初三数学期中测试卷及答案

初三数学期中测试卷及答案2019

数学对国家的贡献不仅在于国富，而且还在于民强。查

字典数学网小编为大家准备了这篇初三数学期中测试卷，希

望对大家有所帮助。

初三数学期中测试卷及答案2019

一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分)

1.对于二次函数y=(x-4)2+3的图象，下列说法正确的是()

A.开口向下B.与x轴有两个交点

C.对称轴：直线x二-4D.顶点坐标(4,3)

2.一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3个红球，

这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸

出一个球是黄球的概率为()

A.B.C.D.

3.如图，正三角形ABC内接于圆0,动点P在圆周的劣弧AB

上，且不与A,B重合，则NBPC等于()

A.30°B.60°C.90°D,45°

4.若抛物线y二ax2经过点P(1,-3),则此抛物线也经过点

()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(1,3)D.(-1,-3)

5.数学课上，老师让学生尺规作图画RtZ\ABC,使其斜边

AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种

作法中判断ZACB是直角的依据是()

A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圆周角所对的弦是直径

6.若A(0,y1),B(-3,y2),C(3,y3)为二次函数y=-x2+4x

-k的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是()

A.y10,c>0B.a>0,bOC.a>0,bO,b>0,c

8.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1

个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物

线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1,则原抛物线

的解析式不可能的是()

A.y=x2-1B.y=x2+6x+5C.y=x2+4x+4D.y=x2+8x+17

9.一个正多边形的每个外角都等于30°,那么这个正多边形

的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为()

A.15°B.60°C.45°D,30°

1。如图,抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴与点A(a,0)和B(b,

0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D,下列四个命题：

①当x>0时，y>0;

②若a=-1,则b=4;

③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1y2;

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴

和y轴上，当m二2时，四边形EDFG周长的最小值为6.

其中真命题的序号是（）

A.①B.②C.③D.④

二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）

11.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，

它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球.

记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸

到黄球的频率是0.2,则估计盒子中大约有红球个.

12.已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm,则这

个直角三角形的外接圆的半径为cm.

13.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠

的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如

图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm.

14.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊

桥示意图，已知抛物线的函数表达式为尸-x2+10,为保护

廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处

要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.（精确

到1米）

15.如图，王虎使一长为4cm,宽为3cm的长方形木板，在桌

面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A

到A1到A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木

板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为

cm.（结果保留n）.

16.在第一象限内作射线0C,与x轴的夹角为60°,在射线

0C上取一点A,过点A作AH_Lx轴于点H,在抛物线y=x2(x>0)

上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P、0、Q为顶点的

三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.

三、解答题(本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，

第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14

分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤)

17.已知二次函数当x=1时，y有最大值为5,且它的图象经

过点(2,3),求这个函数的关系式.

18.在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字-2、-

1、1、2的乒乓球(形状、大小一样)，先从盒子里随机取出

一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里

随机取出一个乒乓球，记下数字.

(1)求一次取出乒乓球上的数字是负数的概率；

(2)求两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率.

(3)求两次取出乒乓球上的数字之积小于2的概率.

19.如图，AB是半圆。的直径，C、D是半圆0上的两点，且

0D/7BC,0D与AC交于点E.

⑴若NB二72°,求NCAD的度数；

⑵若AB二13,AC=12,求DE的长.

20.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别与BC,

AC交于点D、E.

⑴求证:BD=CD;

⑵若AB二8,NA=60°,求弓形AE的面积.

21.在平面直角坐标系中，已知A(2,0),B(3,1),C(1,3);

【九年级数学期中试卷及答案】

⑴将4ABC沿x轴负方向平移2个单位至AAIBICI，画图并

写出C1的坐标；

⑵以A1点为旋转中心，将AAIBICI逆时针方向旋转90°

得aAIB2c2,画图并写出C2的坐标；

⑶在平移和旋转过程中线段BC扫过的面积为.

22.我区“联华”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如

果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克.由销售经

验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(x230)存在如

图所示的一次函数关系.

(1)试求出y与x的函数关系式；

⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价

为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

23.如图，。。的半径为1,A,P,B,C是。。上的四个

点.ZAPC=ZCPB=60°.

(1)判断AABC的形状：；

⑵当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出

最大面积；

⑶直接写出线段PA,PB,PC之间的数量关系.

