概率论之二维连续型随机变量及其分布课件

概率论课件之二维连续型随机变量及其分布联合概率密度

定义二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对任意实数对(x,y)，有

称(X,Y)是连续型随机变量，称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度.密度性质这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准5）关于X和Y的边缘概率密度为带参变量的积分例1已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为试写出(X,Y)的联合分布函数。y1f(x,y)的非零区域

x01解：F(x,y)=01)当x≤0,或y≤0时2)当0≤x,y≤1时xy011f(x,y)的非零区域

3)当0≤x≤1,y≥1时4)当0≤y≤1,x≥1时xy011f(x,y)的非零区域

5)当1≤y,x≥1时综上所叙得：例2已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求：1)a，2)边缘概率密度.3)P{X+Y>1}.分析：1)利用性质2)利用含参变量积分；3)利用联合概率密度的性质：f(x,y)的非零区域

xyO12f(x,y)的非零区域

xyO12例3已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为求关于Y的边缘概率密度fY

(y).分析：求Y的边缘概率密度，需固定y对x求积分。实质上是求含参变量的积分.x0yxy=1x=1y=x对y的不同值，fY(y)的积分上下限不相同.x0yy=xxy=1x=1

求解边缘概率密度,实质上是解决带参变量积分的问题.

难点:定积分的上下限.解决方法:借助于图形二.两个重要的二维连续型随机变量1、二维均匀分布

设G

R2,面积为

S(G),若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为则称(X,Y)在G上服从均匀分布.1.(X,Y)在G上服从均匀分布,设D

G

则有GD面积为S(G)面积为S(D)概率值与区域D的形状、位置等均无关,只与D的面积有关。

2.设X~U(a,b)，(c,d)

(a,b)则借助于几何度量指标(长度,面积,体积等)计算概率,可建立“几何概型”.例设（X,Y）服从区域解：1)区域D的面积故（X,Y）的联合密度函数为：上的均匀分布，求联合密度函数以及边缘密度函数2)X的边缘密度函数2)Y的边缘密度函数注意：(X,Y)的边缘分布已不再是均匀分布2.二维正态分布

定义二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:

称(X,Y)服从二维正态分布，记为～二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布.留给同学们自己证明.～～命题若～三、连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.定义设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使的x,定义已知

X=x下，Y的条件密度函数为同样，对一切使的y,定义为已知

Y=y下，X的条件密度函数.运用条件概率密度，我们可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率.定义:在已知

Y=y下，X的条件分布函数为:特别，取即:若(X,Y)是连续型随机变量,则对任一集合A，求P(X>1|Y=y)例：设(X,Y)的概率密度：解:P(X>1|Y=y)为此,需求出由于于是对