专题02 特殊三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）（解析版）

专题02特殊三角形【考点1】轴对称图形【考点2】轴对称的性质【考点3】利用轴对称设计图案．【考点4】作图﹣轴对称变换．【考点5】作图-最短路线问题【考点6】等腰三角形的性质【考点7】等腰三角形的判定．【考点8】等腰三角形的判定与性质【考点9】逆命题和逆定理【考点10】直角三角形的性质【考点11】勾股定理．【考点12】勾股定理的证明．【考点13】勾股定理的逆定理．【考点14】勾股数．【考点15】勾股定理的应用．【考点16】平面展开﹣最短路径问题．知识点1轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.注意：1.轴对称图形的对称轴是一条直线，2.轴对称图形是1个图形，3.有些对称图形的对称轴有无数条。⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.知识点2轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点3画轴对称图形（1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点；（2）同理分别作出其它关键点的对称点；（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.知识点4轴对称之最短路径问题基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.知识点5等腰三角形的概念与性质等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．知识点2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．知识点6直角三角形①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。②有两个角互余的三角形是直角三角形知识点7勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.理解勾股定理的一些变式：，，.运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段知识点8勾股定理证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.知识点9勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.知识点10勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数知识点11勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题类型二、应用勾股定理解决旗杆高度类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题类型六、应用勾股定理解决航海问题类型七、应用勾股定理解决河的宽度类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题【考点1】轴对称图形1．（2022秋•泗阳县期末）下列冬奥会会徽中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【答案】D【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：D．2．（2023春•绥棱县期末）下列四边形中，对称轴条数最多的是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【考点】轴对称图形．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形由两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，为其两底的中垂线所在的直线．【解答】解：A、矩形是两条对称轴；B、菱形是两条对称轴；C、正方形是四条对称轴；D、等腰梯形是一条对称轴．所以对称轴条数最多的是正方形．故选：C．【考点2】轴对称的性质3．（2023春•兰州期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，∠A＝54°，∠C'＝26°，则∠B等于（）A．36° B．154° C．80° D．100°【考点】轴对称的性质．【答案】D【分析】根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝26°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．故选：D．4．（2023春•高碑店市校级月考）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，下列结论：①AB＝A'B'；②OB＝OB′；③AA'∥BB'中，正确的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】轴对称的性质；平行线的判定．【答案】A【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正确，∴AB＝A′B′，故①正确，所以正确的一共有3个，故选：A．5．（2022秋•明水县校级期末）如图，把长方形ABCD沿EF对折后使AB与A'B'重合，若∠AEF＝110°，则∠1的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】轴对称的性质；平行线的性质．【答案】C【分析】先根据平行线的性质求出∠BFE的度数，再由图形翻折变换的性质求出∠EFG的度数，根据平角的定义即可得出∠1的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∠AEF＝110°，∴∠BFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣110°＝70°，∵长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，∴∠EFG＝∠BFE＝70°，∴∠1＝180°﹣∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：C．【考点3】利用轴对称设计图案．6．（2023春•三明期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】利用轴对称设计图案．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．故选：C．7．（2022秋•南昌期末）在3×3的正方形网格中，将三个小正方形涂色如图所示，若移动其中一个涂色小正方形到空白方格中，与其余两个涂色小正方形重新组合，使得新构成的整个图案是一个轴对称图形，则这样的移法共有（）A．5种 B．7种 C．9种 D．10种【考点】利用轴对称设计图案．【答案】C【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．【解答】解：如图所示：一共有9种轴对称图形．故选：C．【考点4】作图﹣轴对称变换．8．（2023•青羊区校级开学）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．（1）作出三角形ABC关于直线MN的轴对称图形三角形A1B1C1；（2）求三角形A1B1C1的面积；（3）在直线MN上找一点P使得三角形BAC的面积等于三角形PAC的面积．【考点】作图﹣轴对称变换．【答案】（1）作图见解析部分；（2）2；（3）作图见解析部分．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）利用等高模型画出图形即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2；（3）如图，点P，点P′即为所求．9．（2022秋•克什克腾旗期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是y轴，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；（3）求△A1B1C1的面积．【考点】作图﹣轴对称变换．【答案】（1）见解答；（2）y轴，（﹣2，3）；（3）2.5．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）作BB2的垂直平分线得到轴对称为y轴，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C2的坐标；（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）这条对称轴是y轴，C点的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；故答案为：y轴，（﹣2，3）；（3）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5【考点5】作图-最短路线问题10．