二次函数的应用（解析版）2021年中考数学

2021年中考数学一轮复习过关训练汇编

专题13二次函数的应用

一、选择题

1.二次函数夕=。》2+以+。(a*0)的图象如图所示，对称轴为x=l,下列结论中：①abc>0；②2a+6=0；

③从一4ac>0；④。-b+c>0；⑤34+cV0.正确的个数是().

【答案】B

【分析】

①根据抛物线开口向下可得。<0,对称轴在y轴右侧，得6>0,抛物线与y轴正半轴相交，得c>0,进而

即可判断；

b

②根据抛物线对称轴是直线x=l，即-丁=1,可得6=-2a,进而可以判断；

2a

③根据抛物线与x轴有两个交点可得结论；

④当x=T时，y<0,即a-b+cVO,即可判断；

⑤根据6=-2。，可得3a+c<0,即可判断.

【详解】

解：①根据抛物线开口向下可知：

因为对称轴在V轴右侧，

所以6>0,

因为抛物线与V轴正半轴相交,

所以c>0,

所以abc<0,

所以①错误；

②因为抛物线对称轴是直线X=\,

HP---=1,

2a

所以b=-2a,

所以8+2用0,

所以②正确；

③由抛物线与x轴有两个交点

勖2—4。。>0

故③正确；

④当x=-l时，y<0,即q-b+c<0,

故④错误；

⑤因为抛物线对称轴是直线x=l,

所以b=・2a,

当x=-l时，yVO,即Q-b+cVO,

03a+c<O

故⑤正确，

团正确的有：②③⑤共3个，

故选：B

【点睛】

本题考查了：次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质.

2.二次函数y=2f+3x+l的图象与x轴交点的个数为（）

40个8.1个C.2个D.1个或2个

【答案】C

【分析】

根据二次函数与一元二次方程的关系，当产0时，判断方程2x2+3x+l=0的根的情况即可.

【详解】

解：@fe2-4ac=32-4x2xl=l>0,

回二次函数y=Z，+3x+1的图象与x轴有两个不同交点，

故选：c.

【点睛】

考查二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式判断当y=0时一元二次方程的根的个数是解决问题

的关键.

3.根据下列表格的对应值：

X00.511.52

x~+12x—15-15-8.75-25.2513

判断方程f+i2x_15=0一个解的取值范围是（）

A.0<x<0.5B.0.5<%<1

C.1<x<1.5D.1.5<x<2

【答案】C

【分析】

根据估算一元二次方程的近似解的方法：由于x=l时，X2+12X-15=-2；X=L5时，x2+12x-15=5.25.

则在1和1.5之间有一个值能使X2+12X-15的值为0,于是可判断方程X2+12X-15=0一个解x的范围

为

【详解】

解：回x=l时，X2+12X-15=-2.

x=1.5时，/+1215=5.25，

团方程V+12X-15=0一个解x的范围为

故选：C.

【点睛】

本题考查了估算一元二次方程的近似解，掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键.

4.如图是二次函数y=62+以+或。彳0）的部分图象，使成立的X的取值范围是（）

y,

A.x>—1B.x<-\C.-l<x<3D.xW-1或xN3

【答案】C

【分析】

观察函数图象在尸-1上和上方部分的x的取值范围便可.

【详解】

解：由函数图象可知，当时■，二次函数y=⑪2+法+”。工0)不在y=-l下方部分的自变量x满足：-1女£3,

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键.

；，结合图象分析

5.如图，抛物线y=aN+6x+c(-0)与x轴交于点(-3,0),其对称轴为直线工=

下列结论:

①abc>0；

②3a+c、>0：

③当x<0时，y随x的增大而增大;

④吐4"cvo；

4a

⑤若〃(m<n)为方程。(x+3)(x-2)+3=0的两个根，则加V-3且〃>2.

其中正确的结论有(

A.5个8.4个C.3个D2个

【答案】B

【分析】

根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应。、Ac之间的关系，进行综合

判断即可.

