线性系统理论(第一章).课件

线性系统理论曲延滨第一章线性系统的时间域理论第1章线性系统的状态空间描述分析和综合线性系统的运动和特性的理论和方法。时间域理论：以时间域数学模型为系统描述，在时间域内1.1系统的状态空间描述动态过程数学描述的两种基本类型。一个系统用下图的一个方块来表征。第一章内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。统称为系统的外部变量。方块以外为系统环境系统输入：环境对系统的作用。系统输出：系统对环境的作用。，体现了系统的行为。第一章的因果关系，即输出和输入间的因果关系。不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。系统的外部描述：输入—输出描述，不完全的描述。例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程。其中：和为实常数，第一章假定初始条件为零，取拉氏变换。复频率域描述，即传递函数。系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。两个数学方程组成：状态方程：微分方程或差分方程。内部变量组和输入变量组间的因果关系。输出方程：代数方程。内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换关系。第一章状态：完全地表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。状态和状态空间其中：，为初始时刻。状态向量：由状态变量构成的列向量。状态空间：状态向量取值的一个向量空间。状态变量：组成这个变量组的变量。第一章状态变量组：一个动力学系统的结构示意图。输入变量组：动力学系统的状态空间描述输出部件动力学部件输出变量组：第一章决定了输出的变化。状态空间描述：输入引起系统状态变化，而状态和输入则一般的情况下，为一阶非线性时变微分方程组。向量方程的形式：状态方程：微分方程或差分方程。第一章一般的情况下，输出方程为：向量方程的形式：输出方程或量测方程第一章其中：线性系统的状态空间描述为：第一章一般的形式为：离散系统：各变量在离散的时刻取值，状态空间反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。用，来表示离散的时刻。线性离散时间系统：第一章解：确定状态变量，最多2个线性无关的变量，取和例1：下图所示简单电路，电路各组成元件的参数为已知，作为状态变量。系统状态空间描述的列写举例输入变量取为电压源，输出变量取为电阻的端电压。第一章右回路：代入得：列出原始电路方程：由电路定律。由于左回路：第一章求解上述方程为：导出状态方程：以和为变量，第一章状态方程：输出方程：第一章每年有4%的上一年城市人口迁去农村，同时有2%的上一年例2：考虑人口分布问题，设某国1988年的人口分布为：农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1%。城市人口为，农村人口为。人口的流动情况为：解：确定状态变量：城市人口和农村人口。建立人口按年分布方程：取1988年为k=0，则k+1年时城市人口和农村人口的分布方程，可以定为：第一章导出状态方程：把上述联立方程表为向量方程的形式，即得到人口分布的状态方程为：1.2系统按其状态空间描述的分类第一章系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。线性系统和非线性系统向量方程中和的所有元都是变量和的线性函数，则相应的系统为线性系统。第一章第一章若向量函数中和至少包含一个元为变量和的非线性函数，则为非线性系统。在某个的一个邻域内线性化，按线性系统处理。第一章时变系统和时不变系统系统的状态空间描述中显含时间t时，即向量函数f和g或时变系统，非定常系统。系数矩阵A，B，C，D是包含t

的函数时，称相应的系统为状态空间中不显含时间t，定常系统。第一章连续系统和离散系统作用于系统的变量、表征系统形态的变量，都是时间t的连状态方程：微分方程的形式。续变化过程。输出方程：连续的变换方程。第一章系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间的因时间系统简称为离散系统。果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来表征。离散输出方程：离散时间变换方程。状态方程：差分方程的形式。第一章确定性系统和随机系统确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变化，或者两者蒹而有之。1.3化输入—输出描述为状态空间描述第一章由输入—输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。问题的提法：一个单输入—单输出线性定常系统，令y和u分别为其输出变量和输入变量，则可用单变量的高阶微分方程来描述：第一章而状态空间描述：A为n×n