（2023春•盐湖区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）A． B． C． D．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【答案】C【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，两边之和大于第三边，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴点C到两小区送奶站距离之和最小．故选：C．11．（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．13.5【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质．【答案】A【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【解答】解：∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故选：A．12．（2023•明水县模拟）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】轴对称﹣最短路线问题．【答案】A【分析】作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，此时BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可．【解答】解：作B点关于AD的对称点E，过E点作EN⊥AB交AB于点N，交AD于CM于点M，连结BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E点在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此时BM+MN的值最小，由对称性可知，AE＝AB，∵AB＝4，∴AE＝4，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝2，故选：A．13．（2023春•叙州区期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，则∠MAN的度数为（）A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°【考点】轴对称﹣最短路线问题．【答案】B【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），进而得出∠MAN的度数．【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故选：B．14．（2022秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】轴对称﹣最短路线问题．【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝5可求出α的度数．【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝5，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，∴OC＝OD＝CD＝5，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故选：A．15．（2023•海淀区开学）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝4，OA上有一点M，OB上有一点N，当△MNP的周长取最小值时，△MNP的周长为4．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【答案】4．【分析】作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD，根据对称性质得出CM＝PM，PN＝ND，∠COE＝∠POE，∠POF＝∠DOF，OC＝OP＝OD＝4，求出∠COD＝60°，得出△COD是等边三角形，推出CD＝OC＝OD＝4，求出△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN＝CD，代入即可得出答案．【解答】解：作P关于直线OA的对称点C，作P关于直线OB的对称点D，连接CD，交AB于M，交OB于N，则此时△PMN的周长最小，连接OC，OD，∵P关于直线OA的对称点C，P关于直线OB的对称点D，∴CM＝PM，PN＝ND，∠COE＝∠POE，∠POF＝∠DOF，OC＝OP＝OD＝4，∵∠POM+∠PON＝∠AOB＝30°，∴∠COD＝∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF＝30°+30°＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4，即△PMN的周长的最小值是PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝4，故答案为：4．【考点6】等腰三角形的性质15．（2023春•枣庄期末）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【答案】C【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．16．（2022秋•南宫市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，若BC＝8，则CD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】等腰三角形的性质．【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝BC＝4，得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4，故选：C．17．（2023春•富平县期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若∠A＝42°，则∠DCB的度数为（）A．21° B．31° C．42° D．48°【考点】等腰三角形的性质．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质，求出∠B＝69°，由垂直的定义，即得∠DCB的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣42°）＝69°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣69°＝21°．故选：A．18．（2023春•莲池区校级期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为32°，则它的顶角的度数是（）A．32° B．58° C．122° D．58°或122°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【答案】D【分析】根据题意分类讨论，当顶角为钝角时，当顶角为锐角时，分别画出图形，根据等腰三角形的定义，以及直角三角形的两锐角互余即可求解．【解答】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝58°，此时顶角的度数为58°．如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，∴∠BAC＝90°+∠ABD＝122°．此时顶角的度数为122°，故选：D．19．（2022秋•新抚区期末）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．【考点】等腰三角形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EAB，再根据角的和差关系即可求解；（2）根据ASA可证△ADE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝∠E＝40°，∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝30°；（2）证明：在△ADE与△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC【考点7】等腰三角形的判定．20．（2023•河北一模）如图所标数据，下面说法正确的是（）A．①是等腰三角形 B．②是等腰三角形 C．①和②均是等腰三角形 D．