【详解】

解：由抛物线y="2+bx+c（30）与x轴交于点（-3,0）,其对称轴为直线x=-g可得，

9a-3/?+c=0,--=-—,即a=6,与x轴的另一个交点为（2,0）,4a+2b+c=0,

2a2

抛物线开口向下，a<0，b<0,

抛物线与y轴交于正半轴，因此c>0,

所以，ahc>0,因此①正确；

由9。-3b+c=0,而a=b,

所以6a+c=0,又a<0,

因此3a+c>0,所以②正确；

抛物线的对称轴为x=-g,“V0,因此当'时，'随x的增大而增大，

所以③不正确；

由于抛物线的顶点在第二象限，所以土”也>0,因此8二处<0,故④正确；

4a4a

抛物线与X轴的交点为（-3,0）（2,0）,

因此当y=-3时，相应的x的值应在（-3,0）的左侧和（2,0）的右侧，

因此加<-3,n>2,所以⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①②④⑤，

故选：B.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，从图象中获取有效信息是解答

的关键.

二、填空题

6.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，一边与这条边上的高之和为40cm,则这个三角形

的最大面积是cm2.

【答案】200

【分析】

表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答.

【详解】

解:设边长为xcm,则边上的高为(40-x)cm,

II,

三角形的面积=5(40-%卜=一5(%—20)一+200,

1

四一<0,

2

取=20时，三角形的面积有最大值为200,

故答案为：200.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值问题，主要利用「三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解

题的关键.

7.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=R+x-2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴

对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为.

【答案】尸-x2+x+2

【分析】

根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案.

【详解】

解：先将抛物线y=/+x-2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为y=-/-x+2；再将所得的抛物线y

=-/一x+2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为、=-『+x+2.

故答案为：y=-N+x+2.

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴、y对称的点的坐标特点是解答此题的关键.

8.抛物线y="2+bx+c的部分图象如图，则当y>3时，x的取值范围是.

【答案】0<x<2

【分析】

根据抛物线与y轴的交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象

即可求得结论.

【详解】

解：回抛物线？=。小+法+。（”（J）与y轴的交点坐标为（0,3）,对称轴为x=-1,

回点（0,3）关于对称轴的对称点为（2,3）,

由图象可知，当y>3时，x的取值范围是0VxV2.

故答案为：0<x<2.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性，利用数学结合思想

求不等式的解集是解答的关键.

9.如图，R/0O/B的顶点4（-2,4）在抛物线、="2上，将放00/8向右平移得到自Oi小囱，平移后的OBi

与抛物线交于点尸，若点尸将线段4Oi分成1：3两部分，则点尸的坐标为.

【答案】（1,1）或（、回，3）

【分析】

先根据待定系数法求得抛物线的解析式，作PQ取轴于0,得到「软小囱，通过数据线系数从而求得尸的纵

坐标为2,代入求得的解析式即可求得P的坐标.

【详解】

解：0/?旭048的顶点/（-2,4）在抛物线卜="2上,

04=4。,解得a=l,

回抛物线为y=x2,

回点4（-2,4）,

3L4B=4,0B—2,

日将Rt^OAB向右平移得到回。4囱，

'SlA\B\=AB—4,O\B\—OB=2,

作尸0ax轴于。，

胪加出，

mPO\Q^A\B\O\,

团组=也，

A4*

回点尸将线段小。分成1：3两部分，

P0I3

团“八]=一或一,

4。44

S\PQ=\或3,

朋的纵坐标为1或3,

当y=l时，代入y=N,解得xi=l,xi=-1,

ISP（-1,1）（不合题意舍去）或（1,1）；

当y=3时，代入》=》2,解得回=百，X2=-，

胪（-6，3）（不合题意舍去）或（外，3）；

综上，尸点的坐标为（1,1）或（6,3）;

故答案为（1,1）或（6,3）.

y

B°\BXQX

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，根据

题意求得尸点坐标是解题的关键

10."水晶晶南潺”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1所示，碗体OEC呈抛物线

状（碗体厚度不计），点E是抛物线的顶点，碗底高Eb=lcm,碗底宽AB=26cm,当瓷碗中装满面汤时，

液面宽CC=83cm,此时面汤最大深度EG=6cm,将瓷碗绕点8缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2,当

L48K=30时停止，此时液面C”到cm；碗内面汤的最大深度是cm.