24.如图，抛物线y=ax2+c(a#=0)与y轴交于点A,与x轴交

于B,C两点(点C在x轴正半轴上)，/^ABC为等腰直角三角

形，且面积为4,现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物

线过点C时，与x轴的另一点为E,其顶点为F,对称轴与x

轴的交点为H.

(1)求a、c的值.

(2)连接OF,试判断AOEF是否为等腰三角形，并说明理由.

⑶现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线

HF上，一直角边始终过点E,另一直角边与y轴相交于点P,

是否存在这样的点Q,使以点P、Q、E为顶点的三角形与APOE

全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分)

1.对于二次函数y=(x-4)2+3的图象，下列说法正确的是()

A.开口向下B.与x轴有两个交点

C.对称轴：直线x二-4D.顶点坐标(4,3)

【考点】二次函数的性质.

【分析】根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴

方程和顶点坐标，然后根据开口方向和顶点坐标可判断抛物

线与x轴的交点情况.

【解答】解：二次函数y二(x-4)2+3的图象的开口向上，对

称轴为直线x=4,顶点坐标为(4,3),所以抛物线与x轴没

有交点.

故选D

2.一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3个红球，

这些球除颜色可以不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸

出一个球是黄球的概率为()

A.B.C.D.

【考点】概率公式.

【分析】由一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球和3

个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，直接利用

概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：.••一个不透明的袋子中有5个白球、2个黄球

和3个红球，这些球除颜色可以不同外其他完全相同，

.,.从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率为：二.

故选A.

3.如图，正三角形ABC内接于圆0,动点P在圆周的劣弧AB

上，且不与A,B重合，则NBPC等于()

A.30°B,60°C.90°D.45°

【考点】圆周角定理；等边三角形的性质.

【分析】由等边三角形的性质知，ZA=60°,即弧BC的度

数为60°,可求NBPC=60°.

【解答】解：:△ABC正三角形，

AZA=60°,

ZBPC=60°.

故选B.

4.若抛物线y二ax2经过点P(1,-3),则此抛物线也经过点

()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(1,3)D.(-1,-3)

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】将点P(1,-3)代入y=ax2可求得解析式为y=-3x2,

将四个点坐标分别代入验证可知将P(-1,-3)代入解析式

得-3=-3X(-1)2,成立.【九年级数学期中试卷及答案】

【解答】解：•・•将点P(1,-3)代入y=ax2得a=-3,

y=—3x2,

将四个点坐标分别代入解析式可知，当x二-1时，尸-3,

即D选项正确，其他三个选项均不成立.

故选：D.

5.数学课上，老师让学生尺规作图画RtZSABC,使其斜边

AB=c,一条直角边BC=a.小明的作法如图所示，你认为这种

作法中判断ZACB是直角的依据是()

A.勾股定理

B.直径所对的圆周角是直角

C.勾股定理的逆定理

D.90°的圆周角所对的弦是直径

【考点】作图一复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理.

【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，NACB是直径所对

的圆周角，即可作出判断.

【解答】解：由作图痕迹可以看出。为AB的中点，以0为

圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC二a为半径花弧与

圆0交于一点C,故NACB是直径所对的圆周角，所以这种

作法中判断ZACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直

角.

故选：B.

6.若A(0,y1),B(-3,y2),C(3,y3)为二次函数y=-x2+4x

-k的图象上的三点，则y1,y2,y3的大小关系是0

A.y1

故选B

7.如果二次函数y=ax2+bx+c(a手0)的图象如图所示，那么()

A.a0,c>0B.a>0,bOC.a>0,bO,b>0,c

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的

正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点

的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答案即可.

【解答】解：:图象开口方向向上，

a>0；

图象的对称轴在x轴的正半轴上，

>0,

Va>0,

AbO,bO时,y>0;

②若a=-1,则b=4;

③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1y2;

④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G,F分别在x轴

和y轴上，当m二2时，四边形EDFG周长的最小值为6.

其中真命题的序号是()

A.①B.②C.③D.④

【考点】命题与定理.

