单元08 立体几何【文科过关测试】（解析版）-2022年高考一轮数学单元复习（文理通用）

2022年高考一轮数学单元复习（文理通用）

单元08立体几何【文科过关测试】

1.设。，。为两条直线，以下选项中能推出a〃b的个数是（）

①〃，匕与同一个平面所成角相等

②a,Z?垂直于同一条直线

③a,Z?平行于同一个平面

④〃，。垂直于同一个平面

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

解：①若。，。与同一平面所成角相等，则。，b可能相交或异面，故①错误，

②若a,6都垂直同一直线，则。，。可能相交，平行，异面，故②错误，

③若。，6平行于同一平面，则。，b可能相交，平行，异面，故③错误，

④若。，6垂直于同一个平面，则a//8.・.④正确，

故选：A.

2.已知用，〃为两条不重合的直线，a,£为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）

A.若加〃a,n//（3,a_L/?,则

B.若m_L〃，n±/3,aL/3,则加_La

C.若m//a,〃ua,则加与“异面

D.若〃?_La,nV/3,mlIn,则a〃/?

【答案】D

由题意，直线加，〃为两条不重合的直线，仅为两个不重合的平面，

对于A中，若加〃a,n//p,a工0,可能加〃"，所以A不正确；

对于B中，若m_L〃，nL。,a_L用，可能加//a,所以B不正确；

对于C中，若加〃a,"ua,则加与〃异面或/〃〃〃，所以C不正确；

对于D中，由加_La,加〃〃，可得〃，a,又由〃，尸，所以a〃尸，所以D正确.

故选：D

3.如图在正方体4BCD—A'B'C'Z）'中，点M为AB的中点，点N为BC的中点，点P在底面ABC。内,

且。炉//平面C'MN,£>/与底面43co所成的角为a,贝ijsina的最大值为（）

c6D•半

2

【答案】D

取A。、CD的中点5、T,连接ST,05,07,

因为O'S〃C'N,所以05//平面CMN,

ST//MN,所以ST〃平面CMN,

又因STcO5=S

所以平面D'STII平面C'MN，

故点P在ST上时，D妒“平面C'MN,

设正方体的棱长为1,

因为底面ABC。，

所以NDPD即为。'尸与底面A8CD所成的角为a,

当P为ST的中点时，a取最大值，

DP'12>/2

22sina=

此时，DP^—,D'P=yjDP+D'D=而一猊一丁

44

4

故sina的最大值为述.

3

故选：D.

4.在四面体ABC。中，BC=BD=CD=2,AB=2有，N是棱的中点，CN=&，则异面直线AB

与CN所成的角为（）

7T717171

A.-B.-C.-D.一

3642

【答案】A

取的中点为M，连接MN,又N是的中点，则MN〃4B，所以/MNC（或其补角）就是异面

直线AB与CN所成的角.

在AMNC中，MN=；AB=6CN=百，CM=技-}2=5所以AMNC为等边三角形，故

7171

NMNC=一,即异面直线AB与CN所成的角为一.

33

故选：A.

5.正方体ABC。-44GA的棱长为2,£,£G分别为BC,CG，B4的中点厕下列说法错误的是（

)

A.直线4G与平面AEF平行

B.直线DDi与直线AF垂直

C.异面直线4G与£F所成角的余弦值为巫

10

9

D.平面AEF截正方体所得的截面面积为一

2

【答案】B

正方体ABCD—AgGq中，连接AD”FDi,GF,BCi,如图:

因点E,F是BC,CJ中点，则E/力8Q,而正方体ABC。一4与。1。的对角面布（7。是矩形，贝ljA。//8cl

//EF,

连GF,因G是棱88i中点，则G〃/8iC必15,且GF=B£=A2，即四边形4GFQ是平行四边形，4

G//DiF,

qEu平面AEF,4Gz平面AEF,于是4G〃平面AEF,A正确;

因DD[±平面ABCD,[ft]-AEU平面ABCD,即有DQ1AE,若DD1±AF,必有DDt_L平面AEFDt,DDt_L

ADi,与NA。。=45°矛盾-，B不正确；

lilEFZ/ADu4G〃DiF,则异面直线4G与EQ所成角是NAO尸或其补角，

作于M,显然AE=./=石，即四边形AEFDi是等腰梯形，的=2防=2近，

…，AD,-EFV2

。幽=^^=万，D}M_V_V10C正确;

cosZAD,F--

DtFvrlo-

FM=血户”^=不（舟—母y=|0,平面Af尸截正方体所得的截面是等腰梯形AEFDi,

等腰梯形AEFD.的面积为S=ADL±EK..FM=25史.3夜=2,D正确.

