第七章 应力计算与强度条件

第七章应力计算与强度条件

§7-1应力与应变的概念

§7-2轴向拉压杆的应力与强度计算

§7-3材料在拉伸和压缩时的力学性能

§7-4应力集中的概念

§7-5扭杆的应力及强度计算

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

§7-7斜弯曲梁的应力及强度计算

§7-8拉压与弯曲组合作用时杆的应力与强度计算

§7-9联接件的工程实用计算

第七章应力计算与强度条件

.问题的提出

-由第五章知，应用平衡原理可以确定静定问题中杆

件横截面上的内力分量，而内力分量只是杆件横截

面上连续分布内力的简化结果，仅仅确定了内力分

量并不能确定横截面上各点内力的大小，也不能判

断杆件在哪点先破坏。因为一般情况下分布内力在

各点的数值是不相等的。所以，需先确定内力在横

截面上的分布规律后，再求各点的内力值，再由强

度条件判断杆件是否破坏。

■基本方法

-1）变形协调关系；

■2）物性关系；

-3）平衡原理。

§7・1应力与应变的概念

■7-1-1正应力和切应力

应力：

分布而力在截面上某一点处的集度。

年构疫力与

AA

一点K处的总应力p=limT

A4-»0

垂直于截面上的正位力。=H1口哈

A4-»0

平行于截面上的初成力―如幻

7-1-1正应力和切应力

应力的正负号

正位力：拉应力为正，压应力为负。

初盛力：使其作用部分产生顺时针转动趋势者

为正，反之为负。

应力的单位IPaulN/n?

IMPa=106Pa=1MN/m2=10~3GPa

7-1-2正应变和切应变

单无体：杆件内取出的正六面体。

正成固（线应变）：幺=/

切忌皮（剪应变）：/

正负号：线应变以拉应变为正,

压应变为负。

(a)

单位（量纲）：线应变无量纲

切应变的单位为rad

J§7-1应力与应变的概念

■7-1-3应力和应变关系

-线弹性材料的物性关系一点克是律

(J=E8

T=Gy

E—祥嘏模量

G—嘲切禅秋模量

材料特性系数，由实验测出。

§7-2轴向拉压杆应力及强度

-7-2-1横截面上的应力

轴向拉压杆横截面上的

内力分量：轴力尸N

应力分量：正应力a

轴向拉压杆横截面上只有正应力且是均匀分布的。

7-2-1横截面上的应力

■公式的适用范围

作用在杆端上的外力或外力合力的作用线与杆轴重合。

■4旅南原理

力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应

力分布，影响区的轴向范围约离杆端1至2个杆件的横

向尺寸。

§7-2轴向拉压杆应力及强度

■7-2-2斜截面上的应力

将轴向拉杆沿任一斜截面及K

切开，取左段为研究对象

规定：斜截面方位角a以从轴正向

逆时转至其外法线为正。

由Z"x=0歹Na=4=歹N

斜截面上的应力外=£^=&osa=bcosa

A

7-2-2斜截面上的应力

垂直于斜截面的正应力

2

=pacosa=crcoscr+cos2a)

平行于斜截面的剪应力

ra=pasma=crcosasma=ysmla

结论

。=0°(Ja=(J=bmax%=°

(T=

a=±45°a~%=©max=±二"

a=90°%=%=0

§7-2轴向拉压杆应力及强度

■7-2-3强度计算

工作疫力——取决于外力的大小及杆件的横截面积。

危险应力通过材料的力学性能试验测定。

许用能力周=*

安全因数，其值大于1。

撷点条件bmax=(f|

最大工作应力不超过材料的许用应力。

7-2-3强度计算

■强度条件的三方面计算

喉核撷淳

已知FN,A,[a\求/1ax＜同

透咨截面尺寸

已知bN，同求/是人"同

确是许用府截

已知/，[可求/maxW/同

若巳离回＜5%工程上允许

■例74已知&=30kN,[aj=160MPao校核其强度。

求轴力稣=K=30KN

22

求横截面积%=17.29mmAx=-7id-234mm

41/22、

d=30mmZ>=40mmA=—7r\D-d1=550mm2

222422

校核强度bmax=F=234x1^=1282x106=128.2MPa<[a]

可见，满足强度要求。

■例7—2已知杆为钢制圆截面杆，许用应力

[55=160MPa,6C杆为木制方形截面杆，许用

应为[司w=12MPa，起吊重量&=40kN，求各

杆截面尺寸。

受力分析

F

ZA=O，BC^a-FBA=0

Z4=0,FBCsina-Fp=0

FNBC=56.6KN

。=40KN

-强度条件

杆的截面直径4AB

=17.8xl0-3m

杆的截面边长力

56.6x103

xl0-3m

12xl06

a=70xl0-3m

■例7—3已知和炉为圆截面杆，直径均为

d=30mm,［可=160MPa,试求该结构所能

承受的许可荷载。

受力分析

IX=0

3

尸NI=__Fp=。.8耳

_x3・8

N2-3.2X0.5

0.8x3.8

F=1.9F

3.2x0.5PP

.强度条件

受力大的EF杆为危险杆

餐<卜］1"x4<口］

7rd27Td2LJ

丁

工〈出皿业M^)=59.52X103N

1.9x4

忸P］=59.32KN

■例7—4已知方形石柱的自重为〃g=23kN/m3,许用应

力同=lMPa,求石柱的截面尺寸。

弓=1000kN

■受力分析，画轴力图。

由强度条件，有4=1000kN

0max+夕g”<[bl

A>——斗——=2.23m2

团一夕gH

故方形截面的边长为

a-4A--J2.23m2=1.49m

若改为阶梯形柱，如何设计?