AFBIKBI

图1图2

【答案】2百千

【分析】

以尸为原点，直线为x轴，直线£尸为y轴，建立平面直角坐标系，得出反C的坐标用待定系数法求

抛物线的解析式，将瓷碗绕点8缓缓倾斜倒出部分面汤，当NABK=3O时停止，所以旋转前C”与水平方

向的夹角为30。，即NOC"=30。，求出C"与y轴的交点坐标G,把点C、G代入求出直线CH的解析式，

液面C"到平面/的距离文际就是点B到直线CH的距离，求出垂直于CH的函数解析式，联立两个函数求

出交点坐标，用两点间的距离公式求出B点到CH的距离；将直线CH向下平移与抛物线只有一个交点时，

两直线间的距离最短，利用二次函数与一次函数的交点问题求出平移后的函数解析式，作GJ04,得出直角

三角形，求出两条直线间的距离即为碗内面汤的最大深度是.

【详解】

解：以尸为原点，直线为x轴，直线E户为y轴，建立平面直角坐标系，如图:

F(0,0),E(0,1),C(4A/3.7),D(-45/3,7),

设抛物线的解析式为：y=ax1+\,

把点C(4后，7)代入得，

7=a(4商+1,

解得：

O

12I

团y=-x+1,

8

将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2,当NA8K=30时停止，所以旋转前C”与水平方向的夹角为

30。，即NDCH=30°

设直线C/7的解析式为y=丘+/乙与y轴交于点G,如图：

由题意知：点C(4有，7),

S1NDCH=30,CK=4色，

团KG=tan30。=4，即点G(0,3)

7=4收+。

0<,

3=0+/?

kB

解得：\3，

b=3

V3

回直线CH的解析式为:y=『+3,

0液面CH到平面/的距离实际就是点B到直线CH的距离，

过8作BLOCH,与CH交于点L,即BL的长为液面CH到平面I的距离.

团设直线比的解析式为：y=-y/3x+b],过点8(JL0),

解得：4=3,

回直线8乙的解析式为：y=—6X+3，

y=-V3x+30

rx=O

联立〈、Q,解得〈,

y=&+31y=3

I3

即点L(0,3)与G点重合，

0BL=^(V3-O)2+(O-3)2=2技

团液面CH到平面/的距离为：

把直线C"：y=gx+3,向下平移小个单位得到直线4：y=^x—m，当直线4与抛物线只有一个交

点/时，两平行线之间的距离最大，过G作(7龙4,交4丁点J,与y轴交于点A/,GJ的长即为碗内面汤的

最大深度.

整理为：-x2---x+l+/n=O,

83

团只要一个交点，

012=0,

即。2—44o=

解得：tn3

回直线《的解析式为：y="x+J_,

33

1

0点M(0,-),

3

GM=3.—1=—8，

33

0CH与水平血的夹角为30°,团直线4与水平面的夹角为30。，即团0GJ=3O。,

0在对0GM/中，

.,,„_8G4G

GriJ=GrMcoss0n=—x=―-—,

323

即碗内面汤的最大深度为：述

3

故答案为：2，5；3G

【点睛】

本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数

法求解析式是解题的关键.

三、解答题

11.已知二次函数y=—2f+4x+6.

(1)求出该函数的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标，

(2)当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？当x在什么

范围内时，y>0?