2222

故选：B

6.直四棱柱ABC。-的底面是菱形，其侧面积是8夜，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的

表面积的最小值为（）

A.3万B.5万C.6万D.8乃

【答案】D

D因为直四棱柱ABC。-44GA的底面是菱形，菱形的四个顶点在球上,

所以底面是正方形.

设直四棱柱ABC。-44GA底面正方形的边长为a,侧棱长为h,

由侧面积是8式，得4ah=8拒，即。〃=20，

且该直四棱柱的外接球的半径R=幻2/+外,

2

所以其外接球的表面积S=4兀K=万（2/+h2）＞7v-26ah=8%，

（当且仪当缶=〃，即。=&,人=2时等号成立）.

所以其外接球的衣面积的最小值为8%.

故选：D

7.在如图所示的直三棱柱ABC-A4G中，AA=4,A5_LAC,过点A1作平面。分别交棱AB，AC

于点。，E，且M1DE，NAAf=60°,则截面△4DE面积的最小值为（）

c,小

A.1673B.32百C.36百D.48百

【答案】B

在放中，由44]=4,可得4尸=8,AF=4y/3.

设AD=x,AE=y,在RfAAOE中，AFIDE^由等面积法可知3+4=4，

x~y48

因为A41_LDE,AFLDE-AA}ryAF=A,AA1，AFu平面所以OE_L平面必4,

又由A/u平面E4A，所以。E_LA,/，

所以“WE=gxOExA/=4G+♦,

因为炉+丁=48([+4](*2+/)=48(2+力+4]248*(2+2)=192,

(xIx〃

当且仅当x=y=4#时，等号成立，所以(SMOE%,,=326.

故选：B.

8.体积为8的四棱锥P-A8C。的底面是边长为2夜的正方形，四棱锥P-ABC。的外接球球心。到底

面ABCO的距离为1,则点P轨迹的长度为()

A.nB.2乃C.3万D.4万

【答案】B

,3V3x8.

由题意可知，点P到底面ABCD的距离力=丁=2&x2夜=3，

又四棱锥尸-A8CD的外接球球心。到底面ABC。的距离为1,设外接球半径为R，

因为底面ABC。的中心为。।,

所以。4，平面488,且??=。。=0。=6，

所以。与尸不可能在面ABCD的两侧，如图所示,

故点尸在垂直于。。且与球心。距离为2的平面与尸一A5CD的外接球的交线上,

即在如图所示的以O'P为半径的圆0'匕而00=2,

所以。尸=力?2-。。2=1，

故点P的轨迹长度为2万•。7>=2万.

故选：B

9.如图，在直四棱柱ABCD-Ai&QDi中，底面ABCD为矩形，AB=6.AD,E,F分别为BBi,A8的中点,

则（）

A.AJ〃平面DEF且4G回DF

B.4cl〃平面DEF且4Q与DF不垂直

C.4Ci与平面DEF相交且4G回DF

D.4G与平面。EF相交且4G与。F不垂直

【答案】C

FBMBBE1

延长DF、C8相交于点M,连接ME并延长，因为点E、F分别是眄,AB的中点，所以灰二坛二元之,

所以M、£、Ci三点共线，所以AG与平面DEF相交不平行，4Q与平面DEF相交不平行，故A、B选项不

正确；

AT)AH厂

对于C、D：连接AC与FD相交于点。，因为A8=J^AD,F是AB的中点，所以而=葭=0，

又NOAB=ZA8C=9(r，所以A/M/7〜△ABC，

所以ZADF=NCAB，ZDFA^ZACB,又NC43+ZAC3=9CT，所以NC4B+NDE4=90°，

所以NAOF=9O,所以AC_LDF,又AC〃4G，所以/，故C正确，D不正确,

10.已知四面体ABC。中，平面4BOJ_平面BCD,△A5O是边长为2的等边三角形，BD=CD,

BD1CD,则四面体A6C。的体积为()

「4石

C.------D.273

353

【答案】A

因为平面A3。J_平面BCD，平面ABDc平面3C£)=BD，CD1BD,COu平面BCD，

\C£)A平面AB£＞，

2

■：CD=BD=2,SAABD=^x2=V3.

iin/Q

所以，VC-ABD=^SAABD-CD=^X^X2=--

故选：A.