①和②都不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【答案】B【分析】由等腰三角形的判定方法，即可判断．【解答】解：图①，三角形的第三边的长不确定，故①不一定是等腰三角形；图②，三角形的第三个角是180°﹣50°﹣80°＝50°，三角形有两个角都是50°，故②是等腰三角形．故选：B．21．（2022秋•巴州区期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】等腰三角形的判定．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，故选：D．22．（2022秋•靖西市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】等腰三角形的判定．【答案】C【分析】分为三种情况：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．【解答】解：①作线段AB的垂直平分线，交AC于点P，交直线BC于一点，共2个点；②第2个点是以A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线BC于两点（B和另一个点），交射线AC于一点，共2个点；③以B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线BC于两点，交射线AC于一点，共3个点∵作线段AB的垂直平分线交直线BC的点，以A为圆心，AB长为半径作圆交直线BC的点，以及以B为圆心，AB长为半径作圆交直线BC与右侧的点，这三个点是同一个点．∴答案应该是2+2+3﹣2＝5个点故选：C【考点8】等腰三角形的判定与性质23．（2023•南关区校级开学）如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，则CD等于（）​A．3 B．4 C．1.5 D．2【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【答案】A【分析】OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，CD∥OB，∠C＝∠BOC，∠C＝∠AOC，CD＝OD．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵CD∥OB，∴∠C＝∠BOC，∴∠C＝∠AOC，∴CD＝OD＝3，故选：A．24．（2023春•昭通期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，则BC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定与性质．【答案】D【分析】延长AD交BC于点E，如图，证明△ABD≌△EBD，得到BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，可得AE＝4，由∠CAD＝∠C可得EC＝EA＝4，进而可得答案．【解答】解：延长AD交BC于点E，如图，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，∴AE＝4，∵∠CAD＝∠C，∴EC＝EA＝4，∴BC＝BE+EC＝9；故选：D．【考点9】逆命题和逆定理25．（2023•大洼区校级开学）下列命题是假命题的是（）A．垂线段最短 B．两个角的和等于180°，这两个角是邻补角 C．对顶角相等 D．等角的补角相等【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；垂线段最短．【答案】B【分析】根据垂线段最短、邻补角的概念、对顶角相等、补角的概念判断即可．【解答】解：A、垂线段最短，是真命题，不符合题意；B、两个角的和等于180°，这两个角是互为补角，不一定是邻补角，故本选项说法是假命题，符合题意；C、对顶角相等，是真命题，不符合题意；D、等角的补角相等，是真命题，不符合题意；故选：B．26．（2023春•长乐区校级期末）下列四个命题中不正确的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【考点】命题与定理．【答案】B【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断．【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B不正确，符合题意；对角线相等的菱形是正方形，故C正确，不符合题意；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意；故选：B．27．（2023•德兴市一模）下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝2 B．a＝1 C．a＝0 D．a＝﹣1【考点】命题与定理．【答案】D【分析】所选取的a的值符合题设，则不满足结论即作为反例．【解答】解：当a＝﹣1时，满足|a﹣1|＞1，但满足a＞2，所以a＝﹣1可作为证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例．故选：D．【考点10】直角三角形的性质28．（2023春•茶陵县期末）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．故选：C．29．（2023春•电白区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正确结论是（）A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正确；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正确．综上所述，正确的结论是①②④．故选：B．【考点11】勾股定理．30．（2023春•岳池县期末）一个直角三角形的两条直角边分别长3和4，则斜边的长为（）A． B．5 C．或5 D．5或7【答案】B【分析】根据勾股定理求解即可．【解答】解：∴直角三角形的两条直角边分别长3和4，∴斜边的长为：．故选：B．31．（2023春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，则AD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质得BD＝CD＝3，再根据勾股定理可得答案．【解答】解：∵BC＝6，D是BC的中点，AB＝AC，∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝4，故选：A．32．（2023春•华容县期末）如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，则AD＝（）A．10 B．13 C．8 D．11【答案】B【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再根据勾股定理求得AD的长．【解答】解：在直角三角形BCD中，BC＝3，CD＝4，根据勾股定理，得BD＝5．在直角三角形ABD中，BA＝12，BD＝5根据勾股定理，得AD＝13．故选：B．33．（2023春•楚雄州期末）如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若其中S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，则正方形BCFG的面积是（）A．3cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．41cm2【答案】B【分析】根据已知两正方形的面积求出直角三角形两直角边的长，利用勾股定理求出斜边的长，即可求出正方形BCFG的面积．【解答】解：∵S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，∴AB2＝16cm2，AC2＝25cm2，∴BC2＝AC2﹣AB2＝9cm2，∴正方形BCFG的面积是9cm2，故选：B．34．（2022秋•鹤壁期末）如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到BC的距离等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据网格特征和勾股定理求出△ABC的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，由网格特征和勾股定理可得，AB2＝12+12＝2，AC2＝22+22＝8，BC2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝2+8＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AB•AC＝BC•AD，即×2＝AD，∴AD＝，故选：C．35．（2023春•江津区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、2、4，则最大正方形E的面积是（）A．