【分析】利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对

①进行判断；先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对

称性可对②进行判断；先求出抛物线的对称轴方程，然后比

较点P和Q到对称轴的距离大小，则根据二次函数的大小可

对③进行判断；先求出D点和E点坐标，则作D点关于v轴

的对称点(-1,4),E点关于x轴的对称点E，(2,-3),

连结D'E'分别交x轴和y轴于G、F点，如图，利用两点

之间线段最短可判断此时DF+FG+GE的值最小，所以四边形

EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出DE和D'E',

则可对④进行判断.

【解答】解：当ay2,所以③正确；

当m=2,则y二一x2+2x+3二一(x—1)2+4,则D(1,4);当x=0

时,y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),C点关于对称轴的对称点

E的坐标为(2,3),作D点关于y轴的对称点D，(-1,4),

E点关于x轴的对称点E，(2,-3),连结VEz分别交x

轴和y轴于G、F点，如图，

所以DF+FG+GE=D'F+FG+GE'=D'E',此时DF+FG+GE的值

最小，所以四边形EDFG周长的最小，最小值二+二+,所

以④错误.

故选C.

二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分)

11.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，

它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机抽出一个球.

记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸

到黄球的频率是0.2,则估计盒子中大约有红球16个.

【考点】利用频率估计概率.

【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定

位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳

定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的

近似值就是这个事件的概率.

【解答】解：设红球有x个，根据题意得，

==0.2,

解得x=16.

故答案为16.

12.已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm,则这

个直角三角形的外接圆的半径为5cm.

【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理.

【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10,再根据其外接圆

的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径.

【解答】解：\•直角边长分别为6cm和8cm,

，斜边是10,

・•・这个直角三角形的外接圆的半径为5cm.

13.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠

的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如

图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为8mm.

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】先求出钢珠的半径及0D的长，连接0A,过点0作

0D_LAB于点D,则AB=2AD,在Rt2XAOD中利用勾股定理即可

求出AD的长，进而得出AB的长.

【解答】解：连接0A,过点0作OD_LAB于点D,则AB=2AD,

•・•钢珠的直径是10mm,

...钢珠的半径是5mm,

;钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,

0D=3mm,

在RtAAOD中,

*/AD===4mm,

，AB二2AD=2X4=8mm.

故答案为：8.

14.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊

桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10,为保护

廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处

要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是18米.（精

确到1米）

【考点】二次函数的应用.

【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8,代入解析式后，

可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的

长.

【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，

可知y=8,

把y=8代入y=-x2+10得：

x二±4,

...由两点间距离公式可求出EF二8七18（米）.

15.如图，王虎使一长为4cm,宽为3cm的长方形木板，在桌

面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A

到A1到A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木

板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为

cm.（结果保留n）.

【考点】弧长的计算.

【分析】利用弧长公式计算.

【解答】解：第一次转动是以点B为圆心，AB为半径，圆心

角是90度，

所以弧AA1的长二=,

第二次转动是以点C为圆心，A1C为半径圆心角为60度，

所以弧A1A2的长二二n,

所以总长二.

故答案为：

16.在第一象限内作射线0C,与x轴的夹角为60°,在射线

0C上取一点A,过点A作AH_Lx轴于点H,在抛物线y=x2（x>0）

上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P、0、Q为顶点的

三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是（，3）

或（，）或（，）或（2,2）.

【考点】二次函数综合题.

【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况

进行讨论：

①NP0Q=N0AH二30°,此时A、P重合，可联立直线0A和抛

物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可

得出结论；

②NP0Q=NA0H=60°,此时NP0H=30°,即直线OP:y=x,

联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出0Q、PQ的

长，由于△POQ会△AOH,那么0H=0Q、AH=PQ,由此得到点A

的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；

③当NOPQ=90°,ZP0Q=ZA0H=60°时，此时△QOP四△AOH,

得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论；

④当N0PQ=90°,ZP0Q=Z0AH=30°,此时△OQP会△AOH,

得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：①如图1,当NP0Q=N0AH=30°,若以P,0,

Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；

VZA0H=60°,

.二直线0A：v=x,

联立抛物线的解析式得：，

解得：或，

故A(,3)；

②当NP0Q二NA0H=60°,此时APOQ义ZSAOH,

易知NP0H=30°,则直线y二x,联立抛物线的解析式，

得：，

解得：或，

故P(,)，那么A(,)；

③当NOPQ=90°,ZP0Q=ZA0H=60°时，此时△QOP义ZSAOH；

易知NP0H=30°,则直线y二x,联立抛物线的解析式，

得：，

解得：或，

故P(,),

0P==,QP=,

OH=OP=,AH=QP=,

故A（,）；

④当NOPQ=90°,ZP0Q=Z0AH=30°,此时△OQP义△AOH；

此时直线y二x,联立抛物线的解析式，

得：，

解得：或，

/.P（,3）,

.,.QP=2,0P=2,

.-.0H=QP=2,AH=0P=2,

故A（2,2）.