11.词语"鳖膈"等出现自我国数学名著《九章算术・商功》，把四个面都是直角三角形的四面体称为"鳖膳'；

如图，三棱锥A-38是一个鳖，其中A5_LCZ),A3_L8C,3C，C。，三棱锥A—38的接球的表面

山题意，三棱锥A—BCD的外接球的表面积为12万，即4%氏2=12"，则三棱锥A—38的外接球的半径

为R=也.

因为48,8,锄，3。,5。0。。=。,所以45_1_面88,所以A3JLBD.

同理可证：ACLCD.

所以AD为三棱锥A—6C。的外接球的直径.所以AD=2有，

'：AB=2,AD=yjAB2+BC2+CD2=2瓜:.BC2+5=8

BC2+CD2^2.BC-CD,BC-CD4.当且仅当8C=C£>=2时等号成立，

114

所以三棱锥A—BCD的体积的最大值为一x-x8CxCDxAB=-

323

4

故答案为：-

3

12.如图，在直三棱柱ABC-4与&中，ABLAC,例=BC=2,则当四棱锥C-ABBd的体积最大

时，三棱柱ABC-A&G外接球的体积为.

设AB-x,AC-y,

由4BJ.AC，A4,=BC=2可得f+V=4

因为四棱锥C-ABgA体积V=gx2xxxy=g^,

214

所以V=§刈«§（x2+y2）=§,当且仅当x=y=血时等号成立，

即AB=4C=0时，四棱锥C-A34A体积最大，

此时，三棱柱ABC-AB,C,的外接球半径2R=y/AB2+AA；+AC2=2&,

即R=V2.

所以三棱柱ABC-AAG外接球的体积v=3乃（夜y=随加

故答案为：当/2万

3

13.如图，正三棱锥P-A8C的顶点P为圆柱。。1的上底面的中心，底面A8C为圆柱下底面的内接等边三角

形，四边形。EFG为圆柱的轴截面，BO±DG,AB=2石，PA=2J5.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的

表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P-A8C的表面返回A处，则其最短的路程约为

.（参考数据：«3,75»2.24,72®1.41,结果精确到0.01）

【答案】7.06

1AB

因为然=2指,所以QA=O8=PE=^—=2'

cos30°

所以PO=DE=JAf^—AO?=2,

又因为8。LOG,8。，AC,所以OG//AC,所以NC4O=NAQD=30。,

所以A。（劣弧）的长为券*4万=?，

由图可知，当从A到£经过的路程最短时，总路程最短，

将圆柱侧面展开，从A到E的最短距离为线段AE的长度，

此时AE=+*x75.

所以最短路程为后+PE+AP=6+2+2夜a2.24+2+2.82=7.06,

故答案为：7.06.

F

14.已知三棱锥A-BCD所有棱长都相等，球。।与它的六条棱都相切，球与它的四个面都相切，则球°i

与球。2的表面积之比为.

【答案】3

显然此三棱锥为正四面体，如图1

取中点E,尸，连结E尸，由A尸=3/，所以防，A3，同理：EF1CD

则可知。为球。1的一条直径，连结

设正四面体棱长为2,则CR=£＞尸=1,AF=3F=石，

所以防，A3,所以EF=JX正二启=6,球。।半径与=学.

如图2

BD

c

图2

过点A作AHJ_平面88,垂足为H，显然“为△BCD的重心,

连结8”并延长交CD于G,则G为。的中点，CG=1,

所以BG=#>,BH=纽~，

3

所以AH=JAB?-BH?=坯,

3

由^A-BCD~S^BCDAH——(SgcD+*^AABC++^A4CD)^2,

得鸟fH邛所以2

3球o2

故答案为：3

15.把如图的平面图形分别沿A3、BC、AC翻折，已知R、。2、2三点始终可以重合于点。得到三棱锥

D-ABC,那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为.

