结构力学课件矩阵位移法

⑴集成整体刚度矩阵的先处理法和后处理法

先处理法是在编码过程中就考虑结构的支承约束条件，将支座处被约束的量编为0，减少总码个数，按总码集成整体刚度矩阵。(手算)

后处理法是在编码过程中先不考虑结构的支承条件，而是在集成原始整体刚度矩阵之后，再对支承条件进行处理。(机算)对比:123(0,0,1)(0,2,3)(0,0,0)(4,5,6)先处理法(4,5,6)(1,2,3)(7,8,9)123后处理法(10,11,12)§9-5刚架的整体刚度矩阵⑵刚架单元：刚架单元是最一般的单元，杆端存在六个位移和六个力。1212思考：图示刚架用后处理法求解时，②单元刚度矩阵中的第二行第六列元素的值是什么？该元素送至总刚的第几行第几列？

(1,2,3)lhh↓↓↓↓↓↓↓qx

①②③

(4,5,6)

(7,8,9)

(10,11,12)⑶先处理法集成刚架的整体刚度矩阵AC

B1.结点位移的统一编码——总码yx213400结点位移列阵:2.单元定位向量211(2)(1)(3)(5)(4)(6)2(2)(1)(3)(5)(4)(6)000A=0.5m2,I=1/24m4E=3×107kN/m2l=5m1230041234×104１２３４3.单元集成过程

12300430012301003010050305030×104单元刚度矩阵的计算（例9-1已求得）

123000②123001003030+++123000⑴铰结点处的两端结点应看作两个结点（C1和C2），它们的线位移相同，角位移不同。000123A

C1BD000456475C23⑷铰结点的处理线位移采用同码，角位移采用异码。⑵单元定位向量：12①②③例2：计算结构的整体刚度矩阵。解:单元刚度矩阵的计算如前例。各单元的A=0.5m2,I=1/24m4，E=3×107kN/m2，l=5m。000123A

C1BD000456475C2312①②③123456

123456①300500－3010030000－30000012300－12300301000－30500－12－30012－30－3000030000②123000－30+300+12+0－30+100123000457000③+12－30+300－30+100单元集成过程:45700012345671234567P-9.9图示连续梁，各杆刚度为EI，忽略轴向变形，写出其整体刚度矩阵。①连续梁单元的刚度矩阵解：BDC8m②4mA3m①③BDC②A①③②单元定位向量.③单元集成整体刚度矩阵.BDC②A①③P-9.10图示刚架，各杆刚度为EA、EI，写出其整体刚度矩阵。①局部坐标系下的单元刚度矩阵.解：ABC①②ABC①②②整体坐标系下的单元刚度矩阵.ABC①②③单元定位向量.④单元集成整体刚度矩阵.ABC①②一.位移法基本方程位移法基本方程

按第7章的推导方法：

①设荷载单独作用，在基本结构附加约束中引起的结点约束力FP；

②设位移△单独作用，在基本结构附加约束中引起的结点约束力KΔ原体系已知作用在结点上的集中荷载基本体系§9-6等效结点荷载(equivalentjointload)若荷载产生的结点位移是Δ而F=KΔ—即整体刚度方程——利用结构上的结点荷载P，求结点位移Δ。“位移法基本方程”二.等效结点荷载的概念原体系基本体系荷载P是作用在结点上的集中荷载，然而当荷载不是结点集中荷载时，就应当化成等效结点荷载。非结点荷载与等效结点荷载等效的条件是:在基本结构中产生相同的结点约束力。求各单元载常数（固端力）:三.求整体结构的等效结点荷载⑴求局部坐标系中的单元固端力（可查表9－1）⑵求整体坐标系中的单元等效结点荷载⑶集成结构的等效结点荷载P⑷如果结构还作用着直接结点荷载，应将等效结点荷载与直接结点荷载相累加，得到综合结点荷载。依次将各单元的按单元定位向量

在P中进行定位并累加。解：⑴求单元固端力单元①yx12单元②的倾角α2=90°123000123401210－10+4+0－54125－10单元②⑵求，并累加单元①的倾角α1=0123004

P=【例9-3】求图示结构的等效结点荷载P。123000400例:计算图示结构的综合等效结点荷载P。注意有直接结点荷载为：非结点荷载的等效结点荷载为：

则综合等效结点荷载为：xy(0,0,0)(0,0,0)(1,2,3)4125－10

PE=1212312改变符号即为单元等效结点荷载:连续梁的等效结点荷载:只需固端弯矩结构的等效结点荷载P:§9-7计算步骤和算例⑴标明各单元局部坐标轴的正方向；进行整体编码。⑵形成局部坐标系中的单元刚度矩阵。⑶形成整体坐标系中的单元刚度矩阵。⑷用单元集成法形成整体刚度矩阵K。⑸形成整体结构的等效结点荷载P。⑹解方程KΔ=P