§7-3材料拉压时的力学性能

■材料的力学植惚

材料在外力作用下变形和破坏的性能。

■测定材料力学性能的方法

实验

■影响材料力学性能的因素

1.材料的成分及其内部组织的结构；

2.试验条件如受力状态，温度及加载方式等。

-研究目的

为构件的强度、刚度计算及选材提供重要依据。

§7-3材料拉压时的力学性能

■7-3-1拉伸试验

-标准试样：如图示圆截面试样，工作长度称为标

距：l=10d^l=5d

-试验装置：万能试验机；引伸仪；游标卡尺。

-试验条件：常温，静载。

-挖伸画：试样自开始加载至破断全过程的&-4

曲线。

■应力一位变固：为消除尺寸影响，令。=FplA,

£=△/〃，所得曲线

标距/

7-3-1拉伸试验

■（一）低碳钢在拉伸时的力学性能

■1.能力一残委t

四个阶段：

稗唯阶假OB

展服阶段5c

穆化阶段CD

7-3-1拉伸试验

祥植阶段05

假弹收04

叱例极限外

柳克贡律O=Ee

弹核模量E

祥帆4B：

弹辘极限4

7-3-1拉伸试验

屈服阶段5c

屈服极限q

是由于晶格滑移而引

起的力学行为，在与

杆轴约成45。处可观

察到。

7-3-1拉伸试马佥

撷化阶段CD

强盛极限小

7-3-1拉伸试验

顿儒阶机DE

7-3-1拉伸试验

■小结：

-低碳钢拉伸过程四个阶段：弹性（含线弹性）、

屈服、强化、颈缩

-四个特征点：比例极限外，弹性极限％,屈服极

限5,强度极限?

-其中：屈服极限和强度极限是衡量材料撷盛的

两个重要指标。

7-3-1拉伸试验

-2.延伸牵和裱而收何隼

-如图示测量尺寸，定义：

延伸隼:8=（/「/）〃X%

-工程上，I=10/按标准试样测得的延伸率大小

将材料分为两类：/025%的材料为里健材料;

510V5%的材料为脆嘏材料。

断裂后标距原长度7

7-3-1拉伸试验

-2.延伸牵和裱面收何牵

截面收储隼：9=（4-4）//x%

-其中，延伸率和截面收缩率是衡量材料理樵的两个

重要指标。

(b)

断裂后标距原长度7

7-3-1拉伸试验

■3.冷作硬化与作控时致

(a)(b)

7-3-1拉伸试验

-如图a示，当低碳钢试样被加载至ee曲线非弹性区的

某一点〃时令其卸载，此时，试样的弹性变形与（图

中。1。2段）会恢复，但残留着塑性变形痂（图中。。2

段）不能恢复。

■若对卸载后的试样立即重新加载，则曲线为图b的

O.HDE,这曲线的比例极限（H点对应之应力）提高

T,而断裂时的塑性（残余）变形减少了，这种现象

称为寿作硬化。

-若对卸载后的试样停留一段时间再重新加载，则

曲线为图的O1GK,这曲线的比例极限有更大的提高，

其强度极限也得到提高，这种现象称为寿救时政。

7-3“拉伸试验

-（二）其它塑性材料拉伸时的力学性能

图示三种材料的应力一应变曲线，特点：没有明显的屈

服阶段。对此类材料，国标规定，取其塑性应变为0.2%时所

对应的应力值作为名义展蹶极限，用,2表示，如图示。图

中。1。线段与弹性阶段的直线部分相平行。

7-3-1拉伸试验

■(三)铸铁在拉伸时的力学性能

■铸铁拉伸时的应力一应变曲线如图

-与低碳钢拉伸时的应力一应变曲线相比较可知:

cr/MPa

■没有明显的线性阶段，工程碳钢

中用割线斜率求弹性模量E；

-没有屈服阶段；

-强度极限?是衡量强度的唯/铸铁

一指林；140-1/

■延伸率内=(0.5〜0.6)%,铸铁

是典型的脆性材料。L.

