，

∴，∴，综上，当或或，故答案为：或或；（3）解：连接，

在中，∵，∴，在中，，则，∴；②∵，平分，，∴，∴，当点C在边上时，，则，当点C在边上时，，∴当顶点C在内部时，；∵，，∴，∴，∵在中，，，即，∴，∴，则，∴的度数范围为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、不等式等知识，合理选择三角形，利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．15．（2022春·江西抚州·七年级临川一中校考期中）已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设．

(1)如图1，若，则：①的度数是________；②如图2，当时，试求的值（要说明理由）；(2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图）【答案】(1)①；②的值为60(2)存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或【分析】（1）①利用角平分线的性质求出的度数即可；②利用角平分线的性质和平行线的性质求得；（2）分类讨论：当点在线段上和点在射线上两种情况，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：①，平分，，，，故答案为：；②如图所示，

，，平分，，，，，，，，即，的值为60；（2）解：如图，当点在线段上时，

，，，若，则，即；若，则，，即；若，则，，即；如图，点在射线上时，

，，，三角形的内角和为，只有，此时，即，则不在射线上，舍去；综上所述，存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或．【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质的应用，熟练掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，是解题的关键．16．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．【概念理解】(1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；(2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°；(3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由；【应用拓展】(4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）根据开心三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案；（2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可；（3）由是开心中最小的内角，则与互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可；（4）分与互为开心角和与互为开心角两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：设最小角为，∵为开心三角形，，∴，∴，∴这个三角形中最小的内角为．故答案为：；（2）∵，当与互为“开心角”时，则最小角为；当与互为“开心角”时，设最小角为，∴，∴，综上：为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为；故答案为：40；（3）∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，∴另一个开心角是，∴第三个内角是，∵是最小内角，∴，∴；（4）∵平分的内角，平分的外角，∴，，∵，∴，即，又∵，则，∵，，∴，即，∴，∴①当与互为开心角时，或，∴或，解得或；②当与互为开心角，或，∴或，解得；综上所述：或或．【应用拓展】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质以及开心角和开心三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．17．（2023春·辽宁大连·七年级校联考期中）（1）已知，如图，直线，点在和之间，点在上，点在上，直接写出，，之间的数量关系；（2）已知直线，点，在直线上，点、在直线上，和交于点，、的平分线交于点，如图．①若，，则______；②探究与的数量关系；（3）在（2）条件下，将线段向左平移，使点移动到点的左侧，如图，其它条件不变，若，，求的度数（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）①，②；（3）【分析】（1）如图，过作，根据平行线的性质即可得到结论；（2）①根据平角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质即可得到结论；②由（1）知，，根据角平分线的定义得到，，等量代换即可得到结论；（3）根据角平分线的定义得到，根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：（1）；理由：如图，过作，，，，；（2）①，，，，，平分，，，故答案为：；②，理由：由（1）知，，平分，平分，，，；（3），平分，，，，平分，，过作，，，，，．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平移的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．18．（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于．试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出与之间的数量关系为；(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；(3)图2中，和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系？说明理由(4)应用：如图2，当时，直接说出的度数．【答案】(1)(2)6(3)，理由见详解；(4)【分析】（1）由三角形内角和定理可得，进而可求解；（2）根据“8字形”的定义即可求解；（3）由，，和平分和，可得，即可求解；（4）由（3）中关系式即可求解；【详解】（1）解：由三角形内角和定理可知，∵，∴，故答案为：；（2）与与与与与与，共六个；故答案为：6；（3）∵，∴，∵，∴，∵和平分和，∴、，∴，∴．（4）∵，由（3）知，∴．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．19．（2023春·江苏·七年级期中）【概念认识】如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．(1)如图②，在中，，，若的三分线交于点D，则°；(2)如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；【延伸推广】(3)在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点P．若，，直接写出的度数．(用含m、n的代数式表示)【答案】(1)85或100(2)(3)或或或或【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数；（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得∠，进而可求的度数；（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．分四种情况画图：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据，，即可求出的度数．【详解】（1）解：如图，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，；故答案为：85或100；（2）∵，∴，∴，又∵、分别是邻三分线和邻三分线，∴，∴，∴，在中，，∴．