等差数列基础练习题(同名559)

一、等差数列选择题1．已知数列的前项和，，则（）A．20 B．17 C．18 D．192．已知数列的前n项和，则（）A．350 B．351 C．674 D．6753．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（）A． B． C． D．或4．已知等差数列中，，则的前n项和的最大值为（）A． B． C． D．5．已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（）A． B． C．3 D．46．已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C． D．7．若两个等差数列，的前项和分别为和，且，则（）A． B． C． D．8．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（）A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布9．数列为等差数列，，，则通项公式是（）A． B． C． D．10．在等差数列中，，，则中最大的是（）A． B． C． D．11．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列则该数列共有（）A．132项 B．133项 C．134项 D．135项12．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（）A．9 B．12 C．15 D．1813．等差数列的前项和为，已知，，则的值是（）A．48 B．60 C．72 D．2414．已知数列满足且，则时，使得不等式恒成立的实数a的最大值是（）A．19 B．20 C．21 D．2215．设等差数列的前和为，若，则必有（）A．且 B．且C．且 D．且16．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51 B．57 C．54 D．7217．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）A．3、8、13、18、23 B．4、8、12、16、20C．5、9、13、17、21 D．6、10、14、18、2218．等差数列中，若，，则（）A． B． C．2 D．919．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱20．设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（）A． B． C．1 D．2二、多选题21．设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是（）A．若，则既是等差数列又是等比数列B．若(，为常数，)，则是等差数列C．若，则是等比数列D．若是等差数列，则，，也成等差数列22．已知数列满足，且，则（）A． B．C． D．23．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为24．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且，，则（）A． B． C． D．25．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a202226．已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A． B．C． D．27．等差数列中，为其前项和，，则以下正确的是（）A．B．C．的最大值为D．使得的最大整数28．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（）A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大C． D．当时，29．下列命题正确的是（）A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B．若等差数列的公差，则是递增数列C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列30．已知数列是递增的等差数列，，．，数列的前项和为，下列结论正确的是（）A． B．C．当时，取最小值 D．当时，取最小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．C【分析】根据题中条件，由，即可得出结果．【详解】因为数列的前项和，所以．故选：C．2．A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.【详解】当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.3．B【分析】由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由得，则，解得，，，，对称轴为，开口向上，当时，最小.故选：B.【点睛】方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.4．B【分析】根据已知条件判断时对应的的范围，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以，所以的前n项和的最大值为.5．A【分析】根据数列是等差数列，且，求出首项和公差的关系，代入式子求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：A6．D【分析】由等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，结合已知条件得和计算得结果.【详解】已知等差数列的前项和为，，，，构成等差数列，所以，且，化简解得.又，，从而.故选：D【点睛】思路点睛：（1）利用等差数列前项和性质得，，，构成等差数列，（2），且，化简解得，（3），化简解得.7．C【分析】可设，，进而求得与的关系式，即可求得结果．【详解】因为，是等差数列，且，所以可设，，又当时，有，，，故选：．8．D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.9．C【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式.【详解】因为数列为等差数列，，，则公差为，因此通项公式为.故选：C.10．B【分析】设等差数列的公差为d.由已知得，可得关系.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项.【详解】设等差数列的公差为d.由得，，整理得，.又，所以，因此，所以最大.故选：B.11．D【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得：，所以该数列的项数共有135项.故选：D【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.12．A【分析】在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故选：A13．A【分析】根据条件列方程组，求首项和公差，再根据，代入求值.【详解】由条件可知，解得：，.故选：A14．B【分析】由等差数列的性质可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式可得，进而可得，再结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，所以数列为等差数列，设其公差为，由可得，所以，解得，所以，所以，所以不等式即对任意的恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以即实数a的最大值是.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.15．D【分析】由等差数列前n项和公式即可得解.【详解】由题意，，所以，.故选：D.16．B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B17．C【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字.【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则，则，则这5个数依次是5，9，13，17，21.故选：C18．A【分析】由和求出公差，再根据可求得结果.【详解】设公差为，则，所以.故选：A19．C【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则根据题意有，解得，所以戊所得为，故选：C.20．C【分析】令，，求出，，进而求出，，则可得．【详解】令，，可得当时，，，当，，符合，故，，故.【点睛】由求时，，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．二、多选题21．BCD【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解.【详解】选项A:,得是等差数列，当时不是等比数列，故错;选项B:,,得是等差数列，故对;选项C:,,当时也成立，是等比数列，故对;选项D:是等差数列，由等差数列性质得，，是等差数列，故对;故选：BCD【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前项和公式是解题关键.22．ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．23．AD【分析】分类讨论大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】①,与题设矛盾.②符合题意.③与题设矛盾.④与题设矛盾.得，则的最大值为.B，C，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念.补充：等比数列的通项公式：.24．BD【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C，D，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A，B．【详解】因为，所以．因为，，所以公差．故选：BD25．BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.26．AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC27．BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A错误；所以，所以，故B正确；因为，所以当且仅当时，取最大值，故C正确；要使，则且，所以使得的最大整数，故D正确.故选：BCD.28．AD【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C错误.【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差数列是单调递减的数列，∴A正确，B错误，D正确，,等价于,即,等价于，即,这在已知条件中是没有的，故C错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.29．BCD【分析】根据等差数列的性质即可判断选项的正误.【详解】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；C选项：时，是等差数列，而a=1，b=2，