2023-2024学年高三核心模拟卷(中)数学试卷（含答案）

-2024学年高三核心模拟卷（中）数学（一）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，则（）A.B.C.D.3.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.已知，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（）A.B.C.D.5.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是（）A.B.C.D.6.已知圆关于直线对称，过点作圆的两条切线和，切点分别为，则（）A.B.C.D.7.在正四棱锥中，是棱上一点，且，过点作平面底面，分别交于点，若，则多面体的体积为（）A.B.C.D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.2C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组数据：，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.设函数的最大值为1，最小值为-3，若的图象相邻的两条对称轴间的距离为，将的图象向上平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.在内恰有3个零点C.的图象关于点对称D.在上单调递增11.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，过的直线交于两点，是坐标原点，则（）A.抛物线的准线方程为B.的最小值为4C.若，则的面积为D.若，则的方程为12.在四面体中，，四面体的顶点均在球的表面上，则（）A.当平面平面时，B.球的表面积随二面角的大小变化而变化C.异面直线与不可能垂直D.与平面所成角的最大值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若的二项展开式的第7项为常数项，则__________.14.已知，则__________.15.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，则__________；若，则数列的前2024项和__________.16.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.18.（本小题满分12分）某中学为研究本校高三学生在县联考中的数学成绩，随机抽取了100位学生的数学成绩（满分150分）作为样本，并整理成五组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）若参与测试的学生共12000人，试估计成绩不低于110分的学生有多少人？（2）用分层随机抽样的方法从样本中的和两组抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人得分在范围内的人数为，求的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，且.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且满足.（1）求的通项公式；（2）记求数列的前项和.21.（本小题满分12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过点作直线轴，与交于两点（在上方），且四边形的面积为的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知，是否存在过点的直线与曲线交于（在上方）两点，使得与的面积比为？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若，求函数的零点个数.2023~2024学年高三核心模拟卷（中）数学（一）参考答案1.D复数在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限.故选D.2.C由题意知或，所以，故错误；或，故B错误；，故，故C正确；〔，故D错误.故选C.3.D由题意知，解得，所以，所以故选D.4.B由，可得，因为的符号不确定，推不出，故A不满足题意；由，可得，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故B满足题意；因为，所以不满足题意.故选B.5.C因为，所以0不是不等式的解，当时，是单调递增函数，因为，即，所以，又是定义在上的偶函数，所以当时，的解集为，所以原不等式的解集为.故选C.6.A由题意知圆的圆心坐标为，半径为2.因为圆关于直线对称，所以直线过圆心，所以，解得，故点，所以，所以，所以，又，所以，所以.故选A.7.A由题意知多面体是正四棱台.如图，分别为正方形和的中心，连接，则在线段上，且平面，易证，所以.因为，，所以，又，所以，所以正四棱台的体积为.故选A.8.B设，连接，与轴交于点，由对称性可知，又，所以是正三角形，且.因为，所以，所以，所以，所以，又点在直线上，故，所以，所以.故选B.9.AD将原数据按从小到大的顺序排列为，其中位数为25，平均数是，方差是，由，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得，其中位数为25，平均数是，方差是，由，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.故选AD.10.BCD由题意知解得的最小正周期为，即，所以，故.由，得，所以当，即时，，故在内恰有3个零点，故A错误，B正确；由，得，所以，故C正确；由，得，所以在上单调递增，故D正确.故选BCD.11.BC由抛物线的定义知，，所以，故的方程为，所以的准线方程为，故A错误；设，又，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4，故B正确；设直线的方程为，联立消去并整理，得，所以，因为，易求得，所以的面积，故C正确；由以上可得，又，，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，解得，故直线的方程为，即或，故D错误.故选BC.12.ACD对于，由题意得，所以，分别过作的垂线，垂足分别为，则，且，因为平面平面，易证，所以，所以，故正确；对于，因为，故的中点到的距离相等，故球心为的中点，且球的半径为1，故球的表面积为，为定值，故B错误；对于，假设，又平面，所以平面，又平面，所以，所以是以为斜边的直角三角形，所以，与已知矛盾，所以异面直线与不可能垂直，故C正确；对于，设与平面所成角为，点到平面的距离为，则，所以当点到平面的距离最大时，与平面所成角最大，当平面平面时，点到平面的距离最大，此时，即，所以，故D正确.故选ACD.13.18因为，且时为常数项，故，所以.14.因为，所以，所以，所以.（2分）（3分）由题意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，又，所以.由，得，所以.16.因为关于的不等式在上恒成立，即在上恒成立.令，则，令，则，易得在上单调递增，又，所以存在，使得，即，则，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以在上恒成立，所以在区间上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围是.17.解：（1）在中，因为，由正弦定理得又，所以，所以，因为，所以，所以，解得.（2）在中，，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），所以的面积为.18.解：（1）由频率分布直方图可知，样本中成绩不低于110分的学生占所以若参与测试的学生共12000人，估计成绩不低于110分的学生有人.（2）由频率分布直方图可知，，解得，若用分层随机抽样的方法从样本中的和两组抽取8人，则来自组的有6人，来自组的有2人，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为123所以.19.（1）证明：取的中点，连接，则.因为在正三棱柱中，平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.因为，所以四边形为正方形，所以又平面，所以平面.又平面，所以.（2）解：由（1）知两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以由，得，所以，所以，所以.设平面的一个法向量，则令，得，所以.易知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，所以.所以平面与平面的夹角的余弦值为.20.解：（1）由，得，当时，，即，又，所以.当时，所以，即，整理得，因为，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.（2）由（1）得当为偶数时，，令，则，令，所以，两式相减，得，所以，所以；当为奇数时，，所以21.解：（1）设的焦距为，则，代入椭圆的方程，得，解得，所以.由，得，由，得，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，假设存在直线，使得，若不存在斜率，则，故，，不合题意；若存在斜率，设的方程为，直线的方程为，所以直线过点，所以，所以，所以，所以，设，则，所以.联立消去并整理得，则，又，所以，所以，解得，所以的方程为，故存在直线，使得，且直线的方程为.22.解：（1）由题意得的定义域为，且，当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以.（2），令，则.因为的定义域为，故的零点与的零点相同，所以下面研究函数在上的零点个数.由，得.当时，在上恒成立，所以在上单调递增.又，故此