化工过程课件

化工过程系统的优化4.1概述数学模型是对实际过程系统进行模拟的基础。建立数学模型不仅仅是为了对过程进行模拟，其最终目的是要对过程进行优化什么是优化？在化工装置的设计及操作中，人们一直都在自觉或不自觉地应用优化的概念过程系统中优化的分类参数优化流程结构给定在实际生产中不断调节反应器的温度、压力以保证原料的转化率最大；在精馏塔设计中选择适当的回流比，以保证较少的热量消耗和塔板数；过程系统中优化的分类结构优化

流程方案的优化

在多种可行方案中找出费用最小的流程结构，保证该方案满足安全、环保、易操作等方面的要求确定冷、热物流的匹配方式，以便充分利用系统内部热量，降低公用工程消耗不论是结构优化还是参数优化，最终目的都是为了以最小的投入获得最大的收益。4.2化工过程系统优化问题基本概念4.2.1最优化问题的数学描述在数学上，求解最优化问题就是要找到一组使得目标函数J达到最大或最小的决策变量求最小值的方法完全可以用于求解最大值问题最优化问题的通用表达式求目标函数的最小值：(4-1)服从于不等式约束条件：(4-2)及n个等式约束条件：(4-3)

为n维优化变量向量最优化问题的组成要素：目标函数，优化变量，约束条件与可行域。1目标函数

目标函数（又称性能函数，评价函数）是最优化问题所要达到的目标。两组不同的决策，其好坏优劣要以它们使目标函数达到多少为评判标准。系统的产量最大；系统的经济收益最大；系统的能量消耗最小；系统的原料利用率最高；系统的操作成本最低；系统的投资成本最低；系统的稳定操作周期最长。还有多目标问题——各目标加权2优化变量对于过程系统参数优化问题，优化变量向量就是过程变量向量。过程变量向量包括决策变量和状态变量决策变量等于系统的自由度，它们是系统变量中可以独立变化以改变系统行为的变量；状态变量是决策变量的函数，它们是不能独立变化的变量，服从于描述系统行为的模型方程。w表示决策变量，x表示状态变量，则过程系统模型方程确定了x与w的函数关系（4-4）通常称之为状态方程，它表示的是系统状态变量与决策变量之间的关系。状态方程数目与状态变量x的维数相同。自由度为零的系统优化问题就是系统模拟问题3约束条件和可行域当过程变量向量y的各分量为一组确定的数值时，称为一个方案变量y的取值范围一般都要给以一定的限制，这种限制称为约束条件

状态方程限制了状态变量与决策变量间的关系，因此，也可以看作是一种约束条件。对于设计参数优化问题，设计规定要求也是一种约束条件。约束条件有等式约束和不等式约束满足约束条件的方案集合，构成了最优化问题的可行域，记作R可行域中的方案称为可行方案每组方案y为n维向量，它确定了n维空间中的一个点因此，过程系统最优化问题是在可行域中寻求使目标函数取最小值的点，这样的点称为最优化问题的最优解过程系统优化问题可表示为w－决策变量向量（w1，…，wr）

x－状态变量向量（x1，…，xm）z－过程单元内部变量向量（z1，…，zs）

F－目标函数

f－m维流程描述方程组（状态方程）c－s维尺寸成本方程组h－l维等式设计约束方程g－不等式设计约束方程讨论对于上述优化问题，变量数为m+r+s，等式约束方程数为m+l+s，问题的自由度为d=变量数－方程数＝r

－l若l=0，自由度等于决策变量数r；若l=r，自由度等于零，此时最优化问题的解是唯一的（即等于约束方程的交点），没有选择最优点的余地；若l>r，则最优化问题无解。由此可见，l<r是最优化问题有解的必要条件之一

例4－1求一个受不等式约束的最优化问题服从于约束条件：解：可行域是由:

三边所围成的区域,最优解只能是可行域内与点（3，2）距离最近的点(2,1)(3,2)4.2.2最优化问题的建模方法

过程机理清楚的问题——采用机理模型进行优化。优点：结果比较精确缺点：形式往往比较复杂，一般具有大型稀疏性特点，需要用特殊的最优化方法进行求解，求解方法选择不当，会影响优化迭代计算速度。建立过程系统优化问题的模型方程时，要根据问题的实际情况，采用不同的建模方法。过程机理不很清楚，或者机理模型非常复杂——建立黑箱模型进行优化。常用的就是统计模型优化方法。优点：模型关系式简单，不需要特殊的最优化求解算法缺点：外延性能较差，只适用于原装置操作条件的优化，而不适用于其他场合。黑箱建模另一种方法——神经网络模型。它被广泛用于过程系统模拟和优化。它也是基于实际生产数据或实验数据，但在许多方面优于一般的统计回归模型。它寻优速度较快，具有自学习、自适应能力（也称为智能模型），尤其适用于多目标优化问题。多层神经网络的求解都有相应的算法，比如常用的BP算法等。不过多层神经网络建模需要大量的样本数据，而且存在局部极值问题。（第五章介绍）4.2.3化工过程系统最优化方法的分类最优化问题的机理模型通常为一套描述过程特性的方程组，需要特殊的最优化方法进行求解。求解最优化问题的方法很多，大致有如下几种分类原则：（1）无约束最优化与有约束最优化在寻求使目标函数达到最优时，如果对于决策变量及状态变量无任何附加限制，则称为无约束最优化。问题的最优解就是目标函数的极值。这类问题比较简单，其求解方法是最优化技术的基础。在建立最优化模型方程时，若直接或间接的对决策变量施以某种限制，则称为有约束最优化。通常求解有约束最优化模型的方法是通过把有约束最优化问题转化成无约束最优化模型进行求解。（2）线性规划与非线性规划根据目标函数及约束条件线性与非线性性质，可将求解方法分为线性规划LP和非线性规划NLP两大类。当目标函数及约束条件均为线性函数时，称为线性最优化。线性规划是最优化方法中比较成熟的技术。当目标函数或约束条件中至少有一个为非线性函数时，则称为非线性最优化，由于求解非线性规则问题往往比较困难，所以有时也将其近似地线性化，然后用比较成熟的线性规划技术求解。如果目标函数为二次型，而约束条件为线性函数，则称为二次规划问题。二次规划是从线性规划到非线性规划的过渡，是最简单的一种非线性规划。（3）单维最优化和多维最优化根据优化变量的数目，可将问题分为单维最优化和多维最优化。只有一个可以调节的决策变量的单维最优化问题是最简单的典型问题研究单维最优化的方法具有基本的意义，这是因为复杂的多维最优化问题往往可以转化为反复应用单维最优化方法来解决。