（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，由题意可得：，，∵，∴；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，由题意可得：，，∵，∴；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，由题意可得：，，∵，∴；情况四：如图④、⑤，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，①当时，，，∵，∴；②当时，，，∵∴．综上所述：的度数为：或或或或【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角性质．注意要分情况讨论．20．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）如图1，的平分线与的平分线交于点E，，则的大小是；（2）如图2，的平分线与的平分线交于点E，，求的大小；（用含的代数式表示）（3）如图3，在中，，是的角平分线，点E是延长线上一点，作与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不变，【分析】（1）延长，与交于点H，过点E作射线，根据三角形的外角定理得，求得，再根据角平分线定义求得，再根据三角形的外角定理得便可；（2）过点C作射线，根据三角形的外角性质得，再由的平分线与的平分线交于点E，得，根据三角形外角性质得，进而得；（3）由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，根据直角三角形两锐角互余定理得，进而便可求得结果．【详解】解：（1）如图，延长，与交于点H，过点E作射线，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵的平分线与的平分线交于点E，∴，∵，，∴，故答案为：；（2）过点C作射线，如图，∴，∵的平分线与的平分线交于点E，∴，，∵，∴；（3）的值不变，恒为．理由如下：∵，∴，∵是的角平分线，∴，∴∵，∴，∴，故的值不变，恒为．【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质、垂直的性质以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、三角形外角性质及角平分线的性质是解决问题的关键．21．（2023春·七年级课时练习）如图，，相交于点，，.(1)求证：；(2)若，求的度数；（用含的式子表示）(3)若点在上，连接，平分交于点，如图所示，直接写出、、的数量关系.【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)．【分析】（1）通过计算，由平行线的判定内错角相等两直线平行即可证明；（2）依据两直线平行内错角相等及角度计算可得．（3）通过作辅助线，由平行线的性质、角平分线的性质以及三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：，，，；（2）解：如图，过作，，，，，，，，；（3）证明：如图，过点作，，，，，，平分，，，，；故本题答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线及三角形的性质；解题的关键是作辅助线，构造平行线．22．（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿折叠成图1的形状．张明同学发现折叠之后，四边形与四边形是完全相同的图形，因此折痕恰好是的平分线．(1)图1中，若时，求的值；(2)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角，求与形成的夹角的度数．(3)将长方形纸片的右边沿着折叠，左边沿着折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角与、形成的夹角之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据翻折以及平行的性质即可作答；（2）根据题意，结合翻折可知，，，即有，根据，可得，根据，可得，即可得，再根据，有；（3）根据题意，结合翻折可知，，，根据平行的性质有，，根据，可得，根据，可得，即可得，问题随之得解．【详解】（1）∵平分，，∴，∵，∴，即所求角度为；（2）如图，根据题意，结合翻折可知，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）如图，根据题意，结合翻折可知，，，∵，，∴，，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即满足关系．【点睛】本题考查了长方形翻折、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，根据翻折找到正确的角的等量关系是解答本题的关键．23．（2023春·江苏·七年级期末）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：【问题再现】(1)如图1，在中，、的角平分线交于点P，，则______°；【问题解决】(2)如图2，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，求的度数；【问题推广】(3)如图3，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，直接写出______°；【拓展提升】(4)在四边形中，，点F在射线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，，、的角平分线交于点Q，若，，直接写出和α，β之间的数量关系．【答案】(1)110(2)(3)49(4)在左侧；在中间；在右侧【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；（2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；（3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则；（4）分点在点左侧，点在、之间，点在点右侧三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，即，∴，故答案为：110；（2）由折叠的性质可得，，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，即，∴；（3）∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，则∴，∵，即，∴；故答案为：49；（4）当点在点左侧时，如图所示，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴；当在、之间时，如图所示：同理可得，，，∴；当点F在D点右侧时，如图所示：同理可得；综上所述，在左侧；在中间；在右侧．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．24．（2023春·江苏·七年级期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，中，，则的三条高所在的直线交于点；②如图2，中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）．【综合应用】（2）如图3，在中，，平分，过点作于点．①若，则；②请写出与，之间的数量关系；【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．如图，是上一点，则有．如图，中，M是上一点＝，N是的中点，若三角形的面积是m，请直接写出四边形的面积．（用含的代数式表示）【答案】（1）①；②见解析；（2）①；②；（3）【分析】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②分别延长，，两者交于，连接交的延长线于，即为所求；（2）①由三角形内角和定理和角平分线的定义可以得出，再由直角三角形的性质得，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；（3）连接，由中线的性质得，同理：，设，，再求出，，利用面积关系求解即可.【详解】解：（1）①直角三角形三条高的交点为直角顶点，，的三条高所在直线交于点，故答案为：；②如图，分别延长，，两者交于，连接交的延长线于，即为所求；（2）①，，，平分，，，，，，故答案为：；②与，之间的数量关系为：，，，，平分，，，，，，故答案为：；（3）连接，如图所示：是的中点，，，同理：，设，的面积是，，，，，，，