【答案】50K

D

\F

A3>C

E

在三棱锥。一ABC中，当且仅当ZM_L平面ABC时，三棱锥的体积最大，此时设外接球的半径为/?，球

心为。，设AC的中点为尸，则尸为AABC外接圆的圆心，连接。尸，则OF_L平面ABC,又平

面A8C,所以0E〃D4，在平面。40户中连接0。，过。作。石〃E4,交的延长线于E，则有

OE=AF=CF=；AC=：,AD=5,在中，OO?=OE?+,所以R?=(5+OF)2+^

5?2

连接OC，在用ACAO中，0。2=0/2+。尸2,即R2=。/2+，由R?=(5+0/)2+1和

255、225

…+CI得。尸=—,<0,说明点0在平面A3C的另一侧，此时R2+=——，所rr

272

25

以外接球的表面积为4万斤=4)X——=50〃.

2

故答案为：50乃.

16.如图，在三棱锥A-3C。中，△BCD是边长为1的等边三角形，AB=AC=AD=—，M，N,

3

P分别在棱AB，AC,ADk,平面MNP〃平面BCD,若4"=工，则三棱锥A-BCD的外接球被平

MB2

面MNP所载的图形的周长是

ML-

N

BD

C

【答案】毡无

3

由题知，三棱锥A-B8是正三棱锥，作AE_L平面BCO,交平面M/VP与F点，则E为三角形88的外

接圆圆心，在,平面,尸，在AE上取外接球球心为。，

剧所G4尸自6丫⑷21

3K3J[3）

设外接球半径为r，则Q4=QB=r，则在中,

/+（1—「）2,解得厂=£

AM1

又——=-

MB233

则球心。点到平面MNP的距离OF=AO-AF=—

3

・棱锥A-BCD的外接球被平面MNP所截的图形是一个圆,

该圆的半径为

3

.••该圆的周长为逆兀

3

故答案为：空n

3

17.沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点5与点C间的距离为1,若该正三角形边长为2,则四面体

488外接球表面积为

■137r

【答案】亍

解：根据题意可知三棱锥B—ACO的三条侧棱50_LA。、DCIDA,BD\DC=D,8D,QCu面

BCD，所以AD,面88,

又BC=1,所以底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为正二棱柱的外接球，求出正;棱柱的底面中心

连线的中点到顶点的距离，就是球的半径,

正三棱柱。8C-AEE的中，底面边长为1,高为后,

山题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心,

所以正三棱柱DSC—A石尸的外接球的球心为0,外接球的半径为广，表面积为：4万产.

球心到底面的距离为立,

2

底面中心到底面三角形的顶点的距离为：-x^xl=^

323

所以球的半径为

外接球的表面积为：4万/=1左

故答案为：一137r

3

27r

18.在四面体ABC。中，AABC与AACD都是边长为2百的正三角形，G为AC的中点，且ZBGO=}-

则该四面体ABCD外接球的表面积为.

【答案】28兀

过点。作DE_L8G,易得D£_L平面ABC,

记AA3c的中心为。1,几何体的球心为0,

连接。。1,过点。作。F//01E交。£于点F,

EG=),DE=^~，Q|G=1,Q|A=2,

22

设oq=x,外接球的半径为R,

222

r,,,fR=2+X

所以〈R2~=0,A2~+x"，，即」,3「/5丫,，

222

[R^DF+OF笛=（罢_x）2+已

R=V?

解得《厂，

x=V3

所以该四面体外接球的表面积为2871.

19.在直三棱柱ABC-AAG中，AA=5，A8=6,BC=8,AC=10,则该三棱柱内能放置的最大

球的表面积是.

【答案】16）

由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径厂，

•.•底面三角形的边长分别为6、8、10,

二底面三角形为直角三角形，

H+|5C|-M_6+8-10

/----------------------------乙，

22

又•.[A4j=5,2<-,

该三棱柱内能放置的最大球半径为2,

此时表面积S=41产=4万x2?=16%

故答案为：16〃

20.棱长为2的正四面体ABC。的外接球的球心为。，过点A,B,。的平面截四面体ABC。所得截面的面积

为.

【答案】a

解：将四面体ABCD放置在正方体中，如图，

则棱长为2的正四面体A8CD的外接球的球心O,即正方体外接球的球心.