（4）解析法与数值法解析法又称为间接最优化方法。这种方法只适用于目标函数（或泛函）及约束条件有显函数表达式的情况。它要求把一个最优化问题用数学方程式表示出来，然后用导数法或变分法得到最优化的必要条件，再通过必要条件，对方程求解得到优化问题的最优解。古典的微分法、变分法、拉格朗日乘子法等都属于解析法。

数值法又称为直接最优化方法，或优选法。这类方法不要求目标函数为各种变量的显函数表达式，而是利用函数在某一局部区域的性质或一些已知点的数值，逐步搜索、逼近，最后达到最优点。

（5）可行路径法和不可行路径法可行路径法的整个搜索过程是在可行域内进行的，也就是说，对于变量的每次取值，约束条件均必须满足。因此，对于每一次优化迭代计算均必须解算一次过程系统模型方法，也就是做一次全流程模拟计算。这类方法简单可靠，但计算量很大。不可行路径法的整个搜索过程并不要求必须在可行域内进行，可以从不可行域向最优解逐步逼近，但在最优解处必须满足条件。所有的过程变量同时向使目标函数最优而又能满足所要求条件的方向移动。其求解过程有可能不稳定，但计算量比可行路径法显著减少。

4.3化工过程系统最优化问题的类型过程系统参数的优化过程系统结构的优化过程系统管理的优化4.3.1过程系统参数优化过程系统参数优化包括设计参数优化和操作参数优化。寻求一组使目标函数达到最优，同时又满足各项设计规定要求的决策变量（即设计变量）。并根据情况调节决策变量（即操作变量），从而使目标函数达到最优。4.3.2过程系统管理最优化

过程系统管理的最优化主要从以下几个方面考虑：（1）资源的合理分配工厂里的蒸汽、冷却水等公用工程，通常都是供给全厂所有车间使用的，只有合理地分配，才可以减少外购公用工程量，从而获得最好的经济效益。

（2）时序问题多组反应器中的催化剂再生；间歇操作的流程中每个设备的运行周期；设备的维护和检修；多产品车间的生产运行。（3）多产品生产过程的排产计划，会出现利润最大的优化问题。4.4化工过程中的线性规划问题运筹学规划论：线性规划、非线性规划、动态规划更新论存储论控制论排队论对策论线性规划线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的的一个分支。线性规划的理论、方法简捷，只要把所探讨的问题的性质、指标等因素限制在约束条件中，求出满足约束条件的最优方案。发展史1939年康特洛维奇从运输问题入手开始研究，代表作“生产组织与计划的数学方法”20世纪40年代末Dantzig等人进一步完善了线性规划学科，与Hurwicz一起发明了单纯形法，从而奠定了线性规划的基础20世纪50年代我国开始线性规划方面的研究1975年康特洛维奇和库甫曼获诺贝尔经济奖4.4.1线性规划问题的数学描述线性规划问题的数学模型的标准形式（引例）例题：某厂有生产甲、乙两种产品的能力，生产1吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦，生产1吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦，该厂仅有技工12人，一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进21吨，甲产品可盈利80/吨，乙产品可盈利90/吨。该厂在一月中如何安排这两种产品的生产，使之获得最大盈利？建立这个问题的数学模型。解：设x1,x2分别表示一月中生产甲、乙两种产品的数量，则最大盈利为：S=80x1+90x2工日的约束为3x1+4x2≤300；原料小麦的约束为0.35x1+0.25x2≤21,该问题的数学模型即为maxS=80x1+90x2s.t.3x1+4x2≤3000.35x1+0.25x2≤21x1,x2≥0S.t.是“subjectto”的缩写，即约束条件线性规划是求一组非负变量，这些变量在满足一定的线性约束条件下，使一个线性函数达到极小或极大即：把上述线性规划一般模型转化成标准形式线性规划的标准形式具有以下四点：目标函数是求最小值（也可以把目标函数定为求最大值）在约束条件中，除了非负约束用“≥”号外，其他所有约束条件均用等式（或称方程）表示每个约束方程的常数项均是非负的（bi≥0）所有未知量受非负限制各种不同形式的模型转化为标准形式的方法将求极大值化为求极小值将不等式约束化为等式约束将自由变量化为非负变量约束条件带有绝对值号的转化(1)将求极大值化为求极小值如果目标函数J是求极大值，则可以采用以下方法进行转化：max(J)=min(-J)(2)将不等式约束化为等式约束ai1x1+ai2x2+···+ainxn≤bi引入“松弛变量”yi(

≥0)化“≤”为“=”将不等式化为：ai1x1+ai2x2+···+ainxn+yi=bi对于大于等于型不等式ai1x1+ai2x2+···+ainxn≥bi引入“剩余变量”yi(≥0)化“≥”为“=”将不等式化为：ai1x1+ai2x2+···+ainxn-yi=bi（3）将自由变量化为非负变量

如果未知量无非负约束时，称为自由变量，这时，这个未知量可用两个受非负限制的变量xk′,xk″之差描述，如：xk=xk′-xk″其中：xk′,xk″≥0(4)约束条件有绝对值号的转化如果约束条件带有绝对值号时，如|a1x1+a2x2|≤b则可以等价地化为:a1x1+a2x2≤b-a1x1-a2x2≤b从上面的例子看出：当引入松弛变量或剩余变量之后，比原来约束条件中的变量增加了m个，使得总变量数为n+m个，一般来说，对于约束条件引进松弛变量后约束条件得系数矩阵为当约束条件时添加剩余变量后其约束条件的系数矩阵为：例题2化下式为标准型

引进松弛变量y1,y2,y3得标准形式为引进的松弛变量y1,y2,y3与x1,x2同等看待,将松弛变量纳入目标函数时，其系数应取零4.4.2求解线性规划的图解法图解法适用于变量较少的线性规划问题,他通过作图的方式，直观地显示满足约束条件、可行域和目标函数的最优解。先介绍求解两个变量的线性规划问题,这个解法虽然只适用于两个变量的线性规划问题，但是得到的一些结论也适用于更多变量的线性规划问题。例题3用图解法求解线性规划问题解：由于非负约束，所以可行解允许的范围只能在第一像限。设：x1为横坐标，x2为纵坐标,作图x1+x2≤5x1-x2≤3x1,x2≥0上述约束条件表示AOCD围成的四边形，因此最优解落在该四边形内ABx2x1CDx1-x2=3x1+x2=52x1+x2=92x1+x2=02x1+x2=2o目标函数S=2x1+x2当S的值为0,2,…由小变大时，直线x2=-2x1+S向其增大方向平行移动，当移到D点时，他既满足约束条件，且又使目标函数取得最大值ABx2x1CDx1-x2=3x1+x2=52x1+x2=92x1+x2=02x1+x2=2ox1+x2=5得x1=4x1-x2=3x2=1即：D点坐标为（4,1）最优解为x1=4，x2=1目标函数的最大值为：S=2×4+1=9例题4用图解法求解线性规划问题minS=3x1+2x2s.t.x1+2x2≥4x1-x2≥1x1,x2≥0解：可行解域G为无界开区域因为目标函数是以S为参数的一族平行线，故分别令S为10,8,0等，可见直线离原点愈近时，目标函数值愈小，图中可知，最小值在B点（2,1）故x1=2,x2=1为问题的最优解相应的目标函数S=3×2+2×1=8如改为求目标函数最大值maxS=3x1+2x2，则可行解域无上界，问题有无界解，因而不存在最大值，也就没有最优解例题5用图解法求解线性规划问题minS=4x1-2x2s.t.x1+x2≤1x1+2x2≥4x1,x2≥0s.t.x1+x2≤1x1+2x2≥4从图中可以看出，同时满足四个不等式的点不存在，所以没有可行解，当然没有最优解可以看出：线性规划问题的任意两个可行解联线上的点都是可行解;线性规划问题的最优解如果存在，必在可行解域的某个“顶点”上达到。线性规划基本定理1任意一个线性规划问题的可行解集合（如果不是空集）是一个凸集。线性规划基本定理2对于线性规划问题

