初三数学总复习-几何变换综合训练习题（含解析）-模考

2021初中数学毕业考试复习专题训练

专题12几何变换问题

一、单选题

1.如图，RtAABC中，ZACB=90°,CD平分/ACB交AB于点D,按下列步骤作图：

-CD

步骤1：分别以点C和点D为圆心，大于2的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点;

步骤2：作直线MN,分别交AC,BC于点E,F；

步骤3：连接DE,DF.

若AC=4,BC=2,则线段DE的长为（）

A.3B.2C.艰D.3

【答案】D

【解析】

•「CD平分NACB,.\ZECD=ZDCF=45S,,.NN垂直平分CD,.,.CE=DE,/，ZECD=ZEDC=45°,

.'.ZCED=90=,又•.•/ACB=901.*.DE//CB,.'.△.AHIX^AACB,77=77,设ED=x,贝1」EC=x,AE

ACCE

二4-x,解得x==,故选D.

【关键点拨】

本题主要考查了角平分线，垂直平分线，相似三角形的性质，解题的关键是证明DE〃CB.

2.如图，将一个三角形纸片48c沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕为BD,则下列结论

一定正确的是（）

A.AD—BDB.—AC

C.ED+EB=DBD.AE+CB=AB

【答案】D

【解析】

由折会的性质知，BC=BE.

.*.A£+CB=AB..

故选：D.

【关键点拨】本题利用了折彘的性质：折会是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折会前

后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

3.如图，正AABC的边长为2,过点B的直线1_LAB,且AABC与AABC关于直线1对称，D为线段BC

上一动点，则AD+CD的最小值是（）

A.4B.3艰C.2邪D.2+4

【答案】A

【解析】

连接CC',连接A'C交7于点D,连接AD,此时AD+CD的值最小，如图所示.

AZABC=ZA=60°,AB=BC=ACZ,

AAC/7BC,

，四边形ABCC为菱形，

...点C关于BC对称的点是A,

二当点D与点B重合时，AD+CD取最小值,

此时AD+CD=2+2=4.

故选A.

【关键点拨】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，找出点C关于BC对称的点是

A是解题的关键.

4.如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90。至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时

针方向旋转90。至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过

程中所经过的路径总长为（）

A.201771B.2034兀C.3024兀D.3026兀

【答案】D

【解析】5C=3,：.AC=BD=5.转动一次N的路线长是：甯=2兀，转动第二次的路线长是：甯

与，转动第三次的路线长是：甯与，转动第四次的路线长是：0,以此类推，每四次循环.故顶点/

转动四次经过的路线长为：-2m6n.•.•20177=504…1,.•.顶点/转动四次经过的路线长为：

67rx504-2后3026兀，故选D.

5.如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,CD1AB,垂足为D,AF平分NCAB,交CD于点E,交CB于点F.若

AC=3,AB=5,则CE的长为（）

3458

A.2B.3C.3D.5

【答案】A

【解析】

过点F作FGLAB于点G,

c

,.,Z.4C5=90°,CDLAB,,\ZCDJ=90O,.\ZCJF-ZC^=90°，“但乙aED=90°，•二4r平分NC1B,

：.4CAF=/FAD,：.4CFA=&ED=4CEF,「.CE=C尸，..'H尸平分N35,Z.4CF=Z.4GF=90°,：.FC=FG,

△：：o：

,/Z5=Z3,ZFG5=Z4CB=90°,:.BF-M,：三AS=三A＞C'AC=3,AB=5,Z-4CS=90,3C=4,

='：FC^FG,=解得：FC、,即CE的长为:.故选A.

【关键点拨】

本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性

质等知识，关键是推出NCEF=/CFE.

6.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE±BD,垂足为F,则tanNBDE的值是（）

A/211

A.4B.4c.3D.3

【答案】A

【解析】

.四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AD〃BC,

•.•点E是边BC的中点，

11

/.BE=2BC=2AD,

.,.△BEF^ADAF,

EF_BE_1

,\AF~AD~2,

1

.,.EF=2AF,

1

，EF=§AE,

,点E是边BC的中点，

，由矩形的对称性得：AE=DE,

，EF=3DE,设EF=X,则DE=3X,

.•.DF=JDE2_EF2=2&X,

，tanNBDE=DF2Mx4.