设正方体的棱长为a,则AB=&a=2,:.a=G

取CD中点M,连接则△ABM为过点A,B,。的平面截四面体A8CD所得截面，

由题意，截面积为一xABxa=Lx2xJ^=0

22

故答案为：V2.

21.如图，在四棱锥P—ABCZ）中，底面ABCO为正方形，且A4_L底面438.

（1）求证：平面尸ACL平面P8D；

（2）若£为棱8C的中点，在棱B4上求一点F,使BF〃平面PDE.

【答案】（1）证明见解析：（2）点尸为棱Q4的中点（证明见解析）

（1）证明：因为PA_L底面ABC。，BDu平面ABCD所以R4LBD；

又底面ABCD为正方形，所以8。，ACACcQ4=A，所以3。1平面PAC,

又BDu平面PBD，所以平面B4c，平面P8D,得证.

（2）如图所示，取的中点Q,PO的中点“，连接8。、QH、HE,

所以会有QH//AD,QH=>AD,又BE//AD,BE==AD,

22

所以QH//BE且QH=BE,

所以四边形BQHE为平行四边形，

所以8。//EH,BQz面PDE,硝①面PDE,

所以平面Q4C_L平面P8D,

所以。点，即为我们要找的F点.

22.如图，四边形反£尸为正方形，AD//BC,AD±DC,AD^2DC^2BC,

（1）求证：点。不在平面CE尸内：

（2）若平面ABCDL平面ABEF,且AD=2,求点。到平面CE/7的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵

5

（1）证明：（反证法）假设点。在平面CEF内.

设C,D，E，尸四点确定的平面为a.因为四边形为正方形，所以砂//AB.因为平面ABC。

与平面ABEF不重合，所以EFZ平面ABCD，又ABi平面ABCD，所以EF//平面ABCD.因为EFu

平面a,平面平面ABCD=CD，所以EF//CD；所以A5//CD.AB-8为直角梯形A8CD的

两腰，不可能平行，故假设不成立.点。不在平面C砂内.

（3）取中点〃，连接“尸，HC,由AD=23C,所以A"=3C,RAH/IBC,所以为

平行四边形，..."C//AB且HC=AB

•..AB//EF,且=二C,”，E，尸共面，

22

S.CHD=^XM=^FA=M，FH=6CH=gCF=VM+G4=V7

•*,S4CHF=$FH-CHsinZ.CHF=-由^D-CHF=^F-CHD得~x^^CHF=QF''^ACHDF•**〃=~~~

NNJJD

故D到平面CEF的距离是—.

5

HD

23.如图，在直三棱柱AEC—ABC中，AQ=AD，E为BC上的一点，AB=AC=BC=a,CC=h

⑴若BE=EC,求证：OEJ"平面BCC8.

（2）平面8CO将棱柱A8C-ABC分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为匕，下面一个几何体

V

的体积为匕，求才的值.

丫2

X1

【答案】（1）证明见解析；（2）寸=1.

解：（1）证明：如图，取BC中点F,连接AF,E,在直三棱柱A8C—ABC中,

\BE=EC.：,EF//CC^EF^-CC,

2

•..AD=AO，且AO//CC,

••・四边形4DEF是平行四边形，.•.OE//AE，

由题意△ABC为正三角形，侧棱A4',BB'，CC两两平行且都垂直于平面ABC,

AF1BC，AFLBB，

•;BC,88u平面BCC8',3CnB8=B.平面BCC8,

又。E//AF,.•.。石，平面3CC8.

（2）正三棱柱A'BC-ABC的底面积s=A。x旦=22,则体积v=Bcrh.

2244

下面一个几何体为四棱锥B—ACCD底面积smAcco=xfjxa=~^>

因为平面A8C_L平面ACCA,过点B作△ABC边AC上的高线8G,如图，

由平面与平面垂直的性质可得BG垂直于平面ACCA,

故四棱锥B-ACCD的高等于巫a.

2

Yil,,13,A/3V32.

划V,=—x—a/zx——a=——ah，

23428

从而X=丫_匕=是a%-昱a-=昱a%，

'2488

24.在如图所示的五面体A8CDEF中，幽DF是正三角形，四边形A8CD为菱形，ZABC=,EF//平面

ABCD,AB=2EF=2,点M为8C中点.

（1）在直线CD上是否存在一点G,使得平面£MG//平面BDF,请说明理由;

（2）请在下列两个条件中任选一个，求该五面体A8CDEF的体积.

