专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点 ）（解析版）

专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法知识点2相似三角形预备定理（重点）知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似题型二：寻找图形中的相似三角形个数题型三：相似三角形的判定定理应用题型四：利用相似三角形证明等积式题型五：相似三角形应用题型六：相似三角形与函数综合题型七：与相似三角形有关的存在性问题题型八：与相似三角形有关的图形运动问题【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻易错点2误用两边成比例且夹角相等来证明两个三角形相似【方法四】成果评定法期中期末中考真题练【学习目标】1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：

(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.例1：下列说法一定正确的是（ ）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【答案】C【解析】根据判定定理2可知A错误，C正确；根据判定定理1可知B错误，根据相似三 角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．知识点2相似三角形的预备定理（重点）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则．例2：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(

)A．增大1.5米

B．减小1.5米

C．增大3.5米

D．减小3.5米【答案】D试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在与中，如果、，那么．常见模型如下：例3：如图，在中，，于点，点是边上一点，联 结交于点，交边于点．求证：．【难度】★★【解析】证明：， ，， 又，， ． ． ．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在与中，，，那么．要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.例4:如图，点是的边上的一点，且．求证：．【难度】★【解析】证明：， ， ， ．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在与中，如果，那么∽．要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.例5：如图，点D为内一点，点E为外一点，且满足．求证：∽．【难度】★★【解析】． ，即． ． ∽．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在和中，如果，，那么∽．例6：如图，在和中，，，垂足为D和，且 ．求证：∽．【难度】★【解析】证明：，， ． 又， ，． 同理可得：，∽．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似例7：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．【答案】∠ADE＝∠C【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【详解】∵∠A是公共角，如果∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ABC，故答案为∠ADE=∠C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．题型二：寻找图形中的相似三角形个数例8：如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．图中 有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】，， ．【解析】由，可得： ，根据相似三角形预备定理， 可得：，， 进而可得：，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．题型三：相似三角形的判定定理应用例9：如图，点、分别在的边、上，且与不平行．下列条件中，能判定与相似的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在与中，∵，且，∴．故选:A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．题型四：利用相似三角形证明等积式例10．如图，、分别是的边、上的点，且．求证：．【难度】★【解析】证明：， ， ， 即．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．例11.如图，是等边三角形，，求证．【难度】★★【解析】证明：是等边三角形，．，．又，．，，，即．题型五：相似三角形应用例12.（2023·上海徐汇·统考一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭的高度为米，小明到凉亭的距离为米，凉亭与观景台底部的距离为米，小杰身高为米．那么观景台的高度为________________米．【答案】//【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点作于点，交于点，由题意得，，，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴（米）．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．题型六：相似三角形与函数综合例13.如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求Y关于X的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．【答案】（1）见解析；（2）y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．【分析】（1）先判断出△BEF'≌△CEF，得出BF'=CF，EF'=EF，进而得出∠BGE=∠EGF，即可得出结论；（2）先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=，即可得出结论；（3）分两种情况，①△AGQ∽△CEP时，判断出∠BGE=60°，即可求出BG；②△AGQ∽△CPE时，判断出EG∥AC，进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG，即可得出结论．【详解】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'=∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF，∴BF'=CF，EF'=EF，∵∠GEF=90°，∴GF'=GF，∴∠BGE=∠EGF，∵∠GBE=∠GEF=90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG=90°，∴∠BEG+∠CEF=90°，∵∠BEG+∠BGE=90°，∴∠BGE=∠CEF，∵∠EBG=∠C=90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE=CE=2，∵AG=x，∴BG=4﹣x，∴，∴CF=，由（1）知，BF'=CF=，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+当CF=4时，即：=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4﹣x+（0≤x≤3）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ=∠CEP，由（2）知，∠CEP=∠BGE，∴∠AGQ=∠BGE，由（1）知，∠BGE=∠FGE，∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°，∴∠BGE=60°，∴∠BEG=30°，在Rt△BEG中，BE=2，∴BG=，∴AG=AB﹣BG=4﹣，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG=∠CEP，∵∠CEP=∠BGE=∠FGE，∴∠AQG=∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴，∴，∴BG=2，∴AG=AB﹣BG=2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．【点睛】本题考核知识点：相似三角形综合.解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.题型七：与相似三角形有关的存在性问题例14.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF．（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．【答案】（1）；（2）不变；（3）或3或.【详解】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）∵，∴