故选A.

【关键点拨】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形

相似是解决问题的关键.

7.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点

E.若DE=3,则AD的长为（）

A.5B.4C

如图：连接BE

4_/

在RtA/iec中

.•.AC=5小,

连接BE,

：./BAC=4EDB,

■:ADflBC,ZzL8C=90',

：.ZBAD=9Q0

是圆的直径，

：.ZBED=9Q3=ZCBA,

：.A.4BO>ADEB,

.ABAC

""DE~DB,

.5_5v5

*'3-DBf

:.DB=3&

在RnUBD中，AD=\!BD2-AB2=2vS,

故选：D.

【关键点拨】

考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键.

8.如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点0是小

三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段0A绕

A

A.240°B.360°C.480°D.540°

【答案】C

【解析】由题意可得：第一次4。顺时针转动了120。，第二次A。顺时针转动了240。，第三次40顺时针转

动了120°,故当由①位置滚动到④位置时，线段。4绕点。顺时针转过的角度是：120。+240。+120。=480。.故

选C.

9.如图，矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交

于点M,N,则MN的长为（）

【答案】B

【解析】

过F作FH1AD于H,交ED于0,贝iJFH=AB=2.

,/BF=2FC,BC=AD=3,

/.BF=AH=2,FC=HD=1,

/.AF=VFH2+AH2=\22+2:=2vl,

■.-0H//AE,

.HO_DH:

*~AD~3f

•••OHJAE。

15

；.OF=FH-0H=2-3=3,

VAEZ/FO,.,.△AME^AFMO,

AM_AE_1

FM~F0~5333M

/.3=5,；.AM=8AF=4,

VAD/7BF,.•.△ANDS/XFNB,

AN_AD3

而一而=2,

3672

；.AN工AF=5,

6中3—9也

；.MN=AN-AM=5-4=20,故选B.

【关键点拨】

构造相似三角形是本题的关键，且求长度问题一般需用到勾股定理来解决，常作垂线

10.如图，在正方形ABCD中，连接AC,以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB、AC于点M,N,

分别以M,N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点H,连结AH并延长交BC于点E,再分

别以A、E为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P,Q,作直线PQ,分别交CD,AC,AB

KB

于点F,G,L,交CB的延长线于点K,连接GE,下列结论：①NLKB=22.5。，②GE〃AB,③tan/CGF=LB,

④SACGE：SACAB=1：4.其中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】A

【解析】

①.••四边形ABCD是正方形，

.\ZBAC=|ZBAD=45S,

由作图可知：AE平分NBAC,

，NBAE=/CAE=22.5"

：PQ是AE的中垂线，

.,.AE1PQ,

.".ZAOL=90°,

,.-ZAOL=ZLBK=903,NALO=/KLB,

.,.ZLKB=ZBAE=22.53j

故①正确；

②.「OG是AE的中垂线，

.*.AG=EG,

.\ZAEG=ZEAG=22.5°=ZBAE,

/.EG//AB,

故②正确；

@VZLAO=ZGAO,ZAOL=ZAOG=90°,

/.ZALO=ZAGO,

VZCGF=ZAGO,ZBLK=ZALO,

:.ZCGF=ZBLK,

BK

在RQBKL中，tanZCGF=tanZBLK=BL,

故③正确；

④连接EL,

VAL=AG=EG,EG/7AB,

・・・四边形ALEG是菱形，

.*.AL=EL=EG>BL,

EG1

—H―

：.AB2,

VEG/7AB,

/.△CEG^ACBA,

SACEG,EG、21

--------=(----)H-

:'皿'加4

故④不正确;

本题正确的是：①②③,

故选A.

【关键点拨】

本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线，三角形相似的性质和判定，菱形的性质和判定，三

角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运

用；是中考常考的选择题的压轴题.