minS=CX,s.t.AX=bX≥0(1)若存在一个可行解，则必存在一个基本可行解(2)若存在一个最优可行解，则必存在一个最优基本可行解线性规划基本定理3线性规划问题的基本可行解，对应于可行解集合所构成凸集Ｄ的顶点（极点），且最优解将在顶点上获得。习题1求解maxZ=x1+3x2s.t.2x1+3x2≤24x1-x2≤7x2≤6x1,x2≥0习题2求解maxZ=4x1+6x2s.t.2x1+3x2≤24x1-x2≤7x2≤6x1,x2≥04.4.3求解线性规划问题的单纯形法从线性规划问题的图解法中可以看出，求最优过程就是由可行解集合构成凸集的一个顶点过渡到另一个顶点的过程，最后获得的最优解在顶点（极点）上得到。这种方法仅在变量个数及约束条件较少时方为适用。当变量个数及约束条件比较多时必须改进这种方法。单纯形法就是这种简化和改进的方法基本思想：在保证目标函数变优的前提下，由一个初始基本可行解开始，向另外一个基本可行解过渡。例题6某工厂有三套设备A1，A2，A3，生产P1，P2两种产品，单位产品的产值，所需设备的加工工时定额及设备可用工时如下表所示。求产值最高的最优方案。解：x1,x2分别为产品P1，P2的计划产量个数，得数学模型：MaxS=2x1+3x2s.t.2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤16x1,x2≥0引进松弛变量x3,x4,x5,化数学模型为：2x1+2x2+x3=12x1+2x2+x4=84x1+x5=16-2x1-3x2+s=0且x1,x2,x3,x4,x5非负，又使S尽可能大在这里S与xj同样被看作是变量，目标函数的那个等式被看作是增加的一个约束条件，因此，数学模型就变为上式给出的4个方程，6个变量的线性方程组，就是把求解线性规划问题，转化为线性方程组的问题。线性方程组的一般解法是：通过初等变换把增广矩阵转化为阶梯形矩阵，然后求解，方程组的增广矩阵为：它的秩为4，其中第3列到第6列即P3，P4，P5，P6是线性无关的单位向量，组成了一个单位矩阵，称它为初始基，相应地，x3，x4，x5是基本变量，x1，x2为非基本变量。若令x1=x2=0，得基本可行解：x(１)＝（0,0,12,8,16）T,S1=０为了说明如何从x(１)出发找到最优解，先把增广矩阵增加几个标记，改为：单纯形表其中最后一列为常数列最后一行为检验行，是目标函数变量的系数变号而得来的，原目标函数是求最大，变号后化为求最小。常数列检验行首先判断X(1)是否为最优解，其方法是：看检验行中的所有元素是否都大于零，若是，则X(1)便是最优解，否则就不是最优解。现在a41=-2<0,a42=-3<0,所以X(1)不是最优解既然X（1）不是最优解，就设法找第二基本可行解X(2)，且目标函数值大于S1。其找法：在检验行中找出其绝对值最大的负元素C*2=-3，称C*2所在的列为主列，主列所对应的变量x2作为X(2)的一个基本变量，称为进入变量．然后使X（1）的基本变量x3、x4、x5中某两个与x2合在一起成为X(2)的三个基本变量．现在x2要进基，x3、x4、x5那个出基呢？

方法是：用主列中的正元素aij去除常数列中的对应元素bi，即bi/aij。而后取其比值较小者所在的行为主行，主行与主列交叉处的元素称为主元素．表中第2列是主列，故第二行是主行，a22＝2是主元素，

故第二行是主行,a22＝2是主元素，这时与X（1）的基本变量x3、x4、x5相对应的列向量在主行中元素为1的第4列P4是需要退出基的列，相应的基本变量x4是退出变量．如此即得X（2）的基本变量为x2、x3、x5。由表求X（2）时，用初等行变换的方法，将主元素化为1，主列中其它元素都化为零，即主列P2应化为（0，1，0，0）T，于是得到为将主元素化为1，主列中其它元素都化为零，第2行乘于-2加到第一行为将主元素化为1，主列中其它元素都化为零，第2行乘于3加到第四行令x1=x4=0由最后一列得基本变量的值x2=4,x3=4,x5=16,S2=12即X(2)=(0,4,4,0,16)TS2=12>S1=0再检验，由于表的检验行中仍有负元素，所以X（2）仍不是最优解，于是再选主列P1，用P1中的正元素去除常数列中相应的元素，取较小比值所在的行为主行，即

这时较小比值中同时有两个，那么无论任取其中的那一个所在的行为主行均可，取第三行为主行，则主元素a31=4，与X(2)的基本变量x2、x3、x5相应的列向量在主行中元素为1的是第5列，因此x5为退出变量，这样即得X（3）的三个基本变量为xl、x2、x3，对表施行初等行交换将第1列化为(0,0,1,0)T的形式，于是得到第三行除于4；第三行乘于-1/2加到第二行中；第三行乘于-1加到第一行中;第三行乘于1/2加到第四行中。x1令x4=x5=0。可得x1=4,x2=2,x3=0,S3=14，即X(3)=(4，2，0，0，0)T，S3=14>S2=12因为在选主行时最小比值同时有两个，故所得此解是一个退化解（即基本变量中有零元素）。由于表中检验行中的元素全部为正，所以X（3）就是所求的最优解．去掉其中的松弛变量x3、x4、x5得原来问题的最优解X*=(4,2)TS*＝2

