第28课时-圆的基本性质

第28课 圆的基本性质本节内容考纲要求认识圆的轴对称性和中心对称性，认识圆心角、弧、弦之间相等关系，理解圆周角和圆心角关系等。近5年试题规律：主要以选择、填空题形式考查弧、弦、圆心角圆周角之间的关系，难度不大。特别地，虽然考纲已经不要求垂径定理，但近几年总有考查。考情分析圆的有关概念(1)圆的定义：平面上，到定点的距离______定长的所有点组成的图形，叫做圆．(2)弦：圆上任意两点间的______叫做这个圆的一条弦；过圆心的弦叫做这个圆的直径．(3)圆弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧；大于半圆的弧叫做______；__________的弧叫做劣弧．考点1

圆的有关概念及性质等于线段优弧小于半圆知识清单2．圆的有关性质(1)对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，每一条_______所在的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心．(2)___________________的三点确定一个圆．直径不在同一直线上知识清单1．圆心角的定义：顶点在圆心的角．2．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

______；在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦

______，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等．3．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点2

弦、弧、圆心角的关系相等相等知识清单1．圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角．2．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．3．推论：

(1)直径所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是直径．

(2)同弧或等弧所对的圆周角______．考点3

圆周角定理及其推论一半直角相等知识清单4．圆内接四边形性质

(1)圆内接四边形的对角______．

(2)圆内接四边形的任意一个外角______它的内对角

(和它相邻的内角的对角)．互补等于知识清单考点4

垂径定理及其推论(高频)1．垂径定理及其推论

(1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．如图，已知CB是直径，AD

是弦，CB⊥AD于点E，则AE＝______，

AC＝CD，AB＝BD.ED︵︵︵︵知识清单(2)推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图，已知CB是直径，AD不是直径，AE＝DE，则BC⊥_____，AC＝CD，

AB＝BD.AD︵︵︵︵知识清单2.垂径定理的应用如图，⊙O的半径OD与弦AB垂直，用r表示圆的半径、a表示弦长、d表示弦心距、h表示弓形高，则有如下公式：(1)r＝d＋h；(2)r2＝＋d2＝

＋(r－h)2；(3)sin∠AOD＝；

cos∠AOD＝.知识清单1．(2016娄底)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四

边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系

是________．真题再现∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D180°,∴AB∥CD.真题再现2．(2016永州)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两

点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，

则∠BAC＝________度．35真题再现(2016自贡)如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是()A．15°

B．25°

C．30°

D．75°题型一弦、弧、圆心角的关系C题型训练

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可得∠C＝∠AMD－∠A＝75°－45°＝30°；又∠C和∠B同为弧AD所对的圆周角，所以∠B＝∠C＝30°.题型训练2．(2016石家庄一模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC弧的中点，则∠ACD＝________．125°题型训练如答图，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝40°，OA＝OC，∴∠BOC＝140°，∠ACO＝70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD＝70°，又∵OC＝OD，∴∠OCD＝55°，∴∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝70°＋55°＝125°.题型训练方法点拨在同圆或等圆中已知等弦、等弧、等圆心角这三组量其中的任意一组量时，可利用转化思想将其转化为另外的两组量对应相等，进而寻求解题思路．题型训练(2015上海)如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径

OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是()A．AD＝BDB．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB题型二垂径定理及其推论B题型训练(2016长沙)如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB

的距离OC＝2，则⊙O的半径长为______．∵弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC＝BC＝3，∠ACO＝90°，由勾股定理得：OA＝题型训练方法点拨垂径定理在圆的有关证明或计算中有十分重要的作用，常作的辅助线是作圆心到弦的垂线段，结合方程思想，利用圆心到弦的垂线段、弦的一半和半径组成直角三角形来求解．题型训练1．(2016绍兴)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O

上，AB＝BC，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是

()A．60°B．45°C．35°D．30°题型三圆周角定理及其推论D︵︵题型训练2．(2016北京朝阳模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D为

()A．50°B．45°C．40°D．30°C题型训练3．(2016巴中)如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为()A．25°B．50°C．60°D．30°A题型训练∵∠BOC＝50°，∴∠BAC＝∠BOC＝25°.∵AC∥OB，∴∠OBA＝∠CAB＝25°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝25°.题型训练4．(2016济南二模)如图，点P在线段AB上，PA＝PB

＝PC＝PD，当∠BPC＝60°时，∠BDC＝()A．15°B．30°C．