2023年山东省新高三一诊考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线C：餐_[=1(。＞0,。＞0)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为顶，则双曲线C的焦距为()

ab

A.3B.3也C.6D.6>/2

2.函数/(x)=:::在-彳，彳上的图象大致为()

2+222

3.设百,々为〃X)=Jlsins-cos6yx(0＞0)的两个零点，且上一切的最小值为1,则勿=()

4.函数/(x)=x3cosx+xln|x|在［一万,0)U(0,»］的图象大致为()

5.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、3、C、

D、£为顶点的多边形为正五边形，且p7=叵口囚尸，则NT-息。函=（）

22

A.如垢B..而C.在匚而D.星就

2222

6.设。、beR*，数列｛q｝满足q=2,a„+1=a-a^,+b,neN*»则（）

A.对于任意。，都存在实数M，使得见＜M恒成立

B.对于任意。，都存在实数M,使得4,＜用恒成立

C.对于任意。«2-4。,+＜»）,都存在实数时，使得a,＜M恒成立

D.对于任意。e（0,2-4a）,都存在实数M,使得。“＜加恒成立

7.已知尸是双曲线。：依2+,2=4伏|（A为常数）的一个焦点，则点尸到双曲线C的一条渐近线的距离为（）

A.2kB.4kC.4D.2

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

〜2%.27r

C.2+—D.4+——

33

9.已知AB是过抛物线V=4x焦点尸的弦，。是原点，则砺.砺=（)

A.-2B.-4C.3D.-3

10.已知函数/（x）=eP，g（x）=ln5+l，若/（"?）=g（"）成立，则〃一加的最小值为（）

5+In6

A.0B.4C.3e--D.

22

11.已知汨一切）=2+初（i为虚数单位，a,b&R）,则就等于（）

1,1

A.2B.-2C.-D.

22

29

12.已知耳、居是双曲线二-白=1（〃＞（）力＞0）的左右焦点，过点£与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另

a-b2

一条渐近线于点M，若点加在以线段打名为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（2,+8）B.（君,2）C.（血,百）D.（1,72）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.设双曲线C:，-4=13＞0力＞0）的左焦点为人过点尸且倾斜角为45。的直线与双曲线C的两条渐近线顺次交

a~力

于A,3两点若丽=3阳，则。的离心率为

22

14.已知椭圆C：，+斗=1（。＞人＞0）的左，右焦点分别为K，F2,过耳的直线交椭圆。于A,3两点，若

乙钻工=90。，且“8工的三边长忸周，|A8|,|4用成等差数列，则。的离心率为.

15.在+的展开式中，各项系数之和为64,则展开式中的常数项为.

TT

16.已知平面向量b,-满足|源=1,151=2,a,万的夹角等于且（］一口・（万一6）=0,则的取值

范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图1,四边形ABCD是边长为2的菱形，NS4£＞=60。，E为CO的中点，以8E为折痕将ABCE折起

到的位置，使得平面依E_L平面ABC。，如图2.

（1）证明：平面平面P3E；

（2）求点。到平面Q钻的距离.

18.(12分)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos8+bcosA=0.

(1)求5；

(2)若〃=4,求AABC1的面积的最大值.

1T

19.（12分）如图，四边形A3CD中，ZADC=-AD=AB=BC=2CD,AE=EC,沿对角线AC将AACZ）

2t

翻折成AAC。'，使得BD'=BC.

(1)证明：BELCD'；

(2)求直线BE与平面AB。'所成角的正弦值.

20.(12分)设函数/(x)=sin(W-f)-2cos2华+1(啰>0),直线y=百与函数f(x)图象相邻两交点的距离为

366

27r.

(I)求/的值;

(II)在AABC中，角AB,C所对的边分别是a*,c,若点［g,。］是函数y=/(x)图象的一个对称中心，且匕=5,

求AABC面积的最大值.

21.(12分)已知函数/(x)=(x—a)2-2xlnx,其导函数为/'(x),

(1)若。=0,求不等式/@)>1的解集；

(2)证明：对任意的0<s<，<2,恒有/(5)］，、)<1.

s-t

22.(10分)已知等差数列｛4｝中，4=5,%=14,数列也｝的前〃项和S,,=22一1.

(1)求4也；

(2)若q,=(—1)%,+%求匕｝的前〃项和4.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据焦点到渐近线的距离，可得然后根据〃=c2-",e=£,可得结果.

a

【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为陵±故=0

取右焦点尸(c,O),一条渐近线/：/犹一胡=0

则点下至!J/的距离为/=近,由〃+4=’2

所以匕=0，则〃=2

22

又£=3nW=9n/=J

aa29

23

所以c?--r--=2=>。=二

92

所以焦距为：2c=3

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，以及a/,c,e之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为属基础题.