①cosNBO尸=；；（2）EM=2.

【答案】（1）CD的中点G,理由见解析；（2）条件选择见解析；体积为2.

2

解：(1)连接AC交BD于点。，连接OM,OF,取CD的中点G,连接GM,GE

因为日7/平面A8CD,EFU平面A8EF,平面ABEFC平面ABCD=A8,所以EF//A8

因为。M//AB//EF,OM=-AB=EF,所以四边形。MEF是平行四边形，所以。F//EM

2

因为EM0平面BDF,OFU平面BDF,所以EM//平面BDF

因为点G与点M分别为CD与8C的中点，所以GM//BD

因为GM<Z平面BDF,8DU平面8DF,所以GM//平面BDF

而GMr>EM=M,平面EMG//平面BDF

(2)选择①

在△BDF中，BD=DF=2,cosNBDF=；,所以BF=&

取AD中点N,连接FN,BN

在ABNF中,BN=FN=6BF=娓,所以8NLFN

因为AABD是正三角形，所以8NJ_A。

因为ADCFN=N,所以8N_L平面ADF

因为BNU平面ABCD,所以平面ADFJ_平面ABCD

如图，五面体ABCDEF可由三棱柱ADF-BCP截去三棱锥E-BCP得到

所以七面他《8£〃-咚枝ttW-BCP—咚梭傩-BCP=%匕枝tMOF-BCP='^A/lOF,BN=—

选择②

山（1）有。F=EM=2,取AD中点N,连接FN,ON,BN

在△ONF中，FN=£，ON=1,0F=2,所以。N_LFN

因为△ADF是正三角形，所以AD_LFN

因为ADnON=N,所以FN_L平面ABCD,所以平面ADF_L平面ABCD

因为△ABD是正三角形，所以8NJ_AD

因为平面ADFC平面ABCO=A。，BNU平面ADF,所以8N_L平面ADF

（选择②求体积时，需多证一组线面垂直，即证明d8“OF=8N）

下同①，略

25.如图，已知三棱柱ABC—A4G的底面是正三角形，侧面是矩形，M.N分别为BC、B©

的中点，P为AM上一点.过qG和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AAJIMN,且平面平面E8CF；

jr

（2）设。为△AgG的中心.若AO=A8=6,A。〃平面£^C/,且NMPN=1，求四棱锥8-我片G尸

的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

（1）在三棱柱ABC-AAG中，BB"Cq且BB]=C&,故四边形B8CC为平行四边形，

所以，BC//BC]且BC=BC「

因为M、N分别为BC、AG的中点，则〃4N且8W=gN,

故四边形3MNB1为平行四边形，所以，MN//BB,,

又因为5月〃/见，因此，AA.//MN.

\AB=AC，M为6c的中点，则AML8C,

•.•34J_平面ABC,BCu平面ABC，故BCLBB-

则BC_L肱V，

■.■AMC\MN=M,.•.8。，平面AAMN.

v片£〃平面ABC,gGu平面4G尸，平面始GPn平面ABC=EF,则EFUB^,

BC"B'G，：.EFIIBC,所以，EFl.平面AAMN,

因为EFu平面EB}CtF,因此，平面A,AMN±平面EBiC}F.

(2)•.•AO〃平面，AOu平面AAMN,平面4AMNc平面EgGF=PN,

故AO//PN，

又因为AP〃ON,故四边形APNO为平行四边形，所以，PN=AO=6,

2

o为4G的中心，则A。=§AN,

'.­AO//PN,ON〃A£,则四边形AQVE为平行四边形，

所以，AP=0N=；%N=6PM=,AM=2g,EF=；BC=2,

因为且BBI=CC,,则四边形BB©C为平行四边形，故BC//BG，

BC(Z平面EB£F,B,C,u平面EB©F,故BCH平面EBgF,

所以点8到平面EB14尸的距离等于点M到平面后4£尸的距离，

过点M在平面A.AMN内作MT工PN,垂足为点T，

因为平面AAMN_L平面，平面AAMNC平面EBC/=PN,MTU平面AAA/N,MT上PN,

故MT_L平面砂。/，

所以，MT=MPsinZMPN=273x—=3.