11.如图，等边三角形4BC的边长为4,点0是AABC的中心，NFOG=120°.绕点。旋转在0G,分别交线段4艮BC

于D、E两点，连接DE,给出下列四个结论:①°D=°E；②SA°DE=SABDE；③四边形ODBE的面积始终等于

/

3V周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

连接BO,CO,过。作0kBe于H.

•.,。为AzLSC的中心，Z275O=Z(95C=ZOC5=30o,Z5OC=120°.

'：^DOE=120°,：.^DOB=^COE.在△05D和△OCE中，':"OB=』COE,OB=OC,Z.DBO=^ECO,

：.£\OBD^£^OCE,：.BD=CE,OD=OE,故①正确；

当。与8重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0,/XOnE的面积＞0,两者不相等，故②错误;

;。为中心，OHLBC,:.BH=HC=2.

J32J312J34d3

—------x4x-----------

VZOBH=30°,：.OH=3BH=3，二ZXOBC的面积=23=3.

4.

,.•△08。丝/\0(7£：,，四边形0。8£的面积=/\。3(?的面积=3,故③正确:

1平

—X---X

过。作Q/_LBC于/.设5£>=x,则B/=2,。/=2.

4七________母)2+(4-|炉

VBD=EC,BC=4,ABE=4~x,IE=BE-BI=2.在Rt△£>/£：中，DE=JD『+/产=

=73x2-12x+16=j3(x-2)2+4,当k2时，QE的值最小为2,△BDE的周长

=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE,当OE最小时，△8DE的周长最小，二△BOE的周长的最小值

=4+2=6.故④正确.

故选C.

【关键点拨】本题是几何变换-旋转综合题.考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质.解题的关键是

证明△08。名△OCE.

12.如图，AABC是等边三角形，A4BD是等腰直角三角形，/BZD=90°,4ELBD于点E,连CD分另ij交4E,

48于点F，G,过点4作4HJLCD交BD于点”，则下列结论：

①〃DC=15°.②4F=AG.③4H=DF.@HAFG~ACBG；⑤4F=(4-1)EF..其中正确结论的个数为()

A.5,B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

•:△ABC为等边三角形，AABD为等腰直角三角形，

/.ZBAC=60\ZBAD=90\AC=AB=AD,ZADB=ZABD=45°,

:.Z\CAD是等腰三角形，且顶角/CAD=150。，

:.NADC=15。，故①正确；

VAE±BD,即/AED=90°,

Z.ZDAE=45°,

，NAFG=/ADC+/DAE=60。，NFAG=45。,

.,.ZAGF=75°,

由NAFGr/AGF知AFrAG,故②错误；

记AH与CD的交点为P,

D

由AH1CD且/AFG=60：知NFAP=301

则NBAH=/ADC=15。，

在AADF和ABAH中，

'LADF=£BAH

'：■DA=AB,

.,.△ADF^ABAH(ASA),

.•.DF=AH,故③正确；

•/ZAFG=ZCBG=6OS,ZAGF=ZCGB,

.­.△AFG<^ACBG,故④正确；

在Rtz\APF中，设PF=x,则AF=2x、AP=AM产一「产=小*,

设EF=a,

VAADF^ABAH,

/.BH=AF=2x,

△ABE中,\'ZAEB=90\ZABE=45",

.*.BE=AE=AF-EF=a-2x>

.\EH=BE-BH=a-2x-2x=a,

,/ZAPF=ZAEH=90%ZFAP=ZHAE,

.•.△PAFs/kEAH,

.PF__丝Qp.x_«3x

''EM一AE，即a-a+3x^

整理，得：2x、(、区1)ax,

由x=0得2x=(V3-1)a,即AF=(v13-1)EF,故⑤正确；

故选：B.

【关键点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、

全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点.