4+3

2=14．即生产P1产品4个单位，生产P2产品2个单位，可获得利润14个单位单纯形法的计算步骤归纳确定初始基、初始基本可行解最优性检验确定主列确定主行确定主元素进行迭代（即施以初等行变换）再检验，重复以上步骤直至取得最优解1.确定初始基、初始基本可行解：引入松弛变量化线性规划问题为标准形式，取对应于松弛变量的单位矩阵为基，令非基本变量为0，基本变量就是各约束常数，得到一个初始基本可行解2.最优性检验：如果检验行中（除了最后一个元素外）各元素都≥0，则已求得问题的最优解，若检验行中有负数，则进行下一步。3.确定主列，取检验行中绝对值最大的负数所在的列为主列，主列所对应的非基本变量要进入基，称为进入变量主列4.确定主行：在主列中用每一个正元素去除常数列中相应行的元素，择其中比值最小者所在的行为主行，在主行中系数为1的原基本变量要退出基，称为退出变量主行5.确定主元素：位于主行、主列交叉处的元素称为主元素，简称主元进行迭代（即施以初等行变换）：第一，将主行中各数除以主元，将主元化为1第二，其它各行（包括检验行）加上或减去主元行的适当倍数，将主列中其它的数化为零。从而得到新的单纯形表和新的基本可行解。7.再检验，重复以上步骤直至取得最优解最优解单纯形方法运用中应注意5点：在确定主列时，检验行中绝对值最大的负数有两个或多个相同时，一般说来，这时可以任选其中一个以确定主列。在确定主行时，也可能出现最小比值不止一个的情况，这时一般说来同样可以在它们中任选一行作为主行，不过在这种情况下，得到的解将是退化解（即基本变量中有零元素）。在主列中若没有一个元素是正的，则可证明原问题有无界解．当目标函数为求最大值时，化最大为最小，而后将目标函数中的系数填到单纯形表的检验行上，经迭代后，即可从表上直接得到最优值S。当目标函数为求最小值时，则直接将目标函数中的系数填到单纯形表的检验行上，经迭代后，取表上S值的相反数，即为最优值．习题用单纯形法解线性规划问题maxS=3x1+x2+3x3s.t.2x1+x2+x3≤2x1+2x2+3x3≤52x1+2x2+x3≤6x1,x2,x3≥0规划求解简介规划求解是数学中的优化问题，它通过改变多个输入单元格求出最优解，同时保证工作表中的其他公式保持在设置的极限之内。用Excel进行规划求解规划求解一般用于解决以下问题：产品比例，给定生产产品的有限资源，求在产品上的最大回报。人员调度，用最小成本使职工水平达到公司指定的满意水平。优化线路，在制造地和销售地之间求最小运输成本。调配材料，用最小成本调配材料达到指定的质量水平。

最适合规划求解的问题有以下三个特征：问题有单一目标，例如求最大利润或最小时间。问题有用不等式给定的约束条件，如使用材料不能超过库存。问题有直接或间接地同时影响约束条件和优化值的输入值。关于规划求解的说明1安装【规划求解】如果单击【工具】菜单找不到【规划求解】选项，那么应该安装规划求解，安装的方法是：选择【工具】菜单中的【加载宏】选项。在【加载宏】对话框中选择SolverAdd－in复选框。单击【确定】按钮。2．关于约束条件的说明在使用规划求解的过程中，可以对可变单元格的数值应用约束条件，且约束条件可以引用其他影响目标单元格公式的单元格。如果在规划求解问题中设置约束条件，则可以将约束条件应用于可变单元格、目标单元格及其他与目标单元格直接或间接有关的单元格，这取决于实际问题的需要。使用规划求解，设置的目标单元格一定要包含公式。规划求解的使用：例题：某厂家生产产品A和B。产品A的产量不超过4000，产品B的产量不超过4000；两种产品产量之和不超过7000。产品A的单件利润为200元，每多生产100件，单件利润增加2元。产品B的单件利润为190元，每多生产100件单件利润增加3元。现在进行规划求解，求出产品A和产品B产量的最佳方案，使总利润最大化。线性规划求解

4.5化工过程中的非线性规划问题4.5.1无约束条件最优化问题的经典来解方法对于一个函数F(x1,x2,

,xn)，如果其所有的一阶导数都存在，则函数F(x1,x2,

,xn)的极小值的必要条件为：对于满足以上方程的点成为极小值的充分条件是在这个点上所有二阶偏均存在，而且其赫森矩阵为正定。

函数f(X）的赫森矩阵H定义为：如何知道H是否为正定？可定义行列式为：这样得到一组数值这称为{D1,D2,

,Dn},H矩阵的主子式。如果所有的Di＞0（i＝l,2，…，n)则赫森矩阵H为正定根据函数存在极小值的充分必要条件，将无约束最优化问题的求解，转化为求右面一组非线性方程的求解：

其中满足的点，就是方程组的解。

这种经典方法存在以下缺点：复杂问题，非线性方程组求解相当困难;由于满足极小，而不是最小，所以找到的解可能是局部极值，而不是全局最优值。只能用于导数连续的场合，当导数不连续时不能使用。而导数不连续之处，可能正好是最小值或最大值所在之处。4.5.2有约束条件最优化问题的经典求解方法拉格朗日乘子法罚函数法1.拉格朗日乘子法已知目标函数f（x1，x2，…，xn）服从等式约束条件：

ej（x1，x2，，xn）=0(j=1，2，…，m)引入拉格朗日函数

（x,）可以将这个有约束的最优化问题，转化成无约束的最优化问题：式中

称为拉格朗日乘子根据无约束最优化问题的求解方法，只要式中的函数f和约束ej的一阶偏导数在所有各点均存在，则只要求解下列非线性方程组，就可得到最优解X*和*：以上共n＋m个方程，可解出x1*,x2*,…,xn*及

1*,

2*,…,

m*未知数。例4-6有一个烃类催化反应器。烃类进行压缩并和蒸汽先充分混合后进入反应器。反应后的产物和未反应的原料通过蒸馏进行分离，使未反应的原料再循环使用。设原料加压所需的费用为每年1000p元，将原料和蒸汽混合并送入反应器的输送费用为每年4109/PR元，其中p为操作压力，R为循环比。又设分离器将产物分离所需费用为每年105R元，未反应的原料进行再循环和压缩的费用每年为1.5105R元。每年的产量107kg。

(a)试求最优的操作压力p和循环比R，使每年总费用为最小。

(b）若要求的P和R乘积为9000MPa，试求最优的P和R。(a)解:这是一个无约束最优化问题，目标函数为：对p和R求导数，并令其为零，得到：由此解得：p=1000,R=4

