配套K122023版高考数学一轮复习第十章计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理理自然科学

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第十章计数原理

第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、选择题

1．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()

ACDBA．72种B．48种C．24种D．12种

解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，

D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．答案A

2．如图，用6种不同的颜色把

图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()．A．400种C．480种

B．460种D．496种

解析从A开头，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C.答案C

3．某省高中学校自实施素养教育以来，同学社团得到迅猛进展，某校高一新生中的五名同学准备参与“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参与，每名同学至少参与一个社团且只能参与一个社团．且同学甲不参与“围棋苑”，则不同的参与方法的种数为

()．

C．180

D．216

A．72B．108

解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，假如甲不参与“围棋苑”，有下列两种状况：

(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参与“围棋苑”，有C4种方法，然后从甲与丙、丁、教育配套资料K12

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戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊安排到其他三个社团中，有C4A3种方法，故共有C4C4A3种参与方法；

(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参与“围棋苑”，有C4种方法，甲与丁、戊安排到其他三个社团中有A3种方法，这时共有C4A3种参与方法；综合(1)(2)，共有C4C4A3＋C4A3＝180种参与方法．答案C

4．有4位老师在同一班级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种C．10种

B．9种

D．11种

123

233

23

2

123

23

解析分四步完成，共有3×3×1×1＝9种．答案B

5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市巡游，要求每个城市有一人巡游，每人只巡游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎巡游，则不同的选择方案共有

()．D．96种

44

A．300种B．240种C．144种

解析甲、乙两人不去巴黎巡游状况较多，采纳排解法，符合条件的选择方案有C6A4－C2A5＝240.答案B

6．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有()．A．12种B．24种C．30种D．36种

解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有C4种不同选法，其次步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有C4×2×2＝24(种)．答案B二、填空题

7．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，其次行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满意N1＜N2＜N3的全部排列的个数是________．(用数字作答)

解析由已知数字6肯定在第三行，第三行的排法种数为A3A5＝60；剩余的三个数字中最大的肯定排在其次行，其次

行的排法种数为A2A2＝4，由分步计数原理满意条件的排列个数是240.答案240

8．数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一教育配套资料K12

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12

2

2

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行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则全部填写空格的方法共有________种．

解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对于5的每一种填法，6、7、8只有3种不同的填法，由分步计数原理知共有2×3＝12种填法．答案12

9．假如把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．

解析当相同的数字不是1时，有C3个；当相同的数字是1时，共有C3C3个，由分类加法计数原理得共有“好数”C3＋C3C3＝12个．答案12

10．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在全部不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

1

11

1

11

2

由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种．(结果用数值表示)

答案21；43三、解答题

11．如图所示三组平行线分别有m、n、k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？

解(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一教育配套资料K12

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对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．

(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成CmCn＋CnCk＋CkCm个平行四边形．

12．设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M.(1)P可以表示多少个平面上的不同的点？(2)P可以表示多少个其次象限内的点？(3)P可以表示多少个不在直线y＝x上的点？

解(1)分两步，第一步确定横坐标有6种，其次步确定纵坐标有6种，经检验36个点均不相同，由分步乘法计数原理得N＝6×6＝36(个)．

(2)分两步，第一步确定横坐标有3种，其次步确定纵坐标有2种，依据分步乘法计数原理得N＝3×2＝6个．

(3)分两步，第一步确定横坐标有6种，其次步确定纵坐标有5种，依据分步乘法计数原理得N＝6×5＝30个．

13．现支配一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解可将星期一、二、三、四、五分给5个人，相邻的数字不分给同一个人．星期一：可分给5人中的任何一人，有5种分法；

星期二：可分给剩余4人中的任何一人，有4种分法；星期三：可分给除去分到星期二的剩余4人中的任何一人，有4种分法；

同理星期四和星期五都有4种不同的分法，由分步计数原理共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．

14．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？(2)若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？

(3)若f满意f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，这样的f又有多少个？

解(1)明显对应是一一对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(个)．

(2)0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法．所以不同的f共有3＝81(个)．(3)分为如下四类：

第一类，A中每一元素都与1对应，有1种方法；

其次类，A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C4·C2＝12种方法；教育配套资料K12

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