2.C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在0<x<~时的符号，即可求解.

【详解】

YCCWX

由/(-X)=—y=-/(X)可知函数/(X)为奇函数.

所以函数图象关于原点对称，排除选项A,B；

当0cx时，cosx>0,

rC0QX

，〃幻=2,+2->°'排除选项

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题.

3.A

【解析】

先化简已知得，(x)=2sin(wx-9TT,再根据题意得出f(x)的最小值正周期T为1x2,再求出s的值.

6

【详解】

由题得.f(x)=2sin(wx-£TT),

6

设X”X2为f(x)=2sin(cox-g)(<o>0)的两个零点，且上一百的最小值为

6

T

A-=b解得T=2；

2

•经-2

••—4,

co

解得<O=rt.

故选A.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.

4.B

【解析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.

【详解】

/(x)是奇函数，排除C,O；/(%)=%(ln万一%2)<0,排除A.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的判断，属于常考题.

5.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【详解】

解：后一叵11砺=而—点=而=在11读.

22

故选：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属

于基础题.

6.D

【解析】

取。=匕=1,可排除AB；由蛛网图可得数列｛%｝的单调情况，进而得到要使4<M,只需2<1+S-'J由此

2a

可得到答案.

【详解】

取a=〃=l,6用=4；+1,数列｛4｝恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项;

由蛛网图可知'加+b=x存在两个不动点'且』=匕吁,x/士，

因为当0<%<芯时，数列｛““｝单调递增，则",,<西；

当七<%</时，数列｛《,｝单调递减，则

所以要使知<M,只需要0<4<々，故2<1+,1-4纥化简得8<2—4。且力>0.

2a

故选：D.

【点睛】

本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题.

7.D

【解析】

分析可得k<(),再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

22

当Z20时，等式丘2+y2=4|口不是双曲线的方程；当k<0时，米2+/=4[k]=_4左,可化为_2_一工=]，可得虚

-4k4

半轴长〃=2,所以点尸到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

8.A

【解析】

观察可知，这个几何体由两部分构成，：一个半圆柱体，底面圆的半径为1,高为2；一个半球体，半径为1,按公式计

算可得体积。

【详解】

设半圆柱体体积为匕，半球体体积为匕，由题得几何体体积为

141STT

23

V=V+V,=^-X1X2X-+-X^X1X-=——，故选A。

122323

【点睛】

本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

9.D

【解析】

设乂，"号-，必，设AB：x=my+l,联立方程得到计算

22

OAOB=竿-+y七得到答案.

【详解】

设A"，yj，^（卷，为，故0A.05=+7当.

x-my+1

易知直线斜率不为0,设AB：x^my+\,联立方程2',

V=4x

22

得到-4=0,故,乂二-4，故函.丽=2■上-+弘必=一3・

16

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为x=®+l可以简化运算，是解题的关键.

10.A

【解析】

令/(加)=g(〃)=f，进而求得〃一根=2f/T-21n-2,再转化为函数的最值问题即可求解•

【详解】

,：f(in)=g[n)=t：.e2=In+1=r(t>Q),n-m=2e'~'-2\nt-2,

9

令：h(t)^2e"'-2lnt-2,〃'(f)=2e"—：,〃'⑺在(0,+纪)上增，

且“(1)=0,所以〃(。在(0,1)上减，在(1,内)上增，

所以〃(“而=〃(1)=2-2=()，所以〃一〃?的最小值为0.故选：A

【点睛】

本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示〃和〃?是本题的

关键，属于中档题.

11.A

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解.

【详解】

,/i(l-ai)=2+bi9

:.a+i=2+bi,得a=2,b=l.

.\ah=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题.

12.A

【解析】

%2v~b

双曲线a-g=1的渐近线方程为y=±,x,

b

不妨设过点用与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-(x-c),

a

hcbe

与丫=--x联立，可得交点M(上，-—

a22a

•.•点M在以线段FiFi为直径的圆外,

2

cZ72c2

.,.|OM|>|OFi|,即有一+—->c',

44/

，J>3,即bi>3al

a~

Ac1-a>3al即c>la.

则e=—>1.

a

，双曲线离心率的取值范围是（1,+oo）.