15 B．61 C．69 D．72【答案】B【分析】根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积．【解答】解：由勾股定理可知：SA+SB＝SF，SC+SD＝SG，∴SF＝42+52＝41，SG＝22+42＝20，∴SE＝SF+SG＝41+20＝61．故选：B．【考点12】勾股定理的证明．36．（2023春•杜尔伯特县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．37．（2023春•中江县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝60，大正方形的面积为169．则小正方形的边长为（）A．7 B．13 C．10 D．17【答案】A【分析】勾股定理得：a2+b2＝169，又（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，由此即可求出a﹣b＝7（a＞b），因此小正方形的边长为7．【解答】解：由题意知小正方形的边长是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝169，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，∴a﹣b＝7（a＞b），∴小正方形的边长为7．故选：A．38．（2023春•顺庆区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，（1）求BC的长；（2）求AD的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用勾股定理列式计算即可得解；（2）利用△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝＝＝10；故答案为：10．（2）S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，∴×10•AD＝×8×6，解得AD＝4.8．39．（2023春•会昌县期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求四边形ABCD的周长及面积．【答案】周5+5+3；面积17.5．【分析】利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的长，即可求出四边形ABCD的周长；利用分割法即可求出四边形的面积．【解答】解：根据勾股定理得AB＝＝5，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝2，故四边形ABCD的周长为5+5++2＝5+5+3；面积为5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣1﹣×3×4﹣×2×4﹣1×3＝17.5．【考点13】勾股定理的逆定理．40．（2023春•增城区期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2【答案】B【分析】根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵42+52≠72，∴以4，7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵12+22≠22，∴以1，2，2为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．41．（2023•雁塔区校级开学）下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝7：3：11 B．∠A+∠B＝∠C C．a：b：c＝7：24：25 D．a2＝9，b2＝1，c＝【答案】A【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误．【解答】解：A、设∠A＝7x°，∠B＝3x°，∠C＝11x°，7x+3x+11x＝180，解得：x＝，则11x°＝≠90°，∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意．B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；C、∵设a＝7x，b＝24x，c＝25x，∵（7x）2+（24x）2＝（25x）2，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵c2＝＝10＝9+1，∴c2＝a2+b2，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．42．（2023春•黄岩区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案．【解答】解：A、三角形的三边为，2，3，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；B、三角形的三边为，，，，则这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；C、三角形的三边为，，2，，则这个三角形是直角三角形，本选项符合题意；D、三角形的三边为，，2，这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意；故选：C．【考点14】勾股数．43．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2【答案】C【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：C．44．（2023春•嘉鱼县期中）下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．1，1， C．1，2， D．5，12，13【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理和勾股数的定义对各项进行检验即可．【解答】解：A．∵12+22＝5≠32，∴不是勾股数；B．∵，但不是正整数，∴不是勾股数；C．∵，∴不是勾股数；D．∵52+122＝132，∴是勾股数，故选：D．【考点15】勾股定理的应用．45．（2023春•清原县期末）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10（m），答：小鸟至少飞行10米．故选：C．46．（2023春•长垣市期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杆的高度为（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【答案】B【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B．47．（2022秋•南关区校级期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【分析】先求出AC的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，故选：C．48．（2023春•浉河区校级期末）如图，OA＝6，OB＝8，AB＝10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（）​A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°【答案】B【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，求出∠AOB＝90°，然后再求出40°的余角即可解答．【解答】解：∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，由题意得：90°﹣40°＝50°，∴点B在点O的北偏东50°方向，故选：B．49．（2023春•青秀区校级期末）如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．50．（2023春•江陵县期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【答案】C【分析】设OA＝OB＝x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设OA＝OB＝x米，∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，根据勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，解得：x＝5，则秋千的长度是5米．故选：C．51．