0.2"(%)

§7-3材料拉压时的力学性能

■7-3-2材料左人端时的力学惟犍

-标准试样：对金属材料压缩试验，采用短圆柱，其高

度约为直径的1・5〜3・0

低碳钢铸铁

7-3-2材料在人缩时的力学喉惋

-a）低碳钢压缩时的应力一应变曲线（图中虚线为拉

伸时的应力一应变曲线）特点：

■与拉伸时有相同的弹性模量，比例极限，屈服极限;

■难以测出强度极限。

-b）铸铁压缩时的应力应变一曲线（图中虚线为拉伸

时的应力一应变曲线）特点：

-在外法线与轴线大致成45。〜55。的斜截面上因剪切

错动而破坏；

-压缩强度极限比拉伸强度极限/高3〜4倍。

■结论：脆性材料适宜做受压构件。

§7-3材料拉压时的力学性能

■7-3-3许用应力与安全系数的确定

前面曾指出：匕］=2

n

对塑性材料，%%=＞口］=网/%

对脆性材料，"%，一团=%/码

-安全系数的选择主要取决于以下因素：

-实际结构与计算简图的差异；

-荷载估计的准确性；

-材料性质方面的差异；

■计算理论的近似性。

-工程中一般取：%=1.5〜2,%=2・5〜3.0或由国家专

门机构具体规定。

§7・4应力集中的概念

如图示拉杆，若在杆上有孔、切口及螺纹等，杆在此

处的截面尺寸发生突变，这些截面上的应力分布非均

匀，在孔或开口附近应力明显增大，而离孔或切口稍

远处，应力趋于均匀，这种现象称为寂力於中。

(a)(b)

§7・4应力集中的概念

■理卷凌力集中祭救:

K_bmax

a

-£反映了应力集中的程度，其值大于1。

■实验表明：截面尺寸改变越突然，应力集中的程度越

严重。因此应尽量采用圆滑过渡。

■相对而言，塑性材料对应力集中敏感度比脆性材料低。

■注意：塑性材料与脆性材料的区分与实验条件有关，

如典型的塑性材料在低温条件下工作,或加载速度较大

的情况下会表现出明显的脆性。

§7-5扭杆的应力及强度计算

-7-5-1圆轴扭转时的应力

M

切位变/

7-5-11轴扭转时的应力

-纯扭转圆轴横截面上的内力分量

扭矩T

■假设

横截面保持为平面。

■横截面上的应力

只有切应力T,而无正应力。。

7-5-1圆轴扭转时的应力

■横截面上切应力公式推导

属于超静定问题，需借助于变形协调、物性关系、

静力关系。

-1)变形协调方程

设d。代表微段dx相对扭转角。

则距轴线为。处的切应变为：

YP=PAO/dx(7-17)

最大的切应变发生在最外层，

y=Rd(P/Ax

/p8p°

7-5-1圆轴扭转时的应力

■2)物性关系一剪应胡克定律

-在弹性范围内加载，当切应力不超

过材料的剪切比例极限〜时，切应

力与切应变成正比，其比例系数为

材料的切变模量G：

r=Gy(7-18)

即得横截面上。处的切应力为：

T=Gpd(i)/dx(7-19)

横截面上切应力的分布规律如图示。

7-5-1圆轴扭转时的应力

■3）静力关系

横截面上切应力合成的结果是该截面上的扭矩

2

T=^TppdA=^G^pdA=

—zdxG/p

/P：圆截面的极牧校舞

G/p：圆轴的抗意刚港

7-5-1圆轴扭转时的应力

■圆轴扭转切应力表达式

TR_T

max处于圆截面边缘

Wp=Ip/R：圆截面的也辂截而系数

献

直径为刀的实心圆轴：叫

16

内、外径分别为"、献4

刀的空心圆轴：匕=,（1一。）

§7-5扭杆的应力及强度计算

■7-5-2薄壁圆管的扭转切应力

-假设

扭转切应力沿壁厚均匀分布。其余条件与圆轴扭

转相同。

T

T—

2成02b

品：圆管的平均半径

5：圆管壁厚

/放大

*民7二5扭杆的层力及强度计算

■7-5-3切应力互等定理及纯剪切的概念

7-5-3切应力互等定理及纯剪切的概念

■切应力更等定理

在单元体相互垂直的截面上，垂直于截面交线的

切应力大小相等，方向指向或背离该交线。

■他嚼初

单元体的各个侧面上只有切应力而无正应力。

§7-5扭杆的应力及强度计算

■7-5-4圆轴扭转时的强度计算

-强度条件

在纯剪应力状态，最大工作切应力不超过材料的许用

切应力。

/ax<⑺(7-28)

或

T

工max=(―)max<［工］(7-29)

Wp

塑性材料：口=（0・5—0.6）匕］

脆性材料:H=（0.8-1.0）［＜T］

7-5-41轴扭转时的强度计算

■强度条件可进行的计算

-校核强度

-选择截面尺寸

-确定许可荷载。

■例7-5：如图示等截面传动轴上作用三个外力偶矩,

M"=lkN・m,此§=2kN-m,MeC=3kNm；材料的

许用切应力㈤=60MPa。

(1)若轴的直径Z)=60mm,试校核该轴强度；

(2)若将实心轴改为。="/。1=0.916的空心轴，在

相同的情况下，求空心轴的外径小及空心轴与实

心轴的重量比。

A

(a)

2

■解：

(1)作扭矩图如图b示。r图(单位kN•m)

1

(2)由强度条件有(b)