代入目标函数得每年得费用为：J=3

106元验证此解是否为极小值：将J对P和R求二阶导数，在（1000，4）的点为：此矩阵为正定矩阵，因此这一点为极小点φ对p和R求导数，并令其为零，得求解三个方程得到P=1500R=6=117.3同样可以证明赫森矩阵为正定，因而此点为极小点2.罚函数法利用罚函数法求解有约束最优化问题的基本思想是通过一个惩罚因子把约束条件连接到目标函数上去，从而将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的问题。新的目标函数具有如下性质：当搜索到不可行点时，附加一个约束惩罚项，会使目标函数变得很大，而且离约束条件愈远惩罚就愈大。已知目标函数f（x1，x2，…，xn）服从等式约束条件：

gj（x1，x2，…，xn）=0j=1,2,…,m引入惩罚因子kj将目标函数f转换成带罚函数的目标函数F（x）：

F（x）=f（x1，x2，…，xn）+

kj[gj（x1，x2，…，xn）]2

这样有约束的最优化问题就被转化为无约束的最优化问题，可以用上面的方法进行求解。

F（x）=f（x1，x2，…，xn）+

kj[gj（x1，x2，…，xn）]2

（1）当kj为很大的正数时，只要x违反了约束条件，则惩罚项就会变成一个很大的正值，从而使利F(x)离最小值更远。而且x对约束条件偏离愈大，惩罚也就愈大。（2）所求的F(x）最小值会因kj值的不同而不同。kj值愈大，则惩罚项的权也增加，偏离约束的可能愈小。当

kj

时，则只有gj(x)=0时才能使F(x)达到最小值，这时的解就是f(x)的解。例题4-7已知目标函数为f(x)=x12+4x22,等式约束条件为：x1+x2-5=0

解：建立带有罚函数的目标函数：当k

，若要使上式成立，可得x2

1，从而得到最优解x2*=1，x1*=4目标函数f(x)=42+4

12=20习题1：用惩罚函数法解例题4-6习题2：用拉格朗日乘子法解例题4-7

智能模型—人工神经网络

ArtificialNeuralNetwork1943年心理学家M.McCulloch和数学家W.H.Pitts首先提出了简单神经元M-P模型，开创了神经科学研究的时代。1958年Rosenblatt[1]的感知器(Perceptron)是最早的神经网络模型。1959年Widdrow和Hiff开发了一种叫自适应线性单元(ADALINE)的网络模型，成为第一个用于实际问题的神经网络。掀起了神经网络的第一次高潮。1969年，Minsky和Papert出版“Perseptron”一书中，证明了感知器不能实现复杂逻辑的判断功能使得神经网络的研究一度趋于低潮。1982年，加州技术学院的物理学家JohnJ.Hopfield博士发表了一篇十分重要的文章，他所提出的Hopfield网络，有意义的是它的网络很容易用集成电路来实现，在1984年、1986年Hopfield连续发表了有关他的网络应用的文章，他的文章得到了重视和理解。掀起了各学科关心神经网络的一个热潮。5.1人工神经网络的处理单元及结构人工神经网络(ANN)，又称为“神经网”(NeuralNet)，是源于人工智能的一种计算机工具。人工神经元是神经网络的基本处理单元(缩写为PE)，也可以称其为节点。如下图就是简化的神经元结构。人工神经元

它是一多输入、单输出的非线性元件，其输入、输出关系可描述为：其中xi(j=1,2,…,n)是从其它细胞传来的输入信号，θj为阈值，wji表示从神经元j到神经元i的连接权值，f()称为传递函数。人工神经网络

输入层隐含层隐含层输出层非线性函数是Sigmoid函数训练和学习阶段—通过不断调节节点之间的相互连接权重，直至特定的输入产生特定的输出。最为广泛的为反向传播算法(BP法)；回响阶段—向人工神经元网络输入一系列已在训练阶段使用过的输入模式，调整系统使之更可靠、更健壮：预测阶段—向神经网络输入新的模式，希望系统能进行正常工作。为运行人工神经网络，必须经过三个阶段：5.2.人工神经网络模型及BP算法BP法是一种深入的数值方法，有许多不同的方法来进行反向传播教会人工神经网络如何作出反应。基本上，几乎所有的BP法都要进行以下步骤：(1)送入一特定的输入，测定其实际输出。(2)将实际输出与期望输出值进行比较，根据输入—输出分析计算定量差。(3)通过反复调整节点间的连接权重，使误差(或均方根误差)达到最小。

(a)由输出节点开始，调整其权重。

(b)“反向”传播至与输出层相邻的一层，计算那一层的误差并调整其权重。

(c)继续这一反向传播过程(由网络的输出端向输入端)直至计算无误差，并且所有权重均被调整为止。反向传播(BP)采用的是并行式网络结构，它包括输入层、隐含层和输出层。如图所示，输入层有N+1个神经元，对应于N个输入值和一个偏值(bias)，隐含层M+1个节点，其中也有一个偏值，输出层有L个神经元。

假设第k(k=1,2,…,P)个实验样本的第i个输入参数为xik，隐含层第h个节点输出值为yhk，输出层第j个节点输出值为zjk,每一节点的输入与输出值通过非线型的Sigmoid函数变换。如果输入层与隐含层之间的权值为whi，隐含层与输出层之间的权值为wjh，则各节点的输出按下式计算：

h=1,2,…,Mj=1,2,…,L

(2-6)式中，θh和θj分别是，隐含层与输出层各节点的内部阈值。在输入层和隐含层之间各设一个神经元bias，即第0个节点，取它的指定输出值为1.0，对于隐含层，令θh=wj0x0k(xk0=1.0)，则式(2-6)中的自变量部分可表示成：

对于输出层也可作类似处理，于是输出式可改写为：h=1,2,…,Mj=1,2,…,L数学形式上不含阈值θ，它们已经隐含在相应的权值里，并且与其它权值一样可以在迭代过程中予以优化。如果在[-1,1]区间给权重whi和wjh随机赋值，那么对每一个输入模式P，网络的总平均误差E：式中：P为送入输入层的训练模式数；L为输出层的处理单元数：djk为第k个训练模式在第j个处理单元上的期望输出值；zjk为第k个训练模式在第j个处理单元上的实际输出值上式也可写为：由于转移函数是连续可微的，显然上式是每个加权的连续可微函数，反过来，为了使误差函数最小，用梯度下降法求得优化的权值，该权值总是从输出层开始修正，然后修正前层权值。从这一层意思讲有反传的含义。根据梯度下降法，由隐蔽层至输出层的连续加权调节量为：η为学习速率，δjk定义为输出节点的误差信号：

对数Sigmoid型压缩函数为：由输入到隐蔽层的加权修正量可用分层链导法求得：

其中η为学习速率，定义为隐含节点的误差信号。Rumelnart,Hinton和Williams于1986年提出一种改善BP训练时间的方法，称为动量法。同时保证了过程的稳定性。该方法是为每个加权调节量上加一项正比于前次加权变化的值。这就要求每次调节完后，要把调节量记住，以便在下面的加权调节使用。从隐含层到输出层附加有冲量项的加权调节公式为：