∵

∴∵是边的中点

∴∵

∴∴

∴

∴∵在中，

∴∵

∴又∵

∴四边形是矩形∴∵在中，

∴（2）不变过点作，，垂足分别为点、由（1）可得，∵，∴又∵，∴四边形是矩形∴∵∴

即又∵

∴∴∵

∴（3）1°当时，易证，即又∵，D是AB的中点∴∴2°当时，易证∵在中，∴设，则，当时，易证，∴∵∴

∴

∴∵

∴∴

解得

∴∴

3°

在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出当时，易证∴设，则，∴∵

∴

∴

∴∵

∴∴

解得

∴∴题型八：与相似三角形有关的图形运动问题例15.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（2）易证，得：．又，，．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻例16.在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．【答案】D【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意；由AE﹒AC=AB﹒AD得，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意；而D不是夹角相等，故选项D符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．易错总结：找两个三角形的对应关系时，容易受思维定式的影响，想当然地把AB与A1B1当成对应边，∠A与∠A1当成对应角。易错点2误用两边成比例且夹角相等来证明两个三角形相似例17.根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．【答案】（1）相似，；（2）相似，；（3）不相似【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似．【总结】考查相似三角形判定定理2的条件，尤其注意是对应成比例边的夹角易错总结：利用两边成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意这个角是对应成比例的两边的夹角，若不是，则不能判定这两个三角形一定相似。【方法四】成功评定法一、单选题1．（2022秋·上海静安·九年级上海市华东模范中学校考期中）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【详解】解：根据题意得：，∴，∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为，第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似；第2个图形中，三边长分别为，，，∵，则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似；第3个图形中，三边长分别为，，，∵，则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似；第4个图形中，三边长分别为，，，∵，则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似；故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．2．（2021·上海·九年级专题练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵，∴，A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；C．若添加，不能证明，故本选项符合题意；D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定．【详解】解：∵，∴，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．4．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A选项，若平分，则，又，满足两组对角相等，可以判定和相似，不合题意；B选项，若，又，满足两组对角相等，可以判定和相似，不合题意；C选项，若，则，两组对应边成比例，但两边的夹角不相等，不能判定和相似，符合题意；D选项，若，又，满足两组对应边成比例且两边的夹角相等，可以判定和相似，不合题意；故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．5．（2022秋·上海宝山·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC=∠ABD，则可证出结论；②不能证明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．【详解】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ABD+∠BAD=∠DAC+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，故①符合题意；②∵AB•CD=AC•AD，∴，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠ABD=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAC=90°，故②符合题意；③∵，∴，∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC=∠BAC=90°，故③符合题意；④由不能证明△ABC与△ABD相似，故④不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题6．（2020秋·九年级校考课时练习）如图，△ABC中，DG、DF、EG分别平行于BC、AC、AB，图中与△ADG相似的三角形共有______个．【答案】5【分析】根据DG、DF、EG分别平行于BC、AC、AB，进行判断即可；【详解】设DF与GE相交于点H，则△ABC，△DBF，△GEC，△HGD，△HEF都和△ADG相似；故答案是5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确计算是解题的关键．7．（2022秋·九年级单元测试）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________．【答案】【分析】根据DE∥BC，可得，从而得到,即可求解．【详解】解：∵DE∥BC，，∴，∴，∵，DE＝1，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．8．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在四边形中，添加一个条件____________，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．【答案】（答案不唯一）【分析】添加“”，理由：设，则，再由勾股定理可得，从而得到，即可．【详解】解：添加“”，理由：设，则，∵，∴，∴，∴．故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．9．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，∠DAE=∠BAC，则EC的长为________．【答案】【详解】解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1．又∵∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC，∴AB：AD=BC：DE，∴DE=，∴EC=DC﹣DE=．点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例．10．（2020秋·九年级校考课时练习）如图，在△ABC中，DE∥BC，则=______．【答案】【分析】根据平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，利用“有两个角对应相等的两个三角形相似”证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．11．（2022春·上海金山·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．【答案】【分析】通过证明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．【详解】解：如图，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．12．（2022秋·上海奉贤·九年级校考期中）如图，在中，点是边上一点，添加一个条件__________，可以使与相似．【答案】（答案不唯一）【分析】已知，只需要补充另一对角相等即可得到与相似．【详解】解：∵，∴当时故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定条件，解题的关键是熟练掌握判定三角形相似的方法．三、解答题13．（2021秋·上海浦东新·九年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE=∠ACD，且∠A是公共角，∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角，∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．14．（2022秋·九年级单元测试）如图，点D，E在BC上，且,求证：【答案】见解析【分析】利用平行关系，找出对应角相等，即可证明相似．【详解】证明：∵，∴，∵，∴，在和中，，，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题关键找到需要的条件．15．（2017秋·上海·九年级校考期中）如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC，点P为边AB上一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设，．（1）求证：；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG能否相似？如果能相似，请求出.BP的长，如果不能，请说明理由．