71二乙X=(2x103)x16

max%3.14x(60x10-3)

16

=47.2MPa<[T]=60MPa

实心轴的强度足够

（3）依题意，空心、实心轴的最大切应力相等，即

60x103

=90mm

V1-0.9164

一叱=4/苏―江）（9OX1O3）（I_O.9162）0362

WAD2（60X10-3）2

（4）问题：若将空心轴改为截面面积相等的实心轴，强

度是否仍满足要求？为何从强度观点考虑，空心轴较

实心轴合理？

§7-5扭杆的应力及强度计算

■7-5-5非圆截面杆扭转问题简介

⑻(b)

■特点：横截面不再保持为平面而发生翘曲。

■扭转类型

■匈由也辂：扭转杆横截面的翘曲不受任何约束。

即各横截面的翘曲程度相同，其上只有切应力而无

正应力。

■约束也转：各横截面的翘曲程度不相同，其上既

有切应力又有正应力。

7-5-5非圆截面杆扭转问题简介

-矩形截面等直杆的自由扭转问题：杆横截面上的切

应力分布如图示。

■特点

(1)截面边缘各点的切应力形成与

边界相切的顺流；

(2)四个角点上的切应力等于零；

(3)在矩形长边的中点处，切应力

为最大值：

T

Jax(7-30)

ahb1

a是一个与截面边长比值〃/〃(h>b)有关的因数。

7-5-5非圆截面杆扭转问题简介

(4)短边中点处的切应力超短边上各点切应力的最

大值:

T-VTmax(7-31)

是为长边中点处的切应力，他是与截面边

长比值〃/〃有关的因数。

(5)杆件两端相对扭转角为:

TlTI

(7-32)

G/?协3—初

GI=Gfthb\杆件的抗扭刚度。尸也是与截面边长

比值有关的因数。

根据课本中的表7・2可查各因数。

■例7-6—矩形截面杆，截面尺寸：〃=100mm,6=50

mm,截面上的扭矩7=4kN・m,

（1）求截面最大切应力；

（2）在横截面积不变的条件下，将矩形截面改为圆

形截面，试比较两者的最大切应力。

■解：

（1）因―=100阳阳=20查课本中表7.2a=0.246

b50/w/w

代入式（7.30）得

T4X1（）3N・M

=65MPa

maxahb20.246x0.1mx（0.05zw）2

(2)依题意：圆截面面积/为

A==hb=O.lx0.05=5xl03m2

4

d=—=J4x5x1。0xl03m=80mm

VV3.14=8

则圆轴的最大切应力为:

TT4X103X16

—=--=---7-----=39.8MPa

%W3.14x(0.08)3

IT

可见，在横截面积相等的条件下，矩形扭杆产

生的最大切应力（65MPa）要比圆杆的大得多。

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

-问题的提出

梁弯曲时横截面上的

■内力：弯矩和剪力

■应力：正应力和切应力

■内力=应力=>强度条件

■平面弯曲

梁的轴线变形后是平面曲线，且所在平面与荷载作用

平面重合或平行。

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

■对称弯曲

梁至少有一个纵向对称平面，且外力作用在该平面内,

梁弯曲后的轴线变为位于加载平面内的平面曲线。它是

平面弯曲的特殊情况。

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

■婿力弯曲：梁横截面上

助有弯矩又有剪力。如图

及。5段。

■艳弯曲：梁横截面上弯

矩为常数，剪力为零。如

图示CD段。

⑹

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

♦7・6・1纯弯曲时梁的正应力

-基本假设和定义

■平面假殁：梁变形后的横截面仍保持为平面，且

仍然垂直于变形后的轴线。

■用向轩掖无挤人假殁：等直梁上没有横向力作

用，纵向纤维无挤压，材料的纵向变形只是沿梁轴

的单向拉伸或压缩变形。

-纯弯曲时梁的横截面上只有横截面对称轴

弯矩内力及相应的正应力。

■中帆层：梁中一层不变形的纵向对称面

纤维。

■中帆枯：中性层与横截面的上

交线。中性轴中性层

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

■1.由变形几何关系确定应变规律

■变形前、后的梁段如图a、b示。

-设截面对称轴为7轴；中性层为z轴，其位置待定;

截面法线方向为*轴。

(a)(b)

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

-取dx段研究。变形前相距dx的两个横截面，变形

后绕中性轴相对转动了de角，仍保持为平面，则

距中性层为7的材料外的长度变为：

brbf=(2+y)dg

-Q中性层的曲率半径。因为变形前、后中性层的长

度不变，故有

bb=dx=oo=(xor=pAe

■则从段的应变为：

(p+y)d0-pdO_y

a----------------------——<d/

pdffp

■可见：£8y

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

■2.由物理关系确定应力分布规律

-当应力小于比例极限时，根据胡克定律，有：

(7=Es=E—(b)

P

■可见：crocj;

