专题2.11 等腰三角形的轴对称性（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.11等腰三角形的轴对称性（分层练习）（基础练）一、单选题1．等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是（

）A．16 B．20 C．16或20 D．182．若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（

）A． B． C． D．3．△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（

）A．10 B．6 C．7 D．85．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，在中，，，交于点，，则的长是（）A．12 B．10 C．8 D．67．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（

）A． B． C． D．8．下列图形中，不是轴对称图形的是（

）A．有一个角是45度的直角三角形B．有两个角相等的三角形C．有一个角是40度，另一个角是100度的三角形D．有一个角是30度的直角三角形9．如图，在中，平分，平分，，，，则周长为（

）

A．12 B．14 C．16 D．1810．如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论共有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题11．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角为度．13．若，则以、为边长的等腰三角形的周长为．14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝°．15．如图，在中，AB＝AC，AD，CE是的两条中线，AD＝5，CE＝6，P是AD上一个动点，BP＋EP的最小值是．16．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的长为cm．17．如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为．18．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为．三、解答题19．已知：中，边上一点D．求作：等腰，使为等腰的底边，且点P到、两边的距离相等．（保留作图痕迹，不必写作法）20．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．（1）求证：≌；（2）若，，求的长．21．如图，中，，点P在上，，，垂足分别为D，E，已知．(1)试说明；(2)求BE多长？22．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)求的度数．23．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．（1）求、的长；（2）求点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）求证：△EPF是等腰直角三角形；（3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC．参考答案1．B【分析】分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长．【详解】解：分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，∵，不符合三角形三边关系，∴该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，∵，符合三角形三边关系，∴该三角形周长为：；故选：B．【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．2．C【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，∴一个底角为，故选：C．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解题关键．3．D【分析】由等腰三角形的等边对等角判断（1），等腰三角形的三线合一，可判断（2），（3），从而可得答案．【详解】解：如图，为的中点，平分故（1）（2）（3）正确．故选：【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的等边对等角，三线合一是解题的关键．4．D【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定．解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．5．B【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断．【详解】∵∠A=36°，∠DBC=36°，∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°，而∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BDC为等腰三角形，∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，∴∠ABC=∠C，∴△ABC为等腰三角形．故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．6．D【分析】得，，，可得，由，，可知等腰三角形，，，是等腰三角形，即，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，得，，，∴，∵，，∴等腰三角形，，∴，∵，即，∴，∴是等腰三角形，即，∴，故选：．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特性，掌握等腰三角形的性质和含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键．7．A【分析】根据等角对等边进行判断即可．【详解】解：，，．故选：A．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定三角形为等腰三角形是解本题的关键．8．D【分析】根据选项描述，判断出A、B、C所说的图形均是等腰三角形，结合等腰三角形是轴对称图形即可得出答案．【详解】A.有一个角是45度的直角三角形是等腰直角三角形，是轴对称图形，不符合题意；B.有两个角相等的三角形是等腰三角形，是轴对称图形，不符合题意；C.有一个角是40度，另一个角是100度的三角形，第三个角也为40度，其是等腰三角形，是轴对称图形，不符合题意；D.有一个角是30度的直角三角形，另一个角是60度，不是等腰三角形，不是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了轴对称图形的定义，解答本题的关键是判断出每个选项涉及的三角形的特点．9．B【分析】由平分，平分，过点作，易得与是等腰三角形，即可得的周长等于，又由，，即可求得答案．【详解】解：平分，平分，，，，，，，，，，，，的周长为：．故选：B．【点拨】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，整体思想的利用和有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．10．B【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由，推出，，故①正确；由，推出，故④错误．【详解】解：，，平分，，，，是的角平分线，，，故②③正确，在与中，，，，，故①正确；，，故④错误；故答案为：①②③．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确使用等腰三角形的性质三线合一，属于中考常考题型．11．15【分析】根据等腰三角形的定义及构成三角形的条件即可求解．【详解】解：若腰为3时，则，故不能构成三角形，则腰只能为6，则周长为：，故答案为：15．【点拨】本题考查了等腰三角形的定义和构成三角形的条件，熟练掌握等腰三角形的定义和构成三角形的条件是解题的关键．12．或【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可．【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，，又∵BM是AC边上的高，∴，∴，∴②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，，∵EN是DF边上的高∴，∴，∴故答案为或【点拨】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，涉及了三角形内角和和外角和的性质，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．13．17【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可．【详解】解：∵，∴，，解得：，，①若是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，∵，∴3、3、7不能组成三角形；②若是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长为：，∴以、为边长的等腰三角形的周长为17，故答案为：17．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三角形的三边关系，难点在于要分类讨论求解．14．78【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，OC=OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：连接BO并延长至D，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴OA=OB，OC=OB，∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∴∠AOD=2∠OBA，∠COD=2∠OBC，∴∠AOC=2（∠OBA+∠OBC）=2∠ABC=78°，故答案为：78．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，以及等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．6【分析】连接PC，根据等腰三角形的性质得出BD=CD，从而得出PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．【详解】解：如图，连接PC，∵AB=AC，AD是的两条中线，∴AD⊥BC，BD=CD，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE=6，故答案为：6【点拨】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．4【分析】根据已知条件，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根据等角对等边得出DF=BD，CE=EF，根据BD-CE=DE即可求得．【详解】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，∴CE=4cm．故答案为4．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点．17．【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，等量代换得，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据即可得解．【详解】解：∵平分，平分∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长为：∵∴的周长为：．故答案为：．【点拨】本题考查了三角形、平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边的性质．18．【分析】过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：过E作于M，平分，，，，，平分，，，，，，，，，故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．19．见解析【分析】作BD的垂直平分线和∠ACB的平分线，两条线的交点即为点P，顺次连接即可．【详解】解：如图所示：则即为所求.【点拨】本题考查了尺规作图，解题关键是明确垂直平分线和角平分线的性质及作法．20．（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得，，由图形中各边的关系计算即可得出．【详解】（1）证明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴．【点拨】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．21．(1)见解析，(2)2．【分析】（1）根据已知易得，再由，，利用同角的余角相等易得，进而证明；（2）由全等三角形性质可知．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴．在和中，，∴．（2）由（1）得，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键．22．(1)见解析；(2)见解析；(3)．【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明即可；（2）由等腰三角形的性质得，得，再由全等三角形的性质得，即可得出结论；（3）由等腰三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得的度数．【详解】（1）∵，平分，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴（2）∵，平分，∴，∴，由（1）知：，∴，∴（3）∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵平分，∴，∵，点是边的中点，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．23．（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；（2）作轴与点D，，再由全等三角形的对应边相等性质解题；（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时