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,

c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的

坐标的范围等.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.75

【解析】

h______

设直线AB的方程为》=y一。，与y=±-x联立得到A点坐标，由而=3而得，%=3力，代入可得8=2a,即

a

得解.

【详解】

由题意，直线A3的方程为工=y一。，与旷=±2%

a

be

联立得y尸='%

h-a

由方=3⑸得，%=3%，

he3bc

从而

h-ab+a

即Z?=2a,

从而离心率e=±=布.

a

故答案为：V5

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

亚

14.

2

【解析】

设忸£|=x,|AB|=x+4,|A闾=x+2d,根据勾股定理得出x=3d,而由椭圆的定义得出“8月的周长为4a,

有a=3d,便可求出。和c的关系，即可求得椭圆的离心率.

【详解】

解：由已知，出86的三边长怛闾，|AB|,|然|成等差数列，

设忸用=尤，|Afi|=x+d,|A可=x+2d,

而乙钻g=90。，根据勾股定理有：x2+(x+d)2^(x+2d)2,

解得：x=3d,

由椭圆定义知：AABF2的周长为4a,有a=3d,忸国=a=忸用，

r~I

在直角ABF,片中，由勾股定理，2a2=4C,2,即：二=上，

a~2

:.离心率e=Jg=也.

\a22

故答案为：巨.

2

【点睛】

本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.

15.15

【解析】

利用展开式各项系数之和求得〃的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.

【详解】

的展开式各项系数和为2"=64,得〃=6,

(f-1Y/L\6Tf1Y空

所以，«+上的展开式通项为7；M=C"(«)--=C；-x2

令工一=0,得r=2,因此，展开式中的常数项为废=15.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.

V7-V35+后

16-------，--------

22

【解析】

lr-cz+\

计算得到l〃+5l=J7，c2=^\c\cosa-l,解得cosa=Fn，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

,7c

【详解】

由（4一乙）•（5—［）=0可得C2=（5+&）*C-S-Z>=\a+b\*\c\cosa-\-x.2cos^^\a+b\'\c\cosa-1,a^）a+b

与己的夹角.

再由（a+b\=a~+b~+2（i*b-1+4+2x1x2cos—=7可得|,+〃|=J7,

LC2+l

Ac2=5/7\c\cosa-1,解得cosa=,

V7|c|

••,OWz",-iRosaWL••.篇即同2-J7©+lW0,解得币”工坛出丁

田M•田立币币+币

故答案为一--，一--.

【点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)走

2

【解析】

(1)由题意可证得庄_LAB,AB上BE,所以48,平面PBE,则平面_L平面P5E可证;

(2)解法一：利用等体积法由/_98=%一”8可求出点。到平面PA6的距离；解法二：由条件知点。到平面丛8的

距离等于点E到平面B43的距离，过点E作必的垂线，垂足/，证明所，平面Q钻，计算出£尸即可.

【详解】

解法一：（1）依题意知，因为CE1BE,所以PE上BE.

又平面平面ABC。，平面PBEc平面ABCD=B£,PEu平面PBE,

所以PEL平面ABCD.

又平面ABQ9,

所以PELA8.

由已知，&BCD是等边三角形，且E为。。的中点，所以BELCD.

因为AB〃C£>,所以

又PEcBE=E,所以4B_L平面P3E.

又ABI平面Q48,所以平面弘6J_平面PBE.

PP

（2）在中，AB=AD=2,Nfi4T>=60°,所以％⑺二6.

由（1）知，PE_L平面43£>,且PE=1，

所以三棱锥P—43。的体积V='x百xl=Y3.

33

在RfAPBE中,PE=1，BE=6,得PB=2,

由（1）知，ABL平面P8E,所以ABLPB,

所以S^BP=2,

设点。到平面B45的距离d,

则三棱锥E—P43的体积V'=，x2xd=走，得〃=立.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因为DE//AB,AB\平面RVB,平面

所以DE〃平面Q46.

所以点E到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离.

过点E作心的垂线，垂足尸，即及'_LP3.

由(1)知，平面平面刊组，平面B4BC平面P8£=P8,EFu平面PBE,

所以所，平面QA6,即防为点。到平面Q46的距离.

由(1)知，PELBE,

在RMBE中,PE=\，BE=>/3,得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EF=®.

2

不

所以点O到平面PAB的距离为—.

2

【点睛】

本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点

到平面的距离一般可采用两种方法求解：①等体积法；②作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.