计算权重：

从输出到输入层附加有冲量项的加权调节公式：

计算新的权重5.3BP训练算法实现步骤

BP训练步骤如下：(1)在[-1,1]区间内给权重wjh和whi随机赋值，并设定训练允许误差ε(ε>0)。(2)计算隐含层及输出层的输出，依次正向进行：隐含层输出层(3)对于送入输入层的P个训练模式继续步骤(1)-步骤(2)，根据下式计算总的平均平方误差E：(4)开始网络的反向传播：从输出开始反向转移到输入，根据下式，计算输出层每一节点的梯度下降项：(5)继续反向传播：转到隐含层，根据下式，计算隐含层相对于每一个δjk的每一节点的梯度下降项：(6)已知隐含层的δhk输出层的δjh，用下式计算权重变化：(7)已知权重变化，根据下式计算权重：对所有的训练模式，重复步骤(2)-步骤(7)，直至平方误差为0或充分小为止。

遗传算法

遗传算法（GA）是模拟自然选择和遗传的随机搜索算法。密执安大学约翰·郝兰德（JohnHolland）最早提出这一算法，其最初目的是研究自然系统的自适应行为并设计具有自适应功能的软件系统。近来，遗传算法作为问题求解和最优化的有效工具，引起越来越多的注意。遗传算法是一种迭代算法。它在每一次迭代时都拥有一组解答。这组解答最初是随机生成的。在每次迭代时又有一组新的解答由模拟进化和遗传操作生成。每个解答都由一个目标函数给予评价，重复这一过程，直至收敛。新的一组解答不但可以有选择地保留一些目标函数值高的旧的解答，而且可以包括一些经由其它解答结合而得的新的解答。遗传算法的术语

遗传算法的术语借鉴于自然遗传学:一个解称为一个符号串或染色体染色体由决定其特性的基因构成基因有称为等位基因的不同取值目标函数称为适度函数一组染色体称为群体遗传算法的一次迭代称为一代遗传算法包括如下组成部分：

一个对参数空间编码的符号串表示；一个评价符号串的适度函数；一组产生成新的符号串的遗传操作；一组控制遗传操作的概率值。

典型的遗传算法步骤有：（1）初始化随机生成一个符号串群体。（2）基于适度函数对符号串进行评价。（3）应用一组遗传操作生成一个新的符号串群体。（4）重复步骤（2）和（3）直到解答收敛。6.1简单遗传操作遗传操作通过模拟进化和继承过程而生成符号串（新的或旧的）。繁殖、交叉和突变是三个简单遗传操作，它们在实际应用中给出了很好的结果。6.1.1繁殖在大自然中，生命力最强的物种征服弱小的物种以确保其生存。运用这一适者生存的法则，繁殖操作在旧的群体中“随机”选择符号串生成一个新的群体。选择并不是完全随机的，它基于一个符号串相对于整个群体的适度值。假定一个群体有6个符号串，而且它们的适度值如下：注意，一个群体中的每个符号串不必是唯一的。fi/Σfi被视为符号串fi在下一代中存活的概率。这意味着具有较高适度值的符号串会有较大的存活机会。另外，在整个算法运行过程中，一个群体的符号串数目是一个常数。繁殖操作生成的是一个同样大小的群体。这意味着适度值较大的符号串最终会在群体中成为多数。实现上述选择过程的一种方法是偏置轮盘。每个符号串在轮盘上占有一格，而格的大小则与符号串的适度值成正比。在选择一个新的符号串时，先转动轮盘，待轮盘停下，落在标记处的格所对应的符号串被选中。轮盘转动6次生成一代新的群体，且符号串的期望组合为基于期望次数，新的群体可能是｛A，A，A，B，C，C｝。很明显，如果繁殖操作被重复运用，适度值较高的符号串最终会在整个群体中占据主导地位。由于繁殖操作并不生成新的符号串，我们需要其它操作以探究新的解答。5.1.2交叉交叉操作利用了来自不同符号串的基因经由交配而混合，以产生新符号串的概念。由于基因表达了符号串的特性，如果不同符号串的“好的”特性得以结合，所得符号串可能会有更好的特性。

假定一个符号串的基因被排成一条直线则两个符号串的交叉可按如下步骤进行：（1）随机选择一个将每个符号串断开为两部分的点（截点）。（2）交换符号串的后一部分。两个具有其父母双方基因成分的符号串由此生成。这一交叉操作是交换信息、生成新解的简单而有效的方法。需要注意的是，如果整个群体只有一种符号串，交叉操作不会生成任何新的符号串。可以利用突变操作来避免这种情况的发生。6.1.3突变随机选取符号串中的一个基因，将其改变为一个不同的等位基因以生成一个新的符号串见图。它将可变性引入群体，从而提供逃脱局部最小值的手段。一个仅应用突变操作的算法等同于随机搜索。

因为突变操作可以有很强的破坏性，并非总要用到它，而是由一个突变概率（Pm）来控制。与此类似的，交叉操作的运用也由交叉概率（Pc）来控制。一个简单的遗传算法可归纳如下：（1）生成一个具有m个符号串的起始群体。（2）重复步骤（3）直至解答的适度值收敛。（3）生成一个新的m个符号串群体。步骤如下：①应用繁殖操作两次，亦即用轮盘选出两个符号串。②如果Pc＞rand［0，l］，则应用交叉操作于这一对符号串。③如果Pm＞rand［0，1]，则应用突变操作于这一对符号串。

④将生成的两个符号串加入新的群体。示例1:以求解下列函数的最大值为例。图给出了函数f(x)在变量x取值[-2，2]时的曲线。f的最大值1.501564对应于

x=-0.507179。在运用遗传算法求解f的最大值时，可以将x（[2，-2]）的值用一个二近制数表达。一个16位的二进制数提供的分辨率是每位(2-(-2))/(216-1)=0.000061。下式将变量域[2，-2]离散化为二进制数[0，65535]。其中b是[0，65535]中的一个二进制数。例如：0.93596在运用遗传算法求解例题给出的函数的最大值时，用到了繁殖、交叉和突变等三个遗传操作。

繁殖操作由上节给出的偏置轮盘实现。交叉操作将两个二值向量混合在一起，并生成两个新的二值向量。在这里我们采用最简单的交叉形式，即随机选取两相邻位之间作为截点，交换两向量在截点后的尾部以获取两个新的向量。

例如，若选取截点如下（以||表示）：则两个新的二进制量为：突变操作十分直截了当。给定一个二进制向量，随机选取一位并将其反置即可。例如，若

1中带下划线的一位被选中，则突变后的新向量为

1´

在求解中用到了下列参数：群体大小=30；交叉概率=0.3；突变概率=0.01。从不同的起始群体出发，运用遗传算法100次。算法找到最优解的成功率为80％。图给出了一次成功运用的收敛过程。注意，经过400次选代，一个群体大小为30的遗传算法在终止时已经评价了400