-正应力沿横截面高度按线性规律变化，如图示。

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

■3.由静力关系确定正应力表达式

-由式(b)不能确定正应力的大小，因为中性层

的曲率半径及中性轴位置未知，故要先确定之。

-横截面上微小内力组成垂直于横截面的空间平行

力系，该力系的简化结果：

平行于*轴的轴力

对y轴的力偶矩My：

对y轴的力偶矩Mz：

(c)

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

-根据平衡，有：

FN=£CT(L4=0(C)

M=fzcrdA=O(d)

yvJA

Mz=^yadA=M(e)

将式(b)代入式(c),得：

[adA=—[ydA=0(f)

JApJA

要使E/一不为零，必须有：工阿4=邑=0

即横截面对z轴的希拜邑等于零，亦即中性轴z必定通

过截面形心(附录§C1)。这就确定了中性轴的位置

和工轴位置。

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

LI-----------------------------------

将式（b）代入式（d）,得：

[zcrdA=—^yzdA=

£yzAA=Iyz是截面对y、z轴的核核积。因为y轴是截面

对称轴，所以必有4=0（附录§03）,式（g）自然满足

将式（b）代入式（e）,得：

£yadA-£y2dA=M（h）

J了2必=4是截面对中性轴的牧桃施（附录§c・2）

7-6-1纯弯曲时梁的正应力

-于是(h)变为:

1M

~P=E(7-33)

1/夕是梁轴线变形后的曲率。石人是梁的抗弯刚度。

由式(a)和式(7-33),得纯弯曲时梁横截面上弯

曲正应力公式：

。=幽(7-34)

A

可见：在中性轴处，y=0,(7=0

在横截面上、下边缘处，y=+Jmax，b=/1ax

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

■注意：

-应用式(7-34)时，可先取V、y的绝对值代入，

b的正负号判断如下：以中性层为界，梁凸出的

一侧受拉，凹入的一侧受压。

■公式的适用范围：

-(1)对称纯弯曲；

■(2)crWojp

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

■7-6-2横力弯曲时梁的正应力

-横力弯曲时梁横截面上既有弯矩又有剪力，横截面

将发生翘曲，纵向材料之间有挤压，这与纯弯曲梁

有区别。但对于跨度与横截面高度之比大于5的横力

弯曲细长梁，仍可用纯弯曲正应力公式（7-34）计

算，误差很小，能满足工程上的精度要求。

7-6・2横力弯曲时梁的正应力

■最大正应力

等直梁：.X=Mm广x635)

Z

令弯曲破面系撤为：匕=4(7-36)

ymax

.M

贝nU：(7-37)

7-6-2横力弯曲时梁的正应力

-常用截面的弯曲截面系数

(7-38)(7-39)(7-40)

■其它各种型钢的叱可查附录D中的型钢表。

■例7-7外伸梁如图示，已知人，试求梁内最大

拉应力和最大压应力的大小及位置。

■解：

1.求支座约束力并作弯矩图如图C示。

最大正弯矩发生在。截面:

MD=0.75F/

最大负弯矩发生在4截面：

\MB\=Fl

(C)

2.画出5、。截面的正应力分布示意图如图d示。

可见，由于截面不对称于中性轴，

且＞MD,故梁内最大压应力

发生在4截面的下边缘处：

\MB.2a2Fla

°Cmax--r--r

梁内最大拉应力可能发生在刀截面的下边缘处或B截面

的上边缘处：

（）=\M^a=Fla

Umax"TT

ZZ梁内最大拉应力

/\_MD•2a_0.75F/•2a_1.5Fla发生在刀截面的

（6max）D-T-r-r

Z下边缘处。

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

-7-6-3梁的弯曲切应力简介

-在横力弯曲中，梁横截面上不仅存在弯曲正应力，

而且还存在弯曲切应力

-在此仅介绍工程中常见的几种截面梁如矩形、工字

形、圆形、圆环在对称弯曲时的最大弯曲切应力。

7-6-3梁的弯曲切应力简介

-1.矩形截面梁

-如图示为受横力弯曲矩形截面梁的某一横截面，

其上的切应力为Fso在截面周边各点处，切应

力只能与周边平行（切应力互等定理）。

(b)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■假设

-(1)横截面上各点切应力的方向都平行于剪力用；

-(2)横截面切应力沿截面宽度均匀分布。

(a)(b)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■假设

-（1）横截面上各点切应力的方向都平行于剪力仆;

-（2）横截面切应力沿截面宽度均匀分布。

设横截面上1处的切应力为泣），则

b

7

(7-41)

7

T

max

(a)(b)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

Fs——横截面上的剪力；

sjoo横截面离中性轴为了的横线一侧的部分截面对

用性轴z的静矩；如图(a)示中阴影线所示面积。其计

算见附录§C-1；

b——横截面上所求切应力点处的宽度；

4——横截面对中性轴z的惯性矩。

式(7-41)可写为:

(a)(b)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■切应力沿截面高度呈抛物线分布，如图b示。

-在截面的上、下边缘处。=土〃/2）,切应力

T=0;

-在中性轴处（丁=0），切应力为最大：

(b)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■2.工字形截面梁

-工字形截回由翼缘和腹板两部分组

成，如图示。

.如计算腹板上距中性轴为y处的弯曲y

切应力，仍可用式（7-41）,具体B

为：(a)