13.如图，ZAOB=60°,点P是NAOB内的定点且OP=G,若点M、N分别是射线OA、0B上异于点0

的动点，则4PMN周长的最小值是()

【答案】D

【解析】

作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD分别交OA、0B于M、N,如图，

则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=MZBOP-ZBOD,NAOP=NAOC,

:.PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC,ZCOD=ZBOP+ZBOD+ZAOP+ZAOC=2ZAOB=120°,

,此时APMN周长最小，

作OH_LCD于H,贝UCH=DH,

VZOCH=30°,

1.

.*.OH=2OC=2,

3

CH=V3QH=2,

；.CD=2CH=3.

故选D.

【关键点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决

路径最短问题.

14.如图，在矩形ABC。中，AB＜BC,E为C£＞边的中点，将△AOE绕点E顺时针旋转180°,点。的对

应点为C,点A的对应点为尸，过点E作MEL4F交BC于点M,连接AM、交于点M现有下列结论:

®AM=AD+MC;②③。£2=4力・。用；④点N为△ABM的外心.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】:石为CD边的中点，：.DE=CE,又：/>/芯。尸=9。。，/AELA/FEC,：.£^WE^AFCE,；.

AD=CF,AE=FE,又.F/E垂直平分巨％.,.WtaMFT/C-CF,....UaWCTD,故①正确；

当，B=5C时，即四边形4BCD为正方形时，设DE=EC=l,BY=a,贝i」WB=2,BF=4,A^F\^-a,在Rt

△ABM中，£-0=(4-a)*,解得o=L5,即3mL5,...由勾股定理可得HW2.5,.•.D£M»25=.U/,

又•.•.•LBC3C,不成立，故②错误；

'：MEVFF,ECLMF,:.EC?=CMxCF,又YEC=DE,AD=CF,：.DE2=AD>CM,故③正确；

胆=也＜|,

VZABM=90°,是△A8M的外接圆的直径，'：BM<AD,.•.当BA/〃AOn寸,

ANAD

不是AM的中点，，点N不是△48M的外心，故④错误.

综上所述，正确的结论有2个，故选B.

【关键点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转

的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例，解

题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形

三个顶点的距离相等.

15.如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则AABC的

25J325.J325J3

9+—^-9+—^-°「k18+-^-

A.4B.2c.18+25&D.2

【答案】A

【解析】

•「△ABC为等边三角形，

.'.BA=BC,

可将ABPC绕点B逆时针旋转60,得ABEA,连EP,且延长BP,作AF1BP于点F.如图,

；.BE=BP=4,AE=PC=5,ZPBE=60°,

.♦.△BPE为等边三角形,

；.PE=PB=4,NBPE=60°,

在4AEP中，AE=5,AP=3,PE=4,

.,.AE-=PE:-PA*,

.•.△APE为直角三角形，目/APE=9T,

/.Z*APB=90s-605=150°.

.,.ZAPF=300,

.••在直角AAPF中，AF=fAP=4,PF=VAP=!V'I.

.,.在直角△ABF中，AB;=BF--AF:-（4―、与尸-（殳、25-12、4.

则AABC的面积是充铝:4・（25-12娟）=9-子.

故选：A.

【关键点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个

图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.

16.如图，正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点，连结AP,过点B作BELAP于点E,延长CE交AD于

点F,过点C作CHLBE于点G,交AB于点11,连接HF.下列结论正确的是（）

A.CE=A/5B.EF=2C.cosZCEP=5D.HF2=EF<F

【答案】D

【解析】连接EH.

•••四边形A8CD是正方形，

?.CD^AB=BC=AD=2,CD//AB,

'：BELAP,CGIBE,

：.CH//PA,

・♦.四边形CP/"是平行四边形，

:.CP;AH,

•:CP=PD=T,

：.AH=PC=\,

:・AH=BH,

在RtZXABE中，.：AH=HB,

:・EH=HB,VHC±BE,

：.BG=EGf

；・CB=CE=2,故选项A错误，

CH=CH,CB=CE,HB=HE,

：.ZCBH=ZCEH=90°,

♦：HF=HF,HE=HA,

：.RtA//FE^RtAHM,

：.AF=EF,iSEF=AF=x,

在RtACDF中，有2=(2・疗=(2-乃2,

：.EF±\故B错误,

'：PAIICH,

：.ZCEP=ZECH=ZBCH,

：.cosZ.CEP=cosABCH=~^，故C错误.