30个二进制值向量（有些向量会重复出现）。例题2二元函数

此函数有无限个局部极大点，其中只有一个(0,0)为全局最大，最大值为1。自变量的取值范围为-100<x,y<100。此函数最大值峰周围有一个圈脊，它们取值均为0.992083，因此很容易停滞在此局部极大点。但是只要达到一定的迭代次数最终结果会达到>0.9999。其模拟结果如表所示。

换热网络合成7.1换热网络的作用和意义换热是化工生产不可缺少的单元操作过程。对于一个含有换热物流的工艺流程，将其中的换热物流提取出来，就组成了换热网络系统，其中被加热的物流称为冷物流，被冷却的物流称为热物流。图7-1所示的乙烯裂解气甲烷化流程，把氢气进料加热到310℃，以便在反应器中进行反应。出反应器的物流先与进反应器的物流换热，以便回收热量，然后继续冷却，以完成气、液相的分离。换热网络的消耗代价来自三个方面：换热单元（设备）数；传热面积；公用工程消耗。换热网络合成追求的目标，是使这三方面的消耗都为最小值。实际生产装置很难达到这一目标。通常，最小公用工程消耗意味着较多的换热单元数，而较少的换热单元数又需要较大的换热面积。实际进行换热网络设计时，需要在某方面做出牺牲，以获得一个折衷的方案。7.2换热网络合成问题7.2.1换热网络合成问题的描述一组需要冷却的热物流H和一组需要加热的冷物流C；每条物流的热容流率FCp；热物流从初始温度TH初冷却到目标TH终；冷物流从初始温度TC初加热到目标温度TC终。通过确定物流间的匹配关系，使所有的物流均达到它们的目标温度，同时使装置成本、公用工程消耗成本最少。7.2.2换热网络合成的研究主要经历（1）Hohmann的开创性工作的意义在于从理论上导出了换热网络的两个理想状：在温焓图上进行过程物流的热复合，找到了换热网络的能量最优解，即最小公用消耗。提出了换热网络最少换热单元数的计算公式。从而为换热网络设计指明了方向。(2）Linnhoff和Flower在Hohmann的基础上，从方法上提出分两步走。第一步是合成能量最优的换热网络。从热力学的角度出发，划分温度区间和进行热平衡计算。通过简单的代数运算找到能量最优解，这就是著名的温度区间法。第二步是对能量最优解进行调优。通过一些调优法则，在少增加或不增加公用工程消耗的情况下，减少系统的换热单元数，使网络设计向操作和投资总费用最小的方向调整。（3）夹点（PinchPoint也译为狭点，窄点）概念以及夹点设计法的建立。Linnhoff继温度区间法之后提出了夹点的概念，最后发展了一套夹点设计法。（4）人工智能方法的建立。从20世纪80年代起，随着人工智能研究的发展，人工智能技术也被应用到换热网络合成领域，如专家系统模型，神经网络模型、遗传算法模型等。7.3换热网络合成---夹点技术

节能工作的发展经历了这样几个过程：第一阶段，属于捡浮财的阶段，主要表现在回收余热，但在此阶段所着眼的只是单个的余热流，而不是整个的热回收系统；第二阶段，考虑单个设备的节能，例如将蒸发设备从双效改为三效，采用热泵装置，减少精馏塔的回流比，强化换热器的传热，等等；第三阶段，也就是现在所处的阶段，考虑过程系统节能，这是由于八十年代以来过程系统工程学的发展，使人们认识到，要把一个过程工业的工厂设计得能耗最小、费用最小和环境污染最少，就必须把整个系统集成起来作为一个有机结合的整体来看待，达到整体设计最优化。因此，九十年代是过程系统节能的时代。夹点技术已成功地应用在2500多个项目中，在世界范围内取得了显著的节能效果。采用这种技术对新厂设计而言，比传统方法可节能30％～50％，节省投资10％左右；对老厂改造而言，通常可节能20％～35％，改造投资的回收年限一般只有0.5～3年。7.4夹点的形成及其意义7.4.1温-焓图和复合曲线温-焓图以温度T为纵轴，以热焓H为横轴。热物流线的走向是从高温向低温，冷物流线的走向是从低温向高温。物流的热量用横坐标两点之间的距离（即焓差

H）表示，因此物流线左右平移，并不影响其物流的温位和热量。当一股物流吸入或放出dQ热量时，其温度发生dT的变化，则dQ=FCp·dT

式中，FCp为热容流率，单位为kw／ºC。热容流率是质量流率与定压比热的乘积。

如果把一股物流从供给温度Ts加热或冷却至目标温度TT，则所传的总热量为:若热容流率FCp可作为常数，则

Q=FCp（TT-TS）=H这样就可以用温-焓图上的一条直线表示一股热流被冷却或一股冷流被加热的过程。FCp值越大，T－H图上的线越平缓。THTSTTQTHTTTSQ（a）一股热流被冷却（b）一股冷流被加热

在过程工业的生产系统中，通常总是有若干冷物流需要被加热，而又有另外若干热物流需要被冷却。对于多股热流，将它们合并成一根热复合曲线；对于多股冷流，将它们合并成一根冷复合曲线。下图表示了如何在温-焓图上把三股热流合并成一根复合曲线。设有三股热流，其热容流率分别为A、B、C（kw/℃），其温位分别为（T1