综上可知：符合条件的点A有四个，分别为：（，3）或（，）

或（,）或（2,2）.

故答案为：（，3）或（，）或（,）或（2,2）.

三、解答题（本大题有8小题，第17-20小题每小题8分，

第21小题10分，第22、23小题每小题8分，第24小题14

分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤）

17.已知二次函数当x=1时，y有最大值为5,且它的图象经

过点（2,3）,求这个函数的关系式.

【考点】待定系数法求二次函数解析式.

【分析】设这个函数解析式为y=a（x-1）2+5,把点（2,3）

代入解析式求出a即可.

【解答】解：设这个函数解析式为y=a（x-1）2+5

把点（2,3）代入，3=a（2-1）2+5,解得a=-2,

・•・这个函数解析式是y=-2（x-1）2+5.

18.在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有数字-2、-

1、1、2的乒乓球（形状、大小一样），先从盒子里随机取出

一个乒乓球，记下数字后放回盒子，然后搅匀，再从盒子里

随机取出一个乒乓球，记下数字.

⑴求一次取出乒乓球上的数字是负数的概率；

（2）求两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率.

（3）求两次取出乒乓球上的数字之积小于2的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）由在一个不透明的盒子里，装有四个分别写有

数字-2、-1、1、2的乒乓球（形状、大小一样），直接利用

概率公式求解即可求得答案；

⑵首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可

能的结果与两次取出乒乓球上的数字之和等于0的情况，再

利用概率公式即可求得答案；

⑶由⑵中的树状图可求得两次取出乒乓球上的数字之积

小于2的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）•・•在一个不透明的盒子里，装有四个分别

写有数字-2、-1、1、2的乒乓球（形状、大小一样），

，一次取出乒乓球上的数字是负数的概率为：二；

（2）画树状图得：

二•共有16种等可能的结果，两次取出乒乓球上的数字之和

等于0的有4种情况，

.•.两次取出乒乓球上的数字之和等于0的概率为：二；

⑶.••两次取出乒乓球上的数字之积小于2的有10种情况，

，两次取出乒乓球上的数字之积小于2的概率为：二.

19.如图，AB是半圆。的直径，C、D是半圆。上的两点，且

OD〃BC,0D与AC交于点E.

⑴若NB二72°,求NCAD的度数；

⑵若AB二13,AC=12,求DE的长.

【考点】圆周角定理；勾股定理.

【分析】(1)由AB是半圆0的直径，根据直径所对的圆周角

是直角，可得NC=90°,继而求得NCAB的度数，又由0D〃BC,

0A=0D,即可求得N0AD的度数，继而求得答案；

⑵由AB=13,AC=12,可求得C的长，然后由垂径定理，可

知0E是AABC的中位线，则可求得0E的长，继而求得答案.

【解答】解：(1)VAB是半圆0的直径，

AZC=90°,

;ZB=72°,

1.NCAB=90°-ZB=18°,

VOD//BC,

ZA0D=ZB=72°,

VOA=OD,

，NOAD=ND二54°,

AZCAD=ZOAD-ZCAB=36°；

⑵TAB=13,AC=12,

BC==5,

♦.•OD〃BC,ZC=90°,

.,.OD±AC,

.\AE=CE,

VOA=OB,

AOE=BC=2.5,

;OD=OA=AB=6.5,

ADE=OD-0E=4.

20.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别与BC,

AC交于点D、E.

⑴求证：BD=CD；

⑵若AB=8,ZA=60°,求弓形AE的面积.

【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质.

【分析】（1）连接AD,根据圆周角定理的推论得到

ZBDA=90°,再根据等腰三角形的性质即可得到BD二CD;

⑵连接0E,先求得NAOE,再用扇形AOE的面积减去AAOE

的面积即可得出弓形AE的面积.

【解答】证明