2023-2024学年高二上学期期末数学仿真模拟卷02（新高考地区专用）(含答案)

-2024学年高二数学上学期期末仿真模拟02卷（测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（）A. B. C. D.2．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（）A. B. C.或 D.3．已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为（）A. B. C. D.4．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（）A.12 B.24 C.48 D.965．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（）A.1 B.2 C. D.6．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（）A. B. C. D.8．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（）A.曲线E可能为抛物线 B.当时，曲线E为圆C.当或时，曲线E为双曲线 D.当时，曲线E为椭圆10．关于空间向量，下列说法正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则B.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面，的法向量分别为，，则D.若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（）A.直线l恒过定点B.当时，圆C上有且仅有四个点到直线l距离都等于1C.圆C与曲线恰有三条公切线，则D.当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点12．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（）A.C的方程为B.面积的最大值为6C.若点，，则当最大时，D.若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线，，若，则实数______．14.在直三棱柱中，，，M是的中点，则直线CM与夹角的余弦值为______．15.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中所有序号为的项去掉，中剩余的项按自小到大的顺序排成数列，则的值为__________.16．如图，，是双曲线：（，）的左右焦点，过的直线与圆相切，切点为，且交双曲线的右支于点，若，，则双曲线的离心率______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.19．如图，平面，平面，，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20．已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线相切．（1）求曲线E的方程；（2）若过点且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点，求面积的最大值．21．设数列的前项和为，且，数列满足，其中.（1）证明为等差数列，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为；（3）求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值.22．已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；（1）求抛物线C的方程；（2）过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.2023-2024学年高二数学上学期期末仿真模拟02卷答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点，，都在直线l上，点不在直线l上．故选：D．2．已知两个平面的法向量分别为，则这两个平面的夹角为（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】，因为向量夹角范围为，故两向量夹角为，故两平面夹角为，即，故选：B.3．已知双曲线的离心率，则其渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的离心率，所以由得，所以，即渐近线方程为，故选：A4．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（）A.12 B.24 C.48 D.96【答案】B【解析】设灯塔每层的灯数满足数列，顶层的灯数为，前项和为，则为公比为2的等比数列，根据题意有,解得，∴，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24.故选:B.5．已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C6．已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，

∴，

由，∴，

化为，∴，

整理得，

∵，∴，

解得，

故选：B7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，则，，，由得：，解得：，又，.故选：B.8．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设,由均在上，为的中点，得，则，∴，∴，设直线倾斜角为，则，不妨设为锐角，∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.∴，∴，解得，∴由对称性知直线的斜率为.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（）A.曲线E可能为抛物线 B.当时，曲线E为圆C.当或时，曲线E为双曲线 D.当时，曲线E为椭圆【答案】BC【解析】曲线E的方程为：，显然且，对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误；对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确；对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线，因此当或时，曲线E为双曲线，C正确；对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误.故选：BC10．关于空间向量，下列说法正确的是（）A.直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则B.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C.平面，的法向量分别为，，则D.若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面【答案】AD【解析】对于A，直线l的方向向量为，直线m的方向向量，由，则，故正确对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以，则，故错误；对于C，平面，的法向量分别为，，所以，，则，故错误；对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确.故选：AD.11．已知圆，直线，则下列结论正确的是（）A.直线l恒过定点B.当时，圆C上有且仅有四个点到直线l距离都等于1C.圆C与曲线恰有三条公切线，则D.当时，直线l上动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点【答案】BCD【解析】由直线:,,整理得:,故,解得,即经过定点,故A错误;当时,直线为,圆心到直线的距离故圆上有四个点到直线的距离都等于1,故B正确;圆,其半径，圆,当时,,整理得，其半径圆心距为，故两圆相外切,恰有三条公切线,故C正确;当时,直线的方程为,设点,圆的圆心,半径为,以线段为直径的圆的方程为:,即,又圆的方程为,两圆的公共弦的方程为整理得,即,解得,即直线经过点,故D正确.故选：BCD.12．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（）A.C的方程为B.面积的最大值为6C.若点，，则当最大时，D.若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则【答案】ACD【解析】过点向椭圆引切线，当切线斜率不存在时：，蒙日圆半径为，蒙日圆方程为：；当切线斜率存在时，设，过点的切线方程为，联立，整理可得：，则，整理可得：，是方程的两根，由题意可知：，即，也即，综上所述：圆E：的蒙日圆为，故选项正确；由可得：为蒙日圆的直径：所以面积的最大值为，故选项错误；由题意可知：如下图：当与蒙日圆在第三象限相切时，最大，设切线的方程为，即，由圆心到直线的距离，解得：，所以，因为，且，所以，此时最大，最大为，所以，故选项正确；由椭圆的定义可知：，又因为，所以，即，解得：或，不妨设：，则，又因，所以，则，所以在中，，则，，所以，故选项正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线，，若，则实数______．【答案】【解析】由直线垂直可得：，解得：.故答案为：．14.在直三棱柱中，，，M是的中点，则直线CM与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】在直三棱柱中，，以点C为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，，则，线段的中点，于是，，所以直线CM与夹角的余弦值为.故答案为：15.去掉正整数中被4整除以及被4除余1的数，剩下的正整数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中所有序号为的项去掉，中剩余的项按自小到大的顺序排成数列，则的值为__________.【答案】153【解析】由题意可知，数列所有的奇数项为被除余的数，所有的偶数项为被除余的数，则当为奇数时，；当为偶数时，.即，，，，，，显然数列是数列从第二项开始去掉两项、保留两项所组成的对于，由，则；对于，由，则，故.故答案为：153.16．如图，，是双曲线：（，）的左右焦点，过的直线与圆相切，切点为，且交双曲线的右支于点，若，，则双曲线的离心率______.【答案】【解析】连接，过作，由，则易知，，，，，所以在中，，整理得，所以双曲线的离心率.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】（1）设数列的公差为，∵成等比数列，∴，即，∴，由题意故，得，即.（2），∴．18．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】（1）（2）1【解析】（1）由的焦点坐标为由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为故，在双曲线中：①又双曲线经过点所以②解得：所以双曲线的方程为：（2）由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设所以消去整理得：所以所以由的中点坐标为所以所以.19．如图，平面，平面，，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）依题意，平面，平面，∴平面，又平面，，∴平面平面，∴平面平面，平面平面，∴；（Ⅱ）解：依题意，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，因此有，∴直线与平面所成角的正弦值为．20．已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线相切．（1）求曲线E的方程；（2）若过点且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点，求面积的最大值．【答