一〃2）+〃（『_勺2）］（7d5）

t——

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■可见，腹板上的切应力沿腹板高度呈抛物线

分布，如图b示。

在中性轴处5=0)，切应力

*

_max22

©maxBH-h(B-h)\(7-46)

T

blz86/zmin

Tmax

在腹板与翼缘的交界处。=±〃/2),切应力

(b)

(7-47)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

-由于腹板中的最大及最小剪应力相差不大，故可认为:

腹板上的切应力均匀分布。又由于腹板所承担的剪力

约为整个截面剪力的95%—97%（翼缘上的切应力

在此省略），故工程上常用近似公式求工字形截面腹

板上的弯曲切应力：

(7-48)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■如盍力谦

切应力方向象水流一样。如图示为工字形截面切应力

流的示意图。所有开口薄壁截面其横截面上的切应力

方向均符合形成“切应力流”规律。

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■3.圆形截面梁

-由切应力互等定理知:横截面上的切应力必定与周边

相切。

■假设：

■距离中性轴为y的

4B弦上各点的切

应力方向必汇交

于点力、5处的切

线以、尸5的交点

尸上，如图示；

-4B弦上各点切应

力沿7方向的分量

.相等。(a)(b)

7-6-3梁的弯曲切应力简介

■圆形截面上切应力分量:

=36)

(7-51)

邑*00——-w5弦下面的截面积对中性轴z的静矩;

b(y)一一・力5弦的长度。

■在中性轴处(b=D=2R),切应力:

F^Szmax44

工max(7-52)

DIz~3碗；/4)~314

7-6-3梁的弯曲切应力简介

-4.圆环形薄壁截面梁

-设其横截面壁厚为3,平均半径

为品，由于壁厚很小，可认为

弯曲切应力沿壁厚均匀分布，

且必定与周边相切，如图示。

■在中性轴处，切应力为最大：

(7-53)

"(2司A2兀RobA

7-6-3梁的弯曲切应力简介

-小结：以上几种常见截面的最大弯曲切应力均发生在

中性轴处，可统一写成下列表达式：

FSmax=

/ax-

3IZA

Sjmax——中性轴一侧的横截面面积对中性轴Z的静矩;

3——横截面在中性轴处的宽度；

K--为截面系数：1）矩形K=3/2

2）工字形K=1或查附录表D

3）圆形K=4/3

4）圆环K=2

■例7-8矩形截面悬臂梁，承受集中荷载作用，如图示。

试求梁横截面上的最大正应力和最大切应力。

B

-解：梁横截面上的最大弯矩和最大剪力均发生在固定

截面上。

在^截面的上、下边缘处有最大正应力

厂JI6FI

2

Wzbh一而

6

y

在4截面的中性轴处有最大切应力

3|%|=3歹

0axl~bh^^bh

bmax6FI2bh(l\

二者的比值为--x——=4—

2

，axbh3F\h)

可见：当l»h时，/1ax远大于©max。

对于细长梁，即//〃>5,弯曲正应力是主要的。弯曲

切应力是次要的。

7-6-4梁的强度计算

-弯曲正应力的强度条件

■正应力分布特征：最大弯曲正应力发生在危险截面

的上、下边缘处，该处各点的切应力一般为零或很

小而忽略不计，因此可看成处于单向受力状态。

■强度条件：梁内拉、压最大应力值均不超过各自的

许用应力，即

btmax<]

5:max—

.对于截面对称于中性轴的等直梁，当[加=[4]时,

强度条件可写成：

「

=M__<同1

bmax

WL」

7-6-4梁的强度计算

■弯曲切应力的强度条件

-最大弯曲切应力通常发生在中性轴上各点处，而该

处弯曲正应力为零。因此该处为纯剪切应力状态，

相应的强度条件为：

rmax<H或

ol7

\zmax

LFLS.maxrT

对于等截面直梁©max=为宣一<[T]

7-6-4梁的强度计算

■梁的弯曲强度计算

-对细长非薄壁截面梁，通常只按弯曲正应力强度条

件进行分析；

-对薄壁截面梁或弯矩较小而剪力较大的梁，则弯曲

正应力与切应力强度条件均要考虑；

-对在某些薄壁梁的某些点处，如工字形截面的腹板

与翼缘的交界处，弯曲正应力与切应力都较大，此

问题在后面章节讨论。

■梁强度条件的三方面计算

-校核强度；

-选择截面尺寸；

■确定许用荷载。

-例7-9一铸铁制的T形截面梁如图示。己知：

〃i=64.7mm,^2=145.3mm,截面对形心轴z的

惯性矩1=4636.4X104mm4,材料的许用拉应力

[/]=40MPa,许用压应力[/]=120MPa。

-试求梁的许可荷载[用；

-若允许改动截面翼缘板宽〃，求其合理宽度。

e/////；

lid

B8

—一

3m-主1.2m*

(单位:cm)

y

(c)

(b)

■解：（1）求许用荷载

1.2F

-由图d所示的弯矩图知，最大弯矩为

|M|max=|MB|=1.2FN-m〃图

-即在夕截面处上边缘各点受拉，下边缘各点受压。

由抗拉许可应力可得：

=必伞］

°tmax4s

ZZ

40x106x4636.4x1()-8

=23.89X103N

l.2〃i~~1.2x64.7xl0-3

-由抗压许可应力得:

=Mm/2J2必2#]

°cmax

Z

bck_120x106x4636.4x10-8

F<=31.91X103N

-3

1.2h21.2x145.3xIO

-对比得:

F=23.89X103N=23.89kN

-(2)求最合理的翼缘板宽度〃b=?

