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文档简介

第五章

留数§5.1

孤立奇点§5.2留数(Residue)§5.3

留数在定积分计算中的应用2概述留数理论是级数与积分理论相结合的产物，是复变函数论的主要理论，是解决实际问题的有力工具.先对解析函数的孤立奇点进行分类，再讨论各类孤立奇点的有效判断方法。而后，给出留数的定义，介绍留数的计算方法。最后，给出留数定理，并利用它计算闭路的积分。它可以把计算沿着闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数！！！31.定义

2.分类3.性质4.零点与极点的关系§5.1孤立奇点41.孤立奇点的定义例如----z=0为孤立奇点----z=0及zn

=1/n

(n=1,2,…)都是它的奇点----z=-1,2为孤立奇点定义~~~~~~~~~5xyo这说明奇点未必是孤立的。62.孤立奇点的分类以下在孤立奇点的去心邻域内将f(z)展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项7定义1.1

设z0是f(z)的一个孤立奇点，在z0

的去心邻域内，若f(z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m级极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~判断孤立奇点类型的第一种方法！83.性质

判断孤立奇点类型的第二种方法！证明：9f(z)在去心邻域内有界!!Cauchy不等式10

z0为f(z)的m(m1)

级极点分析：例如：11显然12

z0为f(z)的本性奇点例1.2z=0为f(z)的一个三级极点，z=2为f(z)的一级极点。例1.3134.零点与极点的关系定义1.5

对于不恒等于0的解析函数f(z),如果它能表示成：则称z=z0为f(z)的m级零点。例如：14定理1.3事实上，必要性得证！充分性略！15例如16定理1.4证明“”

若z0为f(z)的m级极点（函数的零点与极点的关系定理）1718定理1.5例如1.5m级零点n级零点有哪些奇点？19解：20例如1.7解：起着坐标变换的作用！！215.函数在无穷远点的性态下面在扩充复平面上讨论函数的奇点：定义1.6~~~~~~~~~提出问题:如何研究函数在无穷远点的邻域内的性质？解决问题的方法：要研究函数在无穷远点的性质

只需考察在零点处的性质：为此，我们考察如下反演映射：~~~~~~~22如何映射区域？23如何构造解析函数？级数的复合运算规定:24定义1.7（1）孤立奇点的判断方法！注意：变量变换负幂项系数正幂项系数25于是观察二者主要部

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