，

求出结点位移Δ。⑺求各杆的杆端力矩阵位移法计算步骤:其中：荷载引起的固端力杆端位移产生的杆端力与000123000456例９－４求图示刚架的内力。梁截面：0.5m×1.26m；柱截面：0.5m×1m。213xy解：⑴原始数据整理、编码⑵形成局部坐标系中的单元刚度矩阵单元①、③(α=90°)坐标转换矩阵为⑶形成整体坐标系中的单元刚度矩阵①③单元②(α=0°)坐标转换矩阵为单位矩阵所以⑷集成总刚K123456②52.5－52.50.583.47－0.583.473.4727.8－3.4713.9－52.552.5－0.58－3.470.58－3.473.4713.9－3.4727.8123456①123000+2.31－6.94+83.3－6.94+27.8③456000+2.31－6.94+83.3－6.94+27.8000123000456213xy⑸求等效结点荷载P单元在整体坐标系中的等效结点荷载集成固端力123000123456⑹解基本方程求结点位移1Δ=K-1P⑺求杆端力①123000单元①②⑺求杆端力123456单元②③⑺求杆端力456000单元③8.492.093.044.38M图(kN·m)4.76＋1.24－－0.431.24＋1.24FQ图(kN)0.43－1.24－0.43FN图(kN)⑻作内力图①②③⑴编总码

在刚结点A,铰结点C1和C2处，竖向位移均为零，编码也应为零，另外它们的水平位移应采用同码。⑵单元定位向量§9-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析A

C1B

D000102000103140C2③①②例９－５：求内力。不计轴向变形。柱截面：0.5m×1m，梁截面：0.5m×1.26m。000102000103213xy解：⑴原始数据整理，编码。⑵形成局部坐标系中的单元刚度矩阵（同例9-4）单元①、③(α=90°)坐标转换矩阵为⑶形成整体坐标系中的单元刚度矩阵（同例9-4）①③单元②(α=0°)坐标转换矩阵为单位矩阵，所以⑷形成总刚K①1020002.31－6.94－6.9427.8②10210352.5－52.527.813.9－52.5+52.513.927.8③103000+2.31－6.94－6.94+27.84.62－6.94－6.94－6.9455.613.9－6.9413.955.6000102000103213xy123集成等效结点荷载123⑹解基本方程求结点位移⑸求等效结点荷载P等效结点荷载固端力102000①⑺求杆端力102000单元①123⑺求杆端力②102103单元②123⑺求杆端力③103000单元③1238.412.093.094.47M图(kN·m)4.75＋1.25－－0.43

＋1.25FQ图(kN)0.43－1.25－0.43FN图(kN)⑻作内力图①②③③②①根据结点平衡由剪力求轴力。(考虑轴向变形时的内力标在括号中)(4.78)(1.24)(0.43)(1.24)(8.49)(3.04)(4.38)(2.09)轴向变形影响不大。矩阵位移法计算步骤：单元编号，进行总体编码；形成局部坐标系中的单元刚度矩阵；求得整体坐标系中的单元刚度矩阵；用单元集成法形成整体刚度矩阵K；求局部坐标系的单元等效结点荷载；再求得整体坐标系的单元等效结点荷载；用单元集成法形成整体结构的等效结点荷载P；解方程

KΔ=P，求出结点位移Δ；求各单元的杆端力:画弯矩图等。将支座处被约束的结点位移编为0。局部坐标下单元刚度方程§9-9桁架及组合结构的整体分析坐标转换矩阵扩大成四阶u1u212yxX1X2Y1X1注意：①桁架单元的结点转角不是基本未知量。②荷载是直接结点荷载。③杆端力全由结点位移产生，即：1.桁架整体坐标系下的杆端力、杆端位移:

3ll10kN10kN例９－6：求图示桁架内力(EA=常数)。解：⑴编码如图⑥①②③

④⑤124(0,

0)(0,

0)⑵形成⑶单元定位向量①,②,③,④⑤,⑥1234123400000000单元②、④②②1234④④1－1－11⑷形成，并送入总刚中

3ll10kN10kN⑥①②③

④⑤124(0,

0)(0,

0)单元①、③1234120012001－1－11①1340034001⑷形成，并送入总刚中③单元⑤1234120012001－1－1111⑤+0.350.350.35+

0.35⑷形成并送入总刚中单元⑥1234340034001－1－1111⑥+0.350.350.35+

0.35+0.35+0.35－0.35－0.35⑷形成并送入总刚中⑸结点荷载⑹解基本方程

3ll10kN10kN⑥①②③

④⑤124(0,

0)(0,

0)⑺杆端力计算①1200④0000②1234拉杆压杆同理可求其余杆的内力。

3ll⑥①②③

④⑤124(0,0)(0,0)2.组合结构计算组合结构时注意：区分梁式杆和二力杆，梁式杆杆端有三个位移分量，二力杆杆端有两个位移分量。“组合结点”各杆端线位移编同码。00000xy213120054645000①②③

④⑤各单元定位向量1、转换矩阵中的转角当杆件有折角、刚度发生变化、存在支承条件的情况下，均需要将杆件划分为不同的单元。是整体坐标系以按顺时针转至局部坐标系为正。1231232、杆件单元数量的确定§9-10本章小结３、结点位移分量的局部码和总码021340000xABC①y②总码AC①(1)AB②(2)(3)(4)(5)(6)(4)(5)(6)(1)(2)(3)局部码①按结构的结点位移统一编码，称为总码。②按单元两端结点单独编码，称为局部码。刚架单元杆端存在六个位移和六个力。1212４、刚架单元５、连续梁单元连续梁单元的杆端无线位移。1212单元刚度矩阵:６、桁架单元桁架单元的结点转角不是基本未知量。坐标转换矩阵:1、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为

。8个练习2、已知图示刚架各杆EI=常数，不考虑轴向变形，先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：

A√