二讲中值定理应用

厦门大学第九届“景润杯”数学竞赛

系列讲座

厦门大学数学科学学院林建华

第二讲

微分中值定理及其应用

在微分中值定理的学习过程中，我们经常遇到如下的证明问题：

已知在连续，在内可导或二阶可导,证明：存在使得

问题的提出等等我们可把问题归结为：在连续可导或二阶可导的条件下,证明：存在使得

问题的提出等等即证明存在一个中值满足某一个方程或微分方程。

解决此类证明问题的关键在于构造恰当的辅助函数。

下面我们分几种类型分别来分析探讨，找出解决问题的方法。

一、基本定理闭区间上连续函数的性质

有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理微分中值定理

费尔马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、

柯西中值定理、泰勒公式

二、思路点拨上连续，第一类:设函数在使得证明存在一点特点：待证的方程中不含导数。

证明思路：想办法在

上找两个点使得将欲证的等式中的

改写成并移项使得等式的一端为零，另一端记为

，

设辅助函数为从而利用零点定理得到证明。(2)利用题设条件，其中

是恒正函数。(3)若对

不易验证零点定理，或是不满足

零点定理的条件，则令辅助函数的导数为

或(4)求出然后利用题设条件验证

满足罗尔定理的条件，从而证得所求的结论。例1设不恒为

的函数

在

上连续，且

，证明：存在实数

，使得

。例2设函数

在

连续，且证明：至少存在一点

，使得

例3设函数

在

上连续，且

证明：至少存在一点

，使得

例4.设函数

在

上连续。证明：存在一点

，使得例5设函数

在

上连续，且

证明存在一点

，

使得

例6设函数

在

上连续，且

证明：存在

，使得

第二类设函数

在

上连续，

在

内可导，证明存在一

点

，使得

特点：欲证的等式中增加了一项。

证明思路：得到形式为的通解（其中C为常数）；

将欲证的等式中的

改写成并移项使得等式的一端为零，另一端记为

，

(2)求解以为未知函数的微分方程，其中

即(3)设辅助函数为，

满足(4)利用罗尔定理或零点定理，即可证得：存在然后利用题设条件寻找等式的两个点使得因而得证。或满足等式的两个点例1设

在

上连续，在

内可导，且

证明：对任意实数

，存在

，使得例2设

在

上有连续导数，且存在

证明：存在

，使得第三类设函数

在

上连续，

在

内二阶可导，证明

存在一点

，使得

特点：欲证的等式中增加了一项。

证明思路：将欲证的等式中的

改写成并移项使得等式的一端为零，另一端记为

，

(2)对或或则方程变为两种形式的微分方程，令和和此时方程转化为第二类的问题。

证明思路：(3)求解以

为未知函数的微分方程

(4)对形式为设辅助函数为或的微分方程，,并设辅助并将其通解表示为函数为尝试对方程的两端求不定积分，得到等式(5)在

上寻找满足

的点，

,利用罗尔定理即可证得：存

在

，使得

即得

证明思路：例1设函数

在

上二阶可导，且

试证至少存在

，使得

例2设函数

在

上二阶可导，且

试证存在

，使得第四类设函数

在

上连续,在

内可导(二阶可导)，证明存在

思路点拨：在拉格朗日中值定理的证明过程中，所构造的辅助函数具有如下的形式其中为一个多项式函数，它满足由此F(x)就有两个零点，从而就可应用罗尔定理得到命题的证明.这就启发我们在证明中值存在性的问题中，借鉴此思路，构造类似的辅助函数。

例1设

在

上连续，在

内二阶可导，过点A(0,f(0))与B(1,f(1))的直线与曲线y=f(x)相交于点c(c,f(c)),其中0<c<1.证明存在使得分析：由要证的结论可以看出，如果我们能在[0,1]上找到三个点，使得f(x)在这三个点处的值相等，然后再两次使用罗尔定理便可得到本题的结论。由此设辅助函数为其中为一次多项式函数，它必须满足亦即F(0)=F(C)=F(1),对F(x)两次应用罗尔定理，即得命题的结论。

证明：显然连接A,C,B三点的直线方程（一次多项式）就满足上述的条件。令设辅助函数为依题意有

对F(x)两次应用罗尔定理，便可得到本题的结论。

例2设

在

上二阶可导，且

证明存在使得分析：本题要求的是经过已知三个点的抛物线(二次多项式)，即所求的抛物线与曲线y=f(x)有三个交点处。令容易求的过的抛物线为由此设辅助函数为

证明：设辅助函数则对F(x)两次应用罗尔定理可得即从而有

例3设函数

在

上连续，在

内二阶可导，证明存在

，使得

分析：记,首先求过三点

的抛物线，再令辅助函数为则有故存在使得由此立得结论。本题也可利用泰勒公式证明。

设

在

上具有三阶连续导数，且

，证明存在

使得举一反三练习提示：需要构造三次多项式P(x)使之满足：需再附加一个条件：P(0)=f(0).本题也可用泰勒公式证明。第五类

设函数

在

上连续，在

内二阶可导，证明存在

，使得

或把max换成min，其中k为常数。证明思路：⑴在

内选取某个特殊点(例如极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区间中点等)，然后分别在

与

上对

应用拉格朗日定理，得到

和

，再对

在

上应用拉格朗日定理。(2)将

在特殊点

处展成二阶泰勒公式，再将适当的

值代入，并将所得的等式相加或相减，或将二阶泰勒公式两端积分，由此推出所证的结论。而极值点，最值点，题设条件给定的点、区间端点、区间中点等都是可能的特殊点。例1设函数

在

上连续，在

内二阶可导，且

证明存在