-当改变尺寸〃时，截面形心位置随3

之改变，设此时形心位置如图c示9/

/

-截面选得最合理的条件：最大拉/

应力和最大压应力分别达到各自

的许用应力。即：:m)3

⑹

6max二弘二40二1

"ax必bl"(J3

y2=3%

■由

"+必=180+30=210mm

I〉yi=52.5mm,y2=157.5mm

-又由'=0的条件

30A

30x〃x（52.5-万）-30x180x（157.5-

b=324mm

■例7/0图示悬臂梁，自由端受集中力b=20kN作用,

材料的许用应力［5=140MPa,试比较采用下列三

种截面形状所耗的材料用量。

-(1)工字钢；

-(2)高宽比〃/5=2的矩形；

■(3)圆形。

%

m

Fl

■解:

-由弯矩图可得：

\M\=Fl=20kN

IImax⑻历图

-根据弯曲正应力强度条件，有

M20xl03,a

W>_^L=----------=143xl03mm3

z[cr]140X106

-(1)工字钢

■查附录，取No.16工字钢(匕=143X103mm3,

2

^1=2610mm),其工作应力将超过，但不超过

5%,工程上仍可用。

-(2)矩形

.bh2b(2b)23

W=-----=—一^—=143xiln033mm3

z66

2

[b=60mmh=120mmA2=bh=7200mm

■(3)圆形

7rd3

阴=——=143xl03mm3[^^>D=113mmA=10000mm2

“323

[^=>4:4:4=1:2.76:3.83

■说明圆形截面最费料，工字形截面最省料。

■例7-11简支梁受力如图示。已知：l=2m,a=0.3m,

q=10kN/m,F=200kN,[oj=160MPa,因=140MPa。

试选择工字钢型号。

q

■解：

-（1）作出梁的剪力图和弯矩图，如图所示。

"max=45kN・m210

^smax=FSA=FSB=210kN

S|10

-（2）根据弯曲正应力强度条件选择截面2

大图（单位kN）

45xl03

=281xl0-6m3

-160xl06

查附录试选No.22a工字钢，其

町=309X10-3m3

M图（单位kN・m）

-（3）校核梁的弯曲切应力强度条件

从型钢表查No.22a工字钢的//Wax=18.9XIO2m

2

腹板宽b=0.79XIOm0

，210xl03

max_5（"s；max）—0.75X1O2X18.9X102

=148MPa>[T]

由于小ax比的值大5%以上，故要重新选择截面型号。

-(4)重新选择工字钢型号

从型钢表查NO.25b工字钢的7/Vmax=21.27X10-2m,

腹板宽加1XHHm。再次校核弯曲切应力强度：

z二。二210x103

22

m”名人/Sjmax)1XIO-X21.27X10-

=98.6MPa<[T]

确定选No.25b工字钢，它能同时满足弯曲正应力和弯

曲切应力强度的要求。

§7・6平面弯曲梁的应力及强度

■7-6-5弯曲中心的概念

弯曲中芯是横截面上与切应力相对应的分布力系的

合力的作用点。

(a)(b)

7-6-5弯曲中心的概念

■如盍力谦

对薄壁截面，与剪力对应的切应力具有下列特征：

■由切应力互等定理知，若杆件表面无切应力作用，

则薄壁截面上的切应力作用线必平行于截面周边切

线方向，形成切应力流；

■切应力沿壁厚方向均布。

CZ

7-6-5弯曲中心的概念

■槽形薄壁梁弯曲中心的推导

7-6-5弯曲中心的概念

■槽形薄壁梁弯曲中心公式

.弯曲中心的位置与外力的大小及杆件材料的性质无关,

仅取决于截面几何形状尺寸，是截面图形的几何性质

之一。

7-6-5弯曲中心的概念

■其余截面而t曲中芯位置

1）具有两个对称轴的截面，两对称轴线的交点（形心），

即是弯心；

2）具有一个对称轴的截面，弯心在该对称轴上；

3）具有反对称轴的截面，弯心与形心重合；

4）两个狭长矩形组成的截面，弯心在两个狭长矩形中线

的交点上；

5）求工z和bsy作用线的交点，确定弯心；

6）不对称的实心截面，弯心靠近形心，杆截面虽有扭转,

但由于抗扭刚度大，故通常不考虑扭转变形的影响。

§7-6平面弯曲梁的应力及强度计算

■7-6-6梁的合理强度设计

■弯曲正应力强度条件是设计梁的主要依据。

-1.梁的合理受力：合理安排梁的加载方式和约束，可

以显著降低梁内的最大弯矩，提高梁的强度。

-(a)安排荷载的作用位置

(a)(b)