矩阵，b为n×1矩阵，c为1×n矩阵，d为标量。归结为：选取适当的状态变量组与确定各个系数矩阵A，b，c和d。第一章算法：引入微分算子符号当时，有理分式是严格真的。当时，有理分式是真的。则第一章⑴当时，将上式改写为：改写为：第一章取状态变量组为：则第一章则第一章例：给定系统的输入—输出描述为则第一章⑵当时，将有理分式进行严格真化，则第一章则：第一章例：给定系统的输入—输出描述为则第一章1.4状态方程的对角线规范形和约当规范形线性定常系统的系统矩阵A的特征值是表征系统的动力学特征的一个重要参量。对角线规范形给定系统的状态方程系统的特征值定义为如下特征方程的根。第一章一个阶数为n的系统，必有且仅有n个特征值，可为实数或共轭复数。称一个非零列向量为矩阵A的属于特征值的特征向量，如果成立。特征向量是不唯一的。当n个特征值为两两互异时，任取的n个特征向量必是线性无关的。第一章并利用它们的特征向量组成变换矩阵，那么系统的状态方程在变换下必可化为如下的对角线规范形。结论：某系统，设其特征值为两两互异，第一章证明：由，可导出其中可得到：左乘得：第一章例：给定线性定常系统的状态方程为解：特征值为化为对角线规范形。第一章相应的一组特征向量为：则第一章即：第一章结论：①对角规范形，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成为②如果系统矩阵A具有形式n个独立的状态变量方程。第一章且其特征值两两不相等，则变换矩阵为结构特征的分析。③当特征值中包含复数特征值时，、及都将为复数矩阵，没有实际物理含义。但不影响对系统第一章约当规范形系统的特征值为非互异，则状态方程一般不能变换为对角线规范形，但可变换为准对角线规范形，即约当规范形。①约当规范形给定系统的状态方程，设其特征值为，，，，，则存在可逆变换矩阵Q，通过引入变换，可使状态方程化为如下的约当规范形。第一章其中，，为矩阵，具有以下形式称为相应于特征值的约当小块，且具有以下形式第一章阵第一章结论：矩阵A的特征值为各种重数的重值时，不能通过变换而实现完全解耦，约当规范形可能达到最简耦合形式。在这种规范形中，每一个状态变量的方程和下一序号的状态变量构成耦合。第一章②特征值的代数重数和几何重数设为矩阵A的一个特征值，且有则称为的代数重数。再设则称为的几何重数。第一章的几何重数即为其约当小块的个数。之和，即成立的非零向量的集合。而的代数重数，则是所有属于的约当小块的阶数为的零空间的维数。而的零空间定义为，使亦即为的几何重数。第一章只有当所有特征值的几何重数等于其代数重数：则规范形具有对角线规范形的形式。③广义特征向量即称一个非零向量是矩阵A的属于的级广义特征向量，当且仅当当k=1时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。第一章广义特征向量具有三个基本性质性质1：设是A的属于的级广义特征向量，则如下定义的个向量必是线性无关的：并且称此向量组为长度是的广义特征向量链。第一章证明：只需证明使下式成立的常数必全为零，即，将上式两边乘以，则得到下式，第一章则已知，则同样，乘以，可导出则则证明完成。第一章性质2：设为A的代数重数为的特征值，计算秩，直到且为止。再按如下方式生成广义特征向量链，假定，且设第一章其中，为满足和的非零列向量，第一章性质3：矩阵A的属于不同特征值的广义特征向量之间必为的列向量。则如表所生成的个广义特征向量，必是线性无关的。线性无关。和为满足线性无关，第一章利用，可得到约当规范形。使具有重特征值的系统状态方程化为约当规范形的变换阵Q，可按如下方式组成：其中，④化为约当规范形的变换矩阵的组成第一章例：给定线性定常系统的状态方程为将其化为约当规范形的计算步骤如下：其中：第一章①计算矩阵A的特征值由，可定出其特征值为和②对，计算第一章因，故计算可到此为止。第一章③确定A的属于的5个线性无关的广义特征向量并且，满足和首先，可列出下表可定出一个列向量为，从而有第一章再满足线性无关可定出一个列向量第一章从而又导出④确定A的属于的特征向量由，可定出A的属于的一个特征向量为：第一章⑤组成变换矩阵Q第一章其逆可求出为：第一章⑥导出状态方程的约当规范形第一章其中，变换后的状态向量为：第一章1.5由状态空间描述导出传递函数矩阵多输入—多输出系统，传递函数阵表征输入—输出特性。由状态空间描述，导出系统的传递函数矩阵。传递函数阵多输入—多输出的线性定常系统输入变量组为：输出变量组为：第一章假定系统的初始条件为零和为和的拉普拉斯变换，表示第个输入端到第个输出端的传递函数，其中：则：第一章向量方程的形式为：为传递函数矩阵，为的一个有理分式矩阵。第一章当的元传递函数除严格真外还包括真有理分式时，称为真有理分式矩阵。当均为严格真有理分式时，称为严格真有理分式矩阵。为真的或严格真的，物理上可实现。零阵，严格真的。非零阵，真的。第一章状态空间描述为严格真的。时，为真的，传递函数阵为时，且有：理论分析重要，但计算不方便。第一章的实用计算关系式和则第一章例：给定系统的状态空间描述为特征多项式为：第一章系数矩阵：第一章则：计算特征多项式的算法莱弗勒（leverrier）算法给定常阵A，其特征多项式可表为：第一章则：表示矩阵的迹，矩阵的所有对角线元之和。第一章1.6线性系统在坐标变换下的特性坐标变换：把系统在状态空间的一个坐标系上的表征，化为另一个坐标系上的表征。坐标变换的表征实质是换基，基底设状态在基底上的表征为而其在另一个基底上的表征为第一章和间的关系，也即坐标变换的代数表征。维状态空间中有且仅有个线性无关的向量，而必是线性无关的，因此均可表为的线性组合，而且表示必是唯一的。第一章第一章由：则：同理，可导出第一章则：即：和之间为线性非奇异变换的关系。坐标变换就是一种线性非奇异变换。第一章系统状态空间描述在坐标变换下的特性结论1：给定线性定常系统的状态空间描述为引入变换：变换后的状态空间描述为则：第一章结论2：变换前后特征值不变。即：讨论：①两个状态空间描述存在变换关系，称为代数等价。②同一系统采用不同的状态变量组，所导出的两个状态空间描述，必然是代数等价的。③两个代数等价的状态空间描述，可化为相同的对角线规范形或约当规范形。第一章结论：线性定常系统的传递函数矩阵在坐