（2022秋•桥西区期末）为了方便体温监测，某学校在大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.2米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温，当身高为1.7米的小明CD正对门缓慢走到高门1.2米处时（即BC＝1.2米），测温仪自动显示体温，此时小明头顶到测温仪的距离AD等于（）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米【答案】C【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米），故选：C．52．（2023春•罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m【答案】C【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出直角三角形的斜边的长度，进而可得出结论．【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，∴原来树的高度为：＝13（m），∴这棵树原来的高度＝5+13＝18（m）．即：这棵大树在折断前的高度为18m．故选：C．53．（2023春•罗庄区期中）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤4 D．12≤a≤13【答案】D【分析】最短距离就是牛奶盒的高度，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最大，用勾股定理即可解答．【解答】解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，由题意知：牛奶盒底面对角长为＝5，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为＝13，即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，故选：D．54．（2023春•武都区期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（）米路．A．20 B．30 C．40 D．50【答案】A【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，∴AC＝＝50（米），30+40﹣50＝20（米），∴走这条近路AC可以少走20米的路．故选：A．55．（2022秋•南阳期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．（1）请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．（2）求△ABC的面积．【答案】（1）△ABC不是直角三角形，理由见解答；（2）9．【分析】（1）根据勾股定理求出△ABC的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可；（2）根据长方形和三角形面积公式计算即可求解．【解答】解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：根据勾股定理，得BC2＝32+42＝25，AC2＝22+62＝40，AB2＝22+32＝13，∵AC2≠BC2+AB2，∴△ABC不是直角三角形；（2）．故△ABC的面积是9．56．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中着色部分的面积．【答案】96米2．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出结论．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10米（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：图中阴影部分的面积为96米2．57．（2023•滕州市校级开学）如图，一架梯子AB长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有8米高；（2）梯子的底端水平后移了2米．【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑2米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为2米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．【解答】解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO＝＝＝8（米）；答：这个梯子的顶端距地面有8米高；（2）梯子下滑了2米即梯子距离地面的高度为OA′＝8﹣2＝6（米），根据勾股定理：OB′＝＝＝8（米），∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米），答：当梯子的顶端下滑2米时，梯子的底端水平后移了2米．58．（2023春•公安县期中）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠OPN＝30°，点A处有一所学校．AP＝240m．假设汽车在公路MN上行驶时，周围150m以内会受到噪音影响，则学校是否会受到噪音影响？请说明理由．如果受影响，请求出受影响的时间．（已知汽车的速度为18m/秒．）【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为10秒．【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB＝120m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则易得AE＝AF，从而BE＝BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．【解答】解：如图，过点A作AB⊥PN于点B，∵∠QPN＝30°，AP＝240m，∴，∵120m＜150m，∴学校会受到噪音的影响；设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE＝AF＝150m，又∵AB⊥MN，∴BE＝BF，由勾股定理得：，∴EF＝2BE＝180m，∵汽车的速度为18m/s，∴受影响的时间为：180÷18＝10（s）．59．（2023春•涧西区期中）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为10米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】米．【分析】设AB＝x，在Rt△ACE中根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AB＝x米，则AC＝x+2，AE＝x﹣2，∵∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，即：（x+2）2＝（x﹣2）2+102，∴x2+4x+4＝x2﹣4x+4+100，∴x＝，∴AB＝．答：旗杆AB的高度为米．60．（2023春•庆云县期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向为北偏东10°．【分析】先根据客船与货船的速度关系求出两条船的速度，进而求出AC，BC，再利用勾股定理的逆定理求出∠BAC＝90°，进而求出∠CAF＝10°即可得到答案．【解答】解：客船的速度为4x海里/小时，则货船的速度为3x海里/小时，由题意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度为20海里/小时，则货船的速度为15海里/小时，∵货船沿南偏东80°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，∴AC＝20×2＝40海里，AB＝15×2＝30海里，∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向为北偏东10°．61．（2023春•凤庆县期末）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？【答案】E站应建在离A站10km处．【分析】根据土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．答：E站应建在离A站10km处．62．（2023春•荆门期末）如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C，江边原有两个观景台A，B，其中AB＝AC，现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H（点A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．