【答案】(1)顶点坐标(1,8),函数图象与x轴交点坐标(3,0)；(2)当玉,1时，N随着x的增大

而增大，当xNl时，y随着x的增大而减小；当-l<x<3时，y>0

【分析】

(1)根据顶点坐标的公式即可求解，然后令方0解方程求出x的值，即可得到与x轴的坐标即可；

(2)根据函数图象分别解答即可；

【详解】

(1)0a=—2,b=4,c=6,

b44ac-b24x(-2)x6-160

图----==1,------------=8,

2a2x(-2)4a4x(-2)

团顶点坐标(1,8),

当y=0时，-2x2+4x+6=0.

0^=3,x2=—1,

田函数图象与X轴交点坐标(—1,0),(3,0)

(2)由(1)知函数的对称轴为：x1,

0a=-2<0,

回函数图象开口向下,

团当％,1时，y随着x的增大而增大,

当龙》1时，y随着x的增大而减小;

山（1）值函数图象与X轴的交点坐标为：（-1,0）,（3,0）

回当-l<x<3时，y>0.

■x>

【点睛】

本题考查二次函数的图象与二次函数的性质，涉及到二次函数的图象顶点坐标、二次函数的对称轴、二次

函数的增减性，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质.

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=办2+笈+。（4。0）交》轴于48两点（点A在点8左侧），

交轴于C点，顶点为。点.其中A（T,0）,OC=OB=3OA.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在抛物线上A点左侧的部分上存在点P,使得NA4O=NPR4，直接写出点P的坐标；

（3）在x轴是否存在点轴是否存在点尸，使得以A、D、E、尸四点为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=f_2x—3;（2）尸点坐标为（-3,12）；（3）E点坐标为（2,0）或（-2,0）或（0,0）.

【分析】

（1）由题意可得/、8、C三点的坐标，再由待定系数法可以得到抛物线的表达式：

（2）可设点P为（x,V-2x-3）,然后根据己知条件可得关于x的方程，解方程即可得问题解答；

（3）设£为（x,0）,F为（0,j）,根据题意列出关于x、y的方程组，解方程组可以得到答案.

【详解】

解：（1）由题意可得8为（3,0）,C为（0,-3）,

把/、8、C三点坐标代入抛物线表达式可得：

0=a-b-^-c

<0=9。+3b+c,

-3=c

解之可得：b=-2,c=-3,

回该抛物线的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）如图分别过P、。作尸侬轴、。丽丫轴于八E,

PFFB

0-----=------，

DEEA

由（1）可知。点坐标为（1,-4）,

□DE=4,EA=\-(-1)=2,

解之可得x=3(舍去)或x=-3,

眇=X2-2X-3=(-3)2-2x(-3；—3=12,

那点坐标为(-3,12)；

(3)可分两种情况：

①如图，力。为平行四边形的边,过。作OG取轴于G,设£为(x,0),F为(0,y),

则由题意可得：^EOF^AGD,

EFFOE0

团---=-----=-----，

ADDGAG

则,…二2二

X

/1+1)2+("0)2，

42

x=2{x=-2

解之可得：＜/或〈

[y=4[y=-4

②如图，为平行四边形的对角线，贝l"£0ED,

团尸坐标为（0,-4）,

设E为（x,0）,则由题意可得：x-（-1）=FD=1,

取=0,此时E为（0,0）,

团当E点坐标为（2,0）或（-2,0）或（0,0）时，以/、D、E、尸为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质、三角形相似的判定与性质、利用勾股定

理求两点距离是解题关键.

13.某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元

时，销售量是600元，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.

（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获利

利润W元；

（2）在（1）的条件下，若商场获利了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？

（3）在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销

售任务，求商场销售该品牌玩具获利的最大利润是多少元？

【答案】（1）y=-10x+1000,W=-1Ox2+1300x-30000;（2）50元或80元；（3）商场销售该品牌

玩具获利的最大利润是10560元

【分析】

（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；根据销售问题的利润=

售价-进价就可以表示出卬与x之间的关系；

（2）根据题意得方程求得xi=50,》2=80,于是得到结论；

（3）根据销售单价不低于45元旦商场要完成不少于480件的销售任务求得45<r<52,根据二次函数的性质

得到当45<r<52时，夕随x增大而增大，于是得到结论.