2

1、(6+2)x6

S梯形环GF=万z(4G+EF)•PN='J=24，

1

=

所以，^B-EB,C,F3-S梯形EBQF•MT=§x24X3=24.

26.如图，在直四棱柱A5CO—A4G，中，M,£分别为AB，C6的中点，底面A6C。是菱形，且

ZBAD=60°,AA|=4,AB^2.

D、G

4MB

(1)证明：DM±DE；

(2)求。到平面DME的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)

(1)证明：连接CM，BD

•••四边形ABC。是菱形，ZBA£>=60°.

AB=AD—BD

又•••"是A8的中点，，。“，回.

又,：ABHCD,■■■DMLCD.

ABCD-ABGR是直四棱柱,

DD、JL平面ABCZ)

又：DMu平面ABCD.DM1DD].

又DRCCD=D,；.DM_L平面CDD、G.

又•••u平面CDDG，DM上DE.

(2)vZ4BC=120°,菱形ABC。的边长为2,M是AB的中点,

DM±AB<

DM=y/AD2-AM2=V3-

又ABCD-A4GA是直四棱柱，侧棱长为4,七为CG的中点,

DE=y/CD^CE1=2>/2-

由⑴知DMLOE，

SADr)F=-DD.•CD=—x4x2=4,

S△喇=；DMDE=；义舟2&=在.

设。到平面OWE的距离为d.

•••DM_L平面CDDG，

一•vy三棱锥〃-函1—-yy三棱锥»

即gS^DEM，d=1S△西£-DM,

解得d=三黑=20,即A到平面DME的距离为2逝.

27.如图，在直三梭柱ABC-AfG中，AB=BC=AA=1,AC=百，点。，E分别为AC和耳G

的中点.

（1）棱A4上是否存在点尸使得平面PRO,平面4?E?若存在，写出R4的长并证明你的结论；若不存

在，请说明理由.

（2）求点A到平面8。石的距离.

【答案】（1）存在；PA=［；证明见解析；（2）3包.

419

解：（1）存在点P满足题意，且24=3.

4

证明如下：

取AG的中点为F，连接跖，AF.DF.

则EE〃A4〃AB,所以AFu平面/WE.

因为A8=8C，。是AC的中点，所以8OLAC.

在直三棱柱ABC—4gG中，平面ABC_L平面ACG，且交线为AC，

所以801平面ACG，所以J.A产.

在平面ACG内，”=丝=1，Z/W）=NA£）F=90。，

ADDF2

所以Rt△皿＞sRt^ADF，从而可得AFA.PD.

又因为PDcBD=D，所以AF_L平面尸3£）.

因为AFu平面43E,所以平面~RD_L平面A3E.

（2）过点E作E”_LBC,垂足为，，连接£>“.

设点A到平面BDE的距离为/?.

v-1c.111V3_A/3

V=—xS.x1=_x_x—x—=—.

EF-ABRDn3△•AR>n322224

2222

而BE=\lBH+EH=j+『=与,DE=yjDH+EH=+/=与.

所以△E£>8是等腰三角形，腰长为好，底边长为1，

22

因此匕8QE='XSA5QEX/2='^/2=3^解得h=2y.

A-BDL3协犍482419

TT

28.如图，圆台。。的上底面半径为2,下底面半径为2,/QB4=],4A，BB1为圆台的母线，平面A41a。，

平面84«。,M为8用的中点，P为40上的任意一点.

（1）证明：BBJ0P；

（2）当点P为线段40的中点时，求三棱锥用-0P6的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）迫.

3

（1）证明：取0B中点N,连接N4,O4,OM,

因为网台。。的下底面半径为2,上底面半径为1,ON=NB=1,

7T

所以MN_L08,又因为/。84=§,所以AOBf为正三角形，

于是48=80=04=2,.

因为M为四8中点，所以用3_L0M,

因为平面A41ao，平面B4G0,010_L0A,

所以AO，平面BBRO,BBq平面BBQQ,

所以04,6g,

又因为。4coM=O,所以8旦人平面。4M,又因为OPu平面0AM,

所以8B|_L0P.

（2）连接尸8,当点P为线段4M的中点时，AO84的面积为

1\/3nrT7I71l711cl八5/3

-x2x2x—=V3-VB「OPB=Vp_0BB,=3VA-OBB,=S.OBB,*AO=w

乙4乙乙J