18.(1)8=2万(2)拽

33

【解析】

(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得cosB=,即可求得B；

2

(2)由余弦定理借助基本不等式可求得ac<y，即可求出AABC的面积的最大值.

【详解】

(1),.•(«+2c)cosB+bcosA=0,/.(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,

所以(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,

所以sin(A+5)+2cosBsinC=O,

sin(A+B)=sinC,cosB=--

29

2

3

(2)由余弦定理得。?+/-2acx(—万].。？+/+Qc=]6N3ac,

ac<—,当且仅当°=c=生叵时取等，

33

.c_1.11664G

..SARr=—cicsinBS—x—x—=---•

"BC22323

所以△MC的面积的最大值为勺8.

3

【点睛】

本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形面积的最值问题，难度较易.

19.(1)见证明；(2)立

6

【解析】

(1)取CD'的中点K,连EK,8K.可证得EK，C。'，BK1CD',于是可得C。'，平面BKE,进而可得结论成

立.(2)运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值.

【详解】

(1)证明：取8'的中点K,连EK,BK.

,:AE=EC,

：.EK//AD'.

又AD'_LCD',

:.EKVCD'.

在ABC。'中，BC=BD',

/.BKLCD'.

又EKcBK=K,

二CD'，平面BKE,

又BEu平面3KE,

二BELCD'.

(2)解法1：取AD'的中点/，连结砂,5尸，

D

VAE=EC,

:.EFI/CD',

又CDJ_5,

:.AD'A.EF.

又由题意得^ABD'为等边三角形，

:.AD'LBF,

VBFcEF=F,

二AD，平面.

作EHLBF,则有EH_L平面ABD,

:.ZEBF就是直线BE与平面ABDf所成的角.

设8'=1,则=

2

在等边♦AB。'中，BF=—x2=V3.

2

又在-ABC中，AB=BC=2,AC=yf5,故.BE=

在❷EBF中，由余弦定理得cos/EBF=________1〜一Sz?

AsinZEBF=—,

6

,直线BE与平面ABD,所成角的正弦值为—.

6

解法2：由题意可得E3，平面AC。'，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.

不妨设8=1,则在直角三角形AC。'中，可得AD'=2,AC=Vi,

作£>'G_LAC于G,则有平面几何知识可得O'G=2叵，EG=EC-CG=3叵

510

■何喏竽

（西）

又可得A0,-=,0,BOR.

I2J当

4布2⑸

：.AD'n,AB磐4

设平面AB£X的一个法向量为诩=(x,y,z),

和布=述）'+拽z=0

V55

5§得Vx=---V

由<11

-3而，石n

in,AB=----xH------y=0z=-2y

22

☆y=JTT,则得用=卜6,而,一2布了

又丽浮

设直线BE与平面所成的角为仇

\m^EB73

贝!|sin。=|cos^m,EB^

|zn||£B~6

所以直线BE与平面ABD'所成角的正弦值为显

6

【点睛】

利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量.解

题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取

其余角就是斜线与平面所成的角.求解时注意向量的夹角与线面角间的关系.

20.(1)3；(II)竺叵.

12

【解析】

(1)函数/(外=5皿?-5)一28S2竽+1,利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；

366

(11)由(1)知函数/。)=百5皿(无一?)，根据点是函数y=/(x)图象的一个对称中心，代入可得3,利用余

弦定理、基本不等式的性质即可得出.

【详解】

“、.,CDX兀、八2SX.

(IT)•••f(x)=sin(---)-2cos--+1

366

ieox

1+cos—

.cox兀cox.TV

=sin——cos----cos——sm----2-3+1

36362

立sin经:cos丝=Gsin(?-f)

232333

/(x)的最大值为由,/(x)最小正周期为2〃

.'.69=3

(II)由题意及(I)知./■(x)=Gsin(x—?),•.-V3sin(--1)=0^JS=-y

na2+c2-b1+c2-251

cosB=--------------=---------------=——,

2ac2ac2

)25

cic—ci~o+-25N2cle—25,cic<—

3

2573

故S.MBC

2412

故AABC的面积的最大值为生巨

12

【点睛】

本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能

力与运算求解能力，属于中档基础题.

21.(1){x|x>l}(2)证明见解析

【解析】

(1)求出/W的导数，根据导函数的性质判断函数/(x)的单调性，再利用函数单调性解函数型不等式；

(2)构造函数夕(x)=/'(x)-X,利用导数判断。(x)在区间(0,2)上单调递减，结合0<s<t<2可得结果.

【详解】

(1)若a=0,则/(x)=x2-2xlnx"'(x