L>/33

•:HF—44,E吟4,FC4

：.Hr=EF-FC,故D正确，

故选：D.

【关键点拨】

本题考查正方形的性质、全.等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

17.如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点0,且EG〃BC,将矩形折叠，使点C与点0重合,

折痕MN恰好过点G若AB=水，EF=2,ZH=120%则DN的长为（）

4炳一

A.?B.?C.占-6D.&亚-用

【答案】C

【解析】

延长EG交DC于P点，连接GC、FH;如图所示：

则CP=DP4CD=7，AGCP为直角三角形，..泗边形EF5是菱形,NEHG=120。，...GH=EF=2,/OHG=60。,

EG1FH,OG=GH.sm60°=2x^=,由折彝的性质得：CG=0G=v13,0M=CM,ZM0G=ZMCG,；.

PG=VCG:-CP:=v,04cM,...N\IOG-NOVC=180",二/\£0-/0、《＞180。，...0M//CG,.".四

边形OGCM为平行四边形，•.•0M=CNI,.•.四边形0GC7为菱形，.•.CM=OG=、a,根据题意得：PG是梯

形MCDN的中位线，.,.DNYM=2PG=\S,.•.□、=、％一"；故选C.

D'

【关键点拨】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，翻折变换（折叠问题），正确添加

辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

二、填空题

18.如图，已知RSABC中，ZB=90°,ZA=60°,AC=2姆+4,点M、N分别在线段AC、AB±,将AANM

沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ADCM为直角三角形时，折痕MN的长为

D

273+4

【答案】3或的

【解析】

分两种情况：

①如图，当/CDM=90。时，ACDM是直角三角形,

：•在RtAABC中，ZB=905,ZA=60s,AC=2V'3-4,

.,.ZC=30=,AB4ACr百-2,

由折彘可得，ZMDN=ZA=60°,

.\ZBDN=30°,

/.BN=7DN=iAN,

24

.,雷=沁=手，

.­.AN=2BN=ai1^,

,.,ZDNB=60°,

.,.ZANM=ZDNM=60°,

.*.ZAMN=60o,

2平+4

•*.AN=MN=3

②如图，当/CMD=90。时，ZiCDM是直角三角形,

ZA=ZMDN=60°,

.-.ZBDN=60°,ZBND=30°,

.,.BD=fDN=zAN,BN=v'lBD,

44

又...AB=S-2,

.,.AN=2,BN=v",

过N作NH1AM于H,则/ANH=301

.,.AH<AN=1,HN=v1I,

由折巍可得，ZAMN=ZDMN=455,

.•.△MNH是等腰直角三角形,

.,.HM=HN=v^,

.•.MN=、回

故答案为：吟域、另.

【关键点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键.折

叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

19.如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点（不与点A,B重合），连接CD,将

CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论：①^ACE^4BCD；

5

②若NBCD=25°,则NAED=65。；③DE2=2CF・CA；④若AB=3&,AD=2BD,则AF=§.其中正确的结论是

.（填写所有正确结论的序号）

A

>E

/

BC

【答案】①②③

t解析】

,/ZACB=90°,

由旋转知，CD=CE,ZDCE=90s=ZACB,

/.ZBCD=ZACE,

在ABCD和AACE中,

(BC=AC

ILBCD=LACE>

ICD=CE

/.△BCD^AACE,故①正确；

VZACB=90°,BC=AC,

；・ZB=45°

VZBCD=25°,

:.ZBDC=l80°-45°-25°=l10°,

VABCD^AACE,

/.ZAEC=ZBDC=110°,

VZDCE=90°,CD=CE,

:.ZCED=45°,

则NAED=NAEC-NCED=65。，故②正确；

VABCD^AACE,

JZCAE=ZCBD=45°=ZCEF,

ZECF=ZACE,

AACEF^ACAE,

CECF

：.AC=CE,

/.CE2=CF*AC,

在等腰宜角三角形CDE中，DE2=2CE2=2CF-AC,故③正确;