【详解】

解：(1)依等量关系式"销量=原销量-因涨价而减少销量，总利润=单个利润x销量"可列式为:

>-600-10(x-40)=-10x+1000；

2

W=(x-30)(-10A-+1000)=-10x+1300.r-30000

(2)由题意可得:-10x2+1300x-30000=10000,

解得:x=50或x=80,

回该玩具销售单价x应定为50元或80元

x>45?

(3)由题意可得:'-10x+1000>480

解得:45京452,

郎=-10/+]300x-30000=-10(x-65)2+12250,

0-10<0,少随x的增大而减小，

又045W52,

团当x=52时，比有最大值，最大值为10560元，

回商场销售该品牌玩具获利的最大利润是10560元.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求

出二次函数的解析式是关键.

14.如图，己知NMON=90°,。7是NMON的平分线，A是射线上一点，O4=8cm.动点P从

点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点。从点0出发，也以1cm/s的

速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接PQ,交。T于点3.经过。、P、。三点作圆，交。T于点。，连

接尸。、QC.设运动时间为？(s),其中()<f<8.

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在实数f,使得线段08的长度最大？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)8cm；(2)存在，当r=4时，线段08的长度最大，最大为2技加，理由见解析.

【分析】

(1)根据题意可得。尸=8-/,OQ=t,由此可求得OP+OQ的值;

(2)过5作8。，。尸，垂足为。，则BD//OQ,设线段5。的长为X,可得5O=OO=x,

OB=&BD=&，PQ=8—r—x,根据BQ//OQ可得△BBOS/^PQO,进而可得加=而，由

此可得尤=选丁，由此可得08=&•选二《=一孝。—4)2+2血，则可得到答案.

【详解】

解：(1)由题可得：0P=8—/,。。="sOP+OQ=S-t+t=8(cm).

(2)当，=4时，线段。8的长度最大.

如图，过8作6。_10尸，垂足为£>,则BD//OQ.

回。7■平分NMON,

13/80。=NOB。=45°,

国BD=OD,OB=42BD-

设线段8。的长为x,则BO=OO=x,08=080=缶，PD=S-t-x.

^BDHOQ,

QPBDS^PQO,

PDBD

团---=----,

OP0Q

8-t-xx._8-2

团------=一,解得:X=-----

8t8

团神="号=一争f+26

团当t=4时，线段。8的长度最大，最大为2近cm

本题考查了作辅助线构造相似三角形，解直角三角形、二次函数的最值问题等相关知识：作5。_LPO构造

相似相似三角形，将3。转化出来用其他线段表示，化简成二次函数的形式是关键.

15.如图所示，动点A、3同时从原点。出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿％轴正方向运动，

动点3沿》轴正方向运动，以0A、。8为邻边建立正方形。ACB,抛物线yn—d+bx+c经过3、。两

点，假设A、3两点运动的时间为，秒：

(1)直接写出直线的解析式；

(2)当，=3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点。，使得=6?若存在，求

出点。的坐标；若不存在，说明理由；

(3)在(2)的条件下，有一条平行于》轴的动直线/,交抛物线于点E,交直线0C于点尸，若以。、B、

E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点尸的坐标；

(4)在动点A、3运动的过程中，若正方形。AC8内部有一个点P,且满足=CP=2,

NOPA=135°,直接写出此时AP的长度.

【答案】(1)蚱％；(2)存在，。(一1,一1),2(4，-1)；(3)点厂的坐标为(2,2),(1-V7,1-V7)^

(1+V7,1+S)；(4)AP=l.

【分析】

(1)根据正方形的性质可得0/IOC=45。，然后写出直线OC的解析式即可；

(2)求出04、OB,然后写出点8