T3）、（T2

T4）、（T2

T5），在T1到T2温度区间，只有一股热流提供热量，热量值为（T1-T2）B=

H1，所以这段曲线的斜率等于曲线B的斜率；在T2到T3的温区内，有三股热流提供热量，总热量值为(T2-T3)(A＋B＋C)=

H2，于是这段复合曲线要改变斜率，即两个端点的纵坐标不变，而在横轴上的距离等于原来三股流在横轴上的距离的叠加。即，在每一个温区的总热量可表示为：照此方法，就可形成每个温区的线段，使原来的三条曲线合成一条复合曲线，如图所示。以同样的方法，也可将多股冷流在温-焓图上合并成一根冷复合曲线。7.2.4夹点的形成当有多股热流和多股冷流进行换热时，可将所有的热流合并成一根热复合曲线，所有的冷流合并成一根冷复合曲线，然后将两者一起表示在温-焓图上。在温-焓图上，冷、热复合曲线的相对位置有三种不同的情况，如下图所示。(a)全部冷流Ⅱ由加热公用工程加热，全部热流Ⅰ由冷却公用工程冷却，过程中的热量全部没有回收。此时，加热公用工程所提供的热量QH和冷却公用工程所提供的冷却量QC为最大。(b)将冷复合曲线II平行左移，则热流所放出的一部分热量可以用来加热冷流，所以加热公用工程所提供的热量QH和冷却公用工程所提供的冷却量QC均相应减少。但此时由于是以最高温度的热流加热最低温度的冷流，传热温差很大，可回收利用的余热QR也有限。(C)如果继续将冷复合曲线II向左推移至如图所示，使热复合曲线I和冷复合曲线II在某点几乎重合，此时，加热公用工程所提供的热量QH和冷却公用工程所提供的冷却量QC均达到最小，所回收的热量QR达到最大。冷、热复合曲线在某点重合时是该系统内部换热的极限，重合即该点的传热温差为零，该点即为夹点。但是，在夹点温差为零下操作需要无限大的传热面积，既不现实，也不经济。不过，可以通过技术经济评价而确定一个系统最小的传热温差——夹点温差。因此，夹点可定义为冷热复合温焓线上传热温差最小的地方。确定了夹点温差之后的冷热复合曲线图如图所示。图中，冷、热曲线的重叠部分ABCEFG，即阴影部分，为过程内部冷、热流体的换热区，包括多股热流和多股冷流，物流的焓变全部通过换热器来实现；冷复合曲线上端剩余部分GH，已没有合适的热流与之换热，需用公用工程加热器使这部分冷流升高到目标温度，GH为在该夹点温差下所需的最小加热公用工程量QHmin；热复合曲线下端剩余部分CD，已没有合适的冷流与之换热，需用公用工程冷却器使这部分热流降低到目标温度，CD为在该夹点温差下所需的最小冷却公用工程量QCmin。7.4.3问题表法当物流较多时，采用复合温焓线很繁琐，且不够准确，此时常采用问题表来精确计算。问题表法的步骤如下：

(1)以冷、热流体的平均温度为标尺，划分温度区间。冷、热流体的平均温度:相对热流体，下降1/2个夹点温差（Tmin/2）；相对冷流体，上升1/2个夹点温差（Tmin/2）。这样可保证在每个温区内热物流比冷物流高Tmin,而满足了传热的需要。

(2)计算每个温区内的热平衡，以确定各温区所需的加热量和冷却量，计算式为:

Hi=(FCPC-FCPH)(Ti-Ti+1)式中

Hi为第i区间所需外加热量，kw；FCPC，FCPH

，分别为该温区内冷、热物流热容流率之和，kW／ºC；Ti，Ti+1分别为该温区的进、出口温度。

(3)进行热级联计算:计算外界无热量输入时各温区之间的热通量。各温区之间可进行自高向低的热流流通，但不能有逆向热流流通。为保证各温区之间的热通量＞0，根据第一步级联计算结果，确定所需外界加入的最小热量，即最小加热公用工程用量，而由最后一个温区流出的热量，就是最小冷却公用工程用量。计算外界输入最小加热公用工程量时各温区之间的热通量。(4)温区之间热通量为零处，即为夹点。例题7-1某一换热系统的工艺物流为两股热流和两股冷流，其物流参数如表所示。取冷、热流体之间最小传热温差为10℃。现用问题表法确定该换热系统的夹点位置以及最小加热公用工程量和最小冷却公用工程量。CP=FCP步骤一划分温区（1）分别将所有热流和所有冷流的进、出口温度从小到大排列起来：热流体：30，60，150，170

冷流体：20，80，135，140

热流体：30，60，150，170

冷流体：20，80，135，140（2）计算冷热流体的平均温度，即将热流体温度下降

Tmin/2，将冷流体温度上升上

Tmin/2

热流体：25，55，145，165

冷流体：25，85，140，145（3）将所有冷热流体的平均温度从小到大排列起来：冷热流体：25，55，85，140，145，165冷流加热热流冷却（4）划分温区：整个系统可以划分为五个温区，它们分别为第一温区165

145第二温区145

140第三温区140

85第四温区85

55第五温区55

25步骤二温区内热平衡计算，用公式

Hi=(FCPC-FCPH)(Ti-Ti+1)

FCPC，FCPH

，分别为该温区内冷、热物流热容流率之和，kW／ºC；

结果命名为“亏缺热量”列于表第三列：第一温区：

H1=-3.0(165-145)=-60第二温区：

H2=（4.0-3.0-1.5）(145-140)=-2.5第三温区：

H3=（4.0+2-3.0-1.5）(140-85)=82.5第四温区：

H4=（2.0-3.0-1.5）(85-55)=-75第五温区：

H5=（2.0-1.5）(55-25)=15亏缺热量

Hi为负值表示该温区有剩余热量。CP=4,2,1.5,3步骤三计算外界无热量输入时各温区之间的热通量，命名为“累积热量”，此时，每一温区的输入热量等于上一温区的输出热量，每一温区的输出热量等于本温区的输入热量减去本温区的亏缺热

Hi

，计算结果列于问题表第四列：第一温区：输入热量=0(因外界无热量输入),输出热量=0＋60=60第二温区：输入热量=60，输出热量=60＋2.5=62.5第三温区：输入热量=62.5，输出热量=62.5-82.5=-20第四温区：输入热量=-20，输出热量=-20＋75=55第五温区：输入热量=55，输出热量=55-15=40步骤四确定最小加热公用工程用量。从步骤三的计算中可以看到，当外界无热量输入时，温区三向温区四输出的热量为负值，这意味着温区四向温区三提供热量，在热力学上是不合理的。为消除这种不合理现象，使各温区之间的热通量＞0，就必须从外界输入热量，使原来的负值至少变为零，因此得到最小加热公用工程量为20kW。

步骤五计算外界输入最小加热公用工程量时各温区之间的热通量。换热网络所需的最小加热量可从第三温区以上的任何温区中输入，本例假定该热量从温区一输入。计算方法同步骤三的完全相同计算结果形成问题表的最后一列——热通量。第一温区：输入热量=20，输出热量=20＋60=80第二温区：输入热量=80，输出热量=80＋2.5=82.5第三温区：输入热量=82.5，输出热量=82.5-82.5=0第四温区：输入热量=0，输出热量=0＋75=75第五温区：输入热量=75，输出热量=75-15=60由最后温区输出的热量60kW即为最小冷却公用工程用量步骤六确定夹点位置。温区三和温区四之间热通量为零，此处就是夹点，即夹点在平均温度85℃(热流温度90℃,冷流温度80℃)处。7.4.4夹点的意义

由上面的分析可知，夹点是冷热复合温焓线中传热温差最小的地方，此处热通量为零。

夹点将换热网络分成两部分：夹点之上和夹点之下：夹点之上是热端，只有换热和加热公用工程，没有任何热量流出，可看成是一个热阱；夹点之下是冷端，只有换热和冷却公用工程，没有任何热量流入，可看成是一个热源；在夹点处，热流量为零，如图所示。如果在夹点之上热阱子系统上设置冷却器，用冷却公用工程移走部分热量，其量为

，根据夹点之上子系统热平衡可知，

这部分热量必然要由加热公用工程额外输入，结果加热和冷却公用工程量均增加了