如图，过点D作DG_LBC于G,

•/AB=3V/2,

.,.AC=BC=3,

•/AD=2BD,

.*.BD=4QAB=、％

.,.DG=BG=1,

.\CG=BC-BG=3-1=2,

在RsCDG中，根据勾股定理得，CD=v1CG2+DG2=v15,

VABCD^AACE,

.♦.CE=\S,

VCE2=CF«AC,

CE2_5

：.CF=AC

54

.,.AF=AC-CF=3-3=3,故④错误，

故答案为：①②③.

【关键点拨】

此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，勾股定理，判断出ABCD丝ZXACE是解本题的关键.

20.在AABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BDJ_CE,垂足为0.若0D=2cm,0E=4cm,则

线段A0的长度为cm.

【答案】4抬

【解析】

连接AO并延长，交BOTH,

由勾股定理得，DE=v'OE-+OD*=2v15,

•「BD和CE分别是边AC、AB上的中线，

.\DE//BC,gBC=2DE=4V5,ADEO'ABCO

.OEDE

"CO~BC

同理AO=2OH

。是AABC的重心，

，AH是中线，又BDJ_CE,

.,.OH=7BC=2V5,

.,.AO=2OH=4VT

【关键点拨】

重心分中线的比为2比1,这个结论很重要.填选题可直接用，解答题需证明

21.如图，若AABC内一点P满足/PAC=NPCB=NPBA,则称点P为AABC的布罗卡尔点，三角形的布罗

卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用

他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮.已知4ABC中，CA=CB,

ZACB=120°,P为AABC的布罗卡尔点，若PA=小，则PB+PC=.

【答案】1+3.

【解析】

,/CA=CB,CH1AB,ZACB=120D,

.\AH=BH,ZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,

.,.AB=2BH=2«BC«cos305=v'lBC,

ZPAC=ZPCB=ZPBA,

.,.ZPAB=ZPBC,

/.△PAB^APBC,

.PA_PB_AB_气

""PB-PC_6C一、,

•「PAr”,

/.PB=1,PC=y,

.,.PB-PC=I-7.

故答案为

【关键点拨】

本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题

的关键是准确寻找相似三角形解决问题.

22.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=2,BD=2价，将菱形按如图方式折叠，使点B与点0

重合，折痕为EF,则五边形AEFCD的周长为

【解析】：四边形48co是菱形，AC=2,BD=2平，：./ABO=NCBO,AC1BD.,：AO=\,BO=^,Atan

40小

NABgB0=3,.,.ZAB0300,A8=2,/.ZABC=6O0.

由折叠的性质得，EFLBO,0E=BE,NBEF=N0EF,：.BE=BF,EF//AC,；.ABEF是等边三角形，AZ

BEF=60°,：.ZOEF=60°,：.ZAEO=60°,；.Z^EO是等边三角形，：.AE^OE,：.BE=AE,是AABC的

1

中位线，尸=5AC=1,AE=OE=1.

同理CF=OF=1,...五边形AEFCZ）的周长为=l+l+l+2+2=7.故答案为：7.

D

23.如图，正方形ABCD的边长为12,点E在边AB上，BE=8,过点E作EF〃BC,分别交BD、CD于G、

F两点.若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为

【答案】28

【解析】

作QM1EF于点M,作PN1EF于点N,作QH1PN交PN的延长线于点H,如图所示,

•.•正方形ABCD的边长为12,BE=8,EF"BC,点P、Q分别为DG、CE的中点，

,,.DF=4,CF=8,EF=12,

.,.MQ=4,PN=2,MF=6,

,/QM1EF,PN1EF,BE=8,DF=4,

/.AEGBcoAFGD,

,EG_BE

''FG-DP9

P1l,"FG8

即nk=;，

解得，FG=4,

・•・FN=2,

/.MN=6-2=4,

AQH=4,

PH=PN+QM,

/.PH=6,

.•.PQ=JP“2+QH2=2炳

故答案为：2^13.