，，，，即：，解得：，，故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的中线，三角形内角和，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.25．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知：如图，直线，于点C，连接且分别交直线a、b于点E、F．(1)如图①，若和的角平分线、交于点M，请求的度数；(2)如图②，若的角平分线分别和直线及的角平分线的反向延长线交于点N和点M，试说明：；(3)如图③，点M为直线a上一点，连接，的角平分线交直线a于点N，过点N作交的角平分线于点Q，若记为，请直接用含的代数式来表示．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，，则，即可得出答案；（2）过点作，利用平行线性质得，，则，再根据角平分线的定义得，再利用等量代换可得答案；（3）根据平行线的性质得，再利用角平分线的定义得，，则，即，进而解决问题．【详解】（1）解：，，和的角平分线、交于点，，，，；（2）如图，过点作，则，，，，，平分，平分，，，，，，；（3），理由如下：，，即，平分，平分，，，，即，，，，，则，，．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．26．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图，，点，分别在直线，上，点在直线和之间．(1)求证：．(2)如图，，点在直线上，且，求证：．(3)如图，平分，平分，且．若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）过点作，根据两直线平行，内错角相等得到，，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到，由邻补角定义得到，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义及平行线的性质得到，最后根据三角形的内角和是即可求解．【详解】（1）解：证明：如图1，过点作，，，，，，，即：；（2）证明：，，，，，即，；（3），，，即，，由（1）可知，，平分，平分，，，又，，，，．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的内角和定理是解题的关键．27．（2023秋·八年级单元测试）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于．如图②，在中，有，点D是延长线上一点．由平角的定义可得，所以．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步应用】如图③，点D，E分别是的边延长线上一点，（1）若，则______；（2）若，则______；（3）若，则______．【拓展延伸】如图④，点D，E分别是的边延长线上一点，（4）若，分别作和的平分线交于点O，则______；（5）若，分别作和的三等分线交于点O，且，，则______；（6）若，分别作和的n等分线交于点O，且，，则______．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）60；（5）100；（6）．【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；（2）根据三角形外角的性质结合三角形内角和定理求解即可；（3）由（2）同理求解即可；（4）根据角平分线的定义可得出，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可；（5）由，，即可求出，再结合（2）即得出，最后由三角形内角和定理求解即可；（6）由，，即可求出，结合（3）可知，最后由三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）由三角形外角的性质可得出．故答案为：；（2）∵，，∴．∵，，∴．故答案为：；