7-6-6梁的合理强度设计

-(b)合理安排支座

(b)

■(c)集中力改为均布荷载

7”川川川口旷

Fl8

4A7图

⑻(b)(c)

7-6-6梁的合理强度设计

-2.梁的合理截面形状

-从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状是：用较

小的面积获得较大弯曲截面系数。

-(a)梁横截面的形状以工字形为最好，矩形次之,

圆形最差。

-Jb)对矩形截面梁，“竖放”比“平放”合理，如图

Zjs0

(b)

7-6-6梁的合理强度设计

-（C）对抗拉与抗压强度相同的材料梁，宜采

用对称于中性轴的截面；对抗拉强度低于抗压

强度的材料梁，宜选择中性轴偏于受拉一侧的

截面，且尽量使下面等式成立：

bfmax_]

°cmax]

即

必=[丐]

必bj

7-6-6梁的合理强度设计

■3.变截面梁和等强度梁

■亥截面暮：梁的横截面沿梁轴按一定函数关系

变化。

■等穆盛暮：变截面梁上所有横截面上的最大弯

曲正应力均等于许用应力，即梁的各个横截面具

有相同的强度。要求：

可见，梁的弯曲截面系数与弯矩成正比。

-例7・12图示为一矩形截

面梁，已知：集中荷载

F,材料的许用应力同

和㈤。设截面宽度〃不

变，高度沿梁轴变化，

试按等强度梁要求，确

定截面高度沿梁轴的变

化规律。

（C）

■解：

■选择坐标X,并用〃(%)表示X截面高度。贝H截面

处的剪力和弯矩方程为：

■在跨中截面(x=〃2)处，截面高度最大:

■在支座处(x=0)的〃(0尸0,显然不能满足弯曲切

应力强度条件。因此需按弯曲切应力强度条件设计

支座处的最小高度k

c工,=口0%>=萧

max2b%n

.为了承载与施工方便，在工程中常把变截面梁取鱼

腹形式

⑹

问题：若设截面高度人保持不变，宽度沿梁轴变化，按

等强度要求，截面宽度沿梁轴的变化规律又如何？

§7・7斜弯曲梁的应力及强度计算

■创•弯曲

梁在两个相互垂直的主轴平面内有荷载作用，将在

两个方向同时发生弯曲。

§7-7斜弯曲梁的应力及强度计算

■弯矩矢量沿形心主惯性轴分解为叼与此两个分量。

■横截面上任意一点Z）处的弯曲正应力为b=

§7-7斜弯曲梁的应力及强度计算

-碍y与z的一次函数，应力平面与横截面的交线即为中

性辄

■中性轴方程o

即tan。=z/y=M^y/M^z

若4则中性轴不垂直于弯矩作用面。对于4=4的

截面，如正方形和圆形截面，则中性轴垂直于弯矩作

用面，即为平面弯曲问题。

§7-7斜弯曲梁的应力及强度计算

-确定最大弯曲正应力

y

■例7-14图示梁为No.16工字钢制成，Z=4m,F=7kN,

0=20。。已知许用应力［oj=160MPa,试校核梁的

强度。

■解：

-(1)内力分析

Fy=Fcos(p

Fz二/sin0

Fl_Flcos(p

y=6.58xlO3Nm

Mz4-4

M=2.39xlO3Nm

[44

■(2)应力分析

确定危险截面为C,危险点为a、b

由附录查得No.16工字钢的

匕=141X106m3,%=21.2X106m3

MvmaYM

=±(jmax+=±i59MPa

WyWz

■(3)校核强度

<Tmax=159MPa<[a]=160MPa

若°=0。，则为平面弯曲，最大弯曲的正应力为

“"max=49.6MPa

W4JV

§7-8拉压弯曲组合应力强度计算

■7-8-1横向荷载与轴向荷载联合作用

-如图所示为承受横向均布荷载夕与轴向荷载厂的两端钱

支杆，它发生弯曲与轴向拉伸组合变形。

7-8-1横向荷载与轴向荷载联合作用

-荷载/使杆件产生轴向拉伸，各横截面的轴力为

-横向荷载夕使杆件在孙平面内弯曲，跨中截面C的弯

矩值最大（忽略剪力计算）

_ql2

“max

■截面c为危险截面除

max

7-8-1横向荷载与轴向荷载联合作用

■2.杆件的应力

-在危险截面C上，与轴力八=§

相应的正应力为A

■截面C上纵坐标为7处的°=MmaJ

弯曲正应力为“T

-应用叠加原理，危险截面上任一点的正应力为

稣"max，

"0+"=常+―

A人

-可见，正应力沿截面高度

线性分布，且中性轴不过--三+

截面形心。l_E

7-8-1横向荷载与轴向荷载联合作用

-危险截面的上、下边缘处为危险点，其正应力为

bjnax_KMmax

>------工---------

bmin.A匕