【关键点拨】本题考查了三角形中位线定理、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，正确

添加辅助线、结合图形熟练应用相关性质和定理进行解题是关键.

24.如图，AABC是等边三角形，AB=4,点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH.当

ZBHD=60°,NAHC=90°时，DH=.

【答案】3

t解析】

作AE1BH于E,BF_LAH于F,如图，

.「△ABC是等边三角形，

..AB=AC,/BAC=60",

,/ZBHD=ZABH-ZBAH=60:,ZB.AH-ZCAH=605,

/.ZABH=ZCAH,

(AAEB=£AHC

在AABE和ACAH中UEE=^CAH,

.AB=CA

.,.△ABE^ACAH,

.•.BE=AH,AE=CH,

在RMAHE中，ZAHE=ZBHD=603,

AE1

，sin/AHE=4H,HE=，AH,

.\AE=AH«sin60o=2AH,

.

.♦.CH=2AH,

在RSAHC中，AH2+(2AH)2=AC2=(々)2,解得AH=2,

，BE=2,HE=1,AE=CH=/,

，BH=BE-HE=2-1=1,

113

在RtABFH中，HF=2BH=E,BF=2,

；BF〃CH,

.,.△CHD^ABFD,

HD_CH_yj3

而一而一用

/.2=2,

2211

/.DH=3HF=3x2=3,

1

故答案为：3一

【关键点拨】本题考查/全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的

关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥

基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.

25.如图，在AABC中，BC=6,BC边上的高为4,在AABC的内部作一个矩形EFGH,使EF在BC边上,

另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为.

12^/13

【答案】13

【解析】

如图，作AQ_LBC于点Q,交DG于点P,

/.AQ1DG,GF=PQ,

设GF=PQ=x,则AP=4-x,

由DG"BC知△AD8>AABC,

贝|JEF=DG=1(4-x),

.•.EG=v'EF，+GF2=jE(4-x)]+式x-yr)+言,

.•.当x唠寸，EG取得最小值，最小值为等,

故答案为：言三

【关键点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定

与性质及二次函数的性质及勾股定理.

26.如图，将面积为32々的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若

BE=a,则AP的长为.

【解析】

设AB=a,AD=b,则ab=32v,2,

由AABESADAB可得：黑=吃,

MDnU

/.b=¥a"

Z.a3=64,

.,.a=4,b=8v12,

设PA交BD于O,

22

在RM4B。中，BD=JAB+AD=12t

AB-AD8d2

OP=OA=---------=—

BD3,

,AP=?迎

16

故答案为：3.

【关键点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和

应用相关的性质定理是解题的关键.

27.如图，平面直角坐标系中。是原点，口。4BC的顶点A,C的坐标分别是（8,0）,（3,4）,点。，七把线

段。8三等分，延长8,CE分别交。4,A3于点£G,连接FG,则下列结论:

①尸是0A的中点；②AQFO与A5EG相似；③四边形DEG/的面积是二；④其中正确

33

的结论是.（填写所有正确结论的序号）

A

【答案】①③

【解析】如图，分别过点A、B作4V_06于点N,轴于点M,

在口Q45C中，•••X(8,0),C(3,4)二3(11,4),OB=病，

•.・。、E是线段AB的三等分点，,

BD2

CB||OF,:.\ODF-SBDC,

：,2L^L„,OF=L=LOA

BC=BD=22BC2F

：.F是OA的中点，故①正确；

•・•C(3,4),二0C=5HO4,

二口。45。不是菱形，

ZDOF手ZCOD=ZEBG,ZODF丰ZCOD=ZEBG,

F(4,0),：.CF=V17((?C,.-.ZCFO)ZCOF,

ZDFO丰ZEBG,

故AOFD和A5EG不相似，故②错误；

由①得，点G是AB的中点，:.FG是AOAB的中位线，

1/]37

FG□OB,FG=-OB=-,

22

八37

vD.E是0B的三等分点，

3

SAOAB=-OBAN=-OABM=-XSX4=16,

"222

.14A,16

2OB

•••O/口尸6,.••四边形QEGH是梯形，

(DE-FG)h55120

右边-------------=—OBh=—OB—AN=—,

四边形DEGF2121223

故③正确；

。。=1。8=巫彳，故④错误，

33

综上：①③正确，

故答案为：①③.