（备用图）【答案】（1）；（2）（≤≤1）；（3）或.【详解】试题分析：（1）证△PBF是等边三角形，得到BF=FP．再由等角对等边得到FP=FG，从而得到结论；（2）由BP=x，∠PGB=30°，得到，.由等边三角形的性质得到BD=1，从而有DG=2x-1，在△EDG中，得到DG=y，故2x-1=y，从而得到结论．（3）若△FPE与△EDG相似，分两种情况讨论：①当时；②当时．试题解析：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴又∵PF∥AC，∴，∴△PBF是等边三角形，∴．又∵PG⊥AB，∴，∴，∴.（2）∵，，，∴，.又∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，，∴，∴在△EDG中，∵∠EDG=90°，∠EGD=30°，ED=y，∴DG=y，∴2x-1=y，∴（≤≤1）．（3）能相似，∵，∴若△FPE与△EDG相似，有两种情况．①当时，∴EF∥AB，∴，∴，解得：；②当时，∵△BPF是等边三角形，∴，∴，∴，∵AD⊥BC，∴，即，解得：，∴BP的长是或点睛：本题是相似三角形综合题．解题过程中，要充分利用等边三角形的性质和含30°角直角三角形三边的比例关系，使计算变得简单，还要注意相似三角形对应边不确定时，要分类讨论．16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，联结EF交边AB于点G，连接AC．(1)求证：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，联结CG，求证：四边形AGCE为菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质可得ABCD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，根据垂直定义可得∠FAE＝90°，从而可得∠BAF＝∠DAE，进而可得△ABF∽△ADE，然后利用相似三角形的性质可得＝，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答；（2）根据角平分线的定义可得∠AFE＝∠CFE，从而证明△AFE≌△CFE，进而可得AF＝CF，AE＝EC，然后再证△AFG≌△CFG，从而可得∠FAG＝∠FCG，再结合（1）的结论可得∠DAE＝∠FCG，最后利用等角的余角相等可得∠DCG＝∠AED，从而可得AE∥CG，进而利用菱形的判定方法即可解答．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝DC，∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝90°，∵AE⊥AF，∴∠FAE＝90°，∴∠FAE﹣∠BAE＝∠DAB﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠DAE，∵∠D＝∠ABF＝90°，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠D＝∠FAE＝90°，∴△AEF∽△DAC；（2）如图：∵FE平分∠AFB，∴∠AFE＝∠CFE，∵∠FAE＝∠BCD＝90°，EF＝EF，∴△AFE≌△CFE（AAS），∴AF＝CF，AE＝EC，∵FG＝FG，∴△AFG≌△CFG（SAS），∴∠FAG＝∠FCG，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠FCG，∵∠DAE＋∠AED＝90°，∠BCG＋∠DCG＝90°，∴∠DCG＝∠AED，∴AECG，∵ABCD，∴四边形AGCE是平行四边形，∵AE＝EC，∴四边形AGCE为菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，(1)求证：(2)求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先由得到，然后由得证；（2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】（1）解：∵，∴，又∵，∴．（2）∵梯形中，，∴