（1）CH是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【答案】（1）是，理由见解答；（2）5千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米，∴CH2+BH2＝4.82+3.62＝36，BC2＝36，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最短路线；（2）设AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x千米，AH＝（x﹣3.6）千米，CH＝4.8千米，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3.6）2+4.82，解这个方程，得x＝5，答：原来的路线AC的长为5千米．【考点16】平面展开﹣最短路径问题．63．（2023•中原区校级开学）如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm，宽都是50cm，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（）A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm【答案】C【分析】展开成平面图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①：在RT△ACB中，∵AC＝50，BC＝120，∴AB＝＝＝130，∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路AB的长度＝130cm．故选：C．64．（2023春•容县期末）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）cm（杯壁厚度不计）．A．14 B．18 C．20 D．25【答案】C【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′F，此时点A’、F、B在同一条直线上，则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，∵A′B＝＝＝20（cm）．∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm，故选：C．65．（2023•禄劝县校级开学）如图是一个长为6cm、宽为3cm、高为4cm的长方体木块．一只蚂蚁要沿着长方体的表面从左下角的点A处爬行至右上角的点B处，那么这只蚂蚁所走的最短路线的长为cm．【答案】．【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（6+3）2+42＝97；（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+62＝85；（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（6+4）2+32＝109．∵85＜97＜109，∴最短路径的长为AB＝（cm）．故答案为：一．选择题（共19小题）1．（2023春•江阴市期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理．【答案】D【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．【解答】解：A选项，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，为直角三角形，不符合题意；B选项，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，为直角三角形，不符合题意；C选项，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A选项，不符合题意；D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．2．（2023春•莱芜区月考）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°【考点】等腰三角形的性质．【答案】C【分析】先知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．有两种情况：①顶角∠A＝50°；②当底角是50°时，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C．3．（2022秋•莲池区校级期末）如图字母B所代表的正方形的面积是（）A．12 B．13 C．144 D．194【考点】勾股定理．【答案】C【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方＝169，一直角边的平方＝25，根据勾股定理知，另一直角边平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面积是144．故选：C．4．（2023春•合肥期中）如图，AB＝AC，则数轴上点C所表示的数为（）A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1【考点】勾股定理；实数与数轴．【答案】B【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，∴AC＝，∵点A表示的数是﹣1，∴点C表示的数是﹣1．故选：B．5．（2022秋•安化县期末）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】等腰三角形的判定与性质．【答案】D【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选：D．6．（2023春•甘州区校级期中）已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【答案】A【分析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB＝DO，OE＝EC．然后即可得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，∴DB＝DO，OE＝EC，∵DE＝DO+OE，∴DE＝BD+CE＝5．故选：A．7．（2023春•武胜县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算【考点】勾股定理．【答案】C【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，则AC2+BC2＝225cm2．故选：C．8．（2022秋•海陵区校级期末）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．9．（2023春•梁平区期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+【考点】勾股定理；实数与数轴．【答案】A【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA＝OB＝，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB＝＝＝，∴OA＝OB＝，∴a＝﹣1﹣．故选：A．10．（2023春•美兰区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40° B．55° C．65° D．75°【考点】直角三角形的性质；作图—基本作图；角平分线的性质．【答案】C【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD＝∠CAB＝25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA＝90°﹣25°＝65°．【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵∠C＝90°，∴∠CDA＝90°﹣25°＝65°，故选：C．11．（2023春•西平县期中）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【答案】C【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，它的周长是10．故选：C．12．（2022秋•泉州期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】轴对称﹣最短路线问题．【答案】C【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．13．（2022秋•孟村县校级期末）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【答案】A【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为