又∵，∴，∵，∴，∴∴【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证．18．（2018·上海黄浦·校联考一模）如图，线段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC=2时，求四边形ABCD的面积；（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；（3）设CD=x，DE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）16（2）当△ABE∽△EBC时，线段CD的长为2或（3）（0＜x＜4.1）【详解】试题分析:(1)过C作CH⊥AB与H,由∠A=90°,DP∥AB,可得得四边形ADCH为矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,则四边形ABCD的面积=,(2)由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,当△ABE∽△EBC时,∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,(3)延长BE交CD延长线于M,因为AB∥CD,所以∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,由勾股定理可得:,则DM=CM-CD=,又因为DM∥AB,可得,即,即可得到:.试题解析:（1）过C作CH⊥AB与H,由∠A=90°,DP∥AB,得四边形ADCH为矩形,在△BCH中,CH=AD=4,∠BHC=90°,tan∠CBH=2,得HB=CH÷2=2,所以CD=AH=5-2=3,则四边形ABCD的面积=,（2）由BE平分∠ABC,得∠ABE=∠EBC,当△ABE∽△EBC时,∠BCE=∠BAE=90°,由BE=BE,得△BEC≌△BEA,得BC=BA=5,于是在△BCH中,BH=,所以CD=AH=5-3=2.∠BEC=∠BAE=90°,延长CE交BA延长线于T,由∠ABE=∠EBC,∠BEC=∠BET=90°,BE=BE,得△BEC≌△BET,得BC=BT,且CE=TE,又CD∥AT,得AT=CD.令CD=x,则在△BCH中,BC=BT=5+x,BH=5-x,∠BHC=90°,所以,即,解得,综上,当△ABE∽△EBC时,线段CD的长为2或.（3）延长BE交CD延长线于M,由AB∥CD,得∠M=∠ABE=∠CBM,所以CM=CB,在△BCH中,,则DM=CM-CD=,又DM∥AB,得,即,解得.19．（2019秋·上海浦东新·九年级校联考期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．【答案】当或或时，是比例三角形；证明见解析；．【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2＝BC•AC、BC2＝AB•AC、AC2＝AB•BC三种情况分别代入计算可得；（2）先证△ABC∽△DCA得CA2＝BC•AD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC＝BH•DB，即AB•BC＝BD2，结合AB•BC＝AC2知BD2＝AC2，据此可得答案．【详解】（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，①当AB2＝BC•AC时，得：4＝3AC，解得：AC＝；②当BC2＝AB•AC时，得：9＝2AC，解得：AC＝；③当AC2＝AB•BC时，得：AC2＝6，解得：AC＝（负值舍去）；所以当AC＝或或时，△ABC是比例三角形；（2）∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA，∴BC：CA＝CA：AD，即CA2＝BC•AD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴CA2＝BC•AB，∴△ABC是比例三角形；（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵AB＝AD，∴BH＝BD，∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠BHA＝∠BCD＝90°，又∵∠ABH＝∠DBC，∴△ABH∽△DBC，∴AB：DB＝BH：BC，即AB•BC＝BH•DB，∴AB•BC＝BD2，又∵AB•BC＝AC2，∴BD2＝AC2，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，理解比例三角形的定义，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．20．（2021·上海·九年级专题练习）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).①求证：△APB∽△DCP；②求PC、BC的长.(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程