【关键点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定、三角形的中位线等，正确添加辅助线是

解题的关键.

28.如图，0为坐标原点，AOAB是等腰直角三角形，NOAB=90。，点B的坐标为（。，2艰），将该三角形沿

x轴向右平移得到&△oAB',此时点B'的坐标为（2々,2衣），则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为

【答案】4

【解析】

:点B的坐标为（0,2隹），将该三角形沿x轴向右平移得到RtAOAB,此时点的坐标为（2、与，2电）,

...AA，=BB，=2V2,

•••△OAB是等腰直角三角形，

.'.A（涯,\2）,

；.AA对应的高、%

线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2&x^=4.

故答案为:4.

【关键点拨】此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移规律得

出对应点坐标是解题关键.

29.如图，AAOB中，ZO=90°,AO=8cm,BO=6cm,点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O

点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过一OC的中点E作CD的

垂线EF,则当点C运动了_s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切.

,B

17

【答案】瓦

【解析】

当以点C为圆心，2cm为半径的圆与直线EF相切时,

此时，CX2,

'.'AC=2t,BD=7tf

.,.0C=8-2t,0D=6-^t,

.点E是OC的中点，

.'.CE=10C=4-t,

2

,."ZEFC=Z0=90<>,ZFCE=ZDCO

.".△EFC^ADCO

.EF_CFEF___2

，，。口一。/即an6一金—9-21

：.EF=

由勾股定理可知：CE:=CF+EF,

3

(4-t)2=22+(2)2,

313

解得：t=5或t=2,

V0<t<4,

3

/.t=2.

3

故答案为：2

【关键点拨】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等知识,

题目综合程度较高，难度较大，尤其是动点问题，给此题增加的一定的难度，很好地考查学生综合运用知

识的能力.

30.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2,点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，Z

A0C=60°,若将菱形OABC绕点0顺时针旋转75°,得到四边形0A'B'C',则点B的对应点B'的坐标为

【解析】

作BHlx轴于H点，连结OB,OB',如图，

二,四边形OABC为菱形，

/.ZAOC=180°-ZC=60S,OB平分/AOC,

/.ZAOB=30°,

•.・菱形OABC绕原点。顺时针旋转7T至第四象限OABC的位置,

...NBOB'=75°,OB,=OB=2v，3,

.,.ZAOB'=ZBOB'-ZAOB=45S,

「.△OBH为等腰直角三角形，

避

.\OH=B,H=2OB，=4,

，点B的坐标为（优，-优），

故答案为：（M,-回

【关键点拨】本题考查了坐标与图形变化，旋转的性质，解直角三角形等，熟知旋转前后哪些线段或角相

等是解题的关键.

31.如图所示，已知：点A(0,0),B0),C(0,1)在aABC内依次作等边三角形，使一边在x轴

上,另一个顶点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个△AAiB”第2个△B1A2B2,第3个AB2A3B3,…,

则第n个等边三角形的边长等于.

【答案】2n

【解析】

：OB=v",OC=1,

：.BC=2,

.,.ZOBC=305,NOCB=60t

而AAAIB】为等边二角形，NAIABI=6。-,

.,.ZCOAi=30s,则NCAIO=90，.

在RIACAAI中，AAi—~OC—~f

同理得：BiAc=TAiBi=7f,

.

依此类推，第n个等边三角形的边长等于2”.

【关键点拨】

本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律.

32.如图，已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点，连接CE,过点B作BGLCE于点G,

点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为.

【答案］2回2

【解析】

如图：

取点D关于直线AB的对称点D1,以BC中点。为圆心，0B为半径画半圆，

连接0D交AB于点P,交半圆。于点G,连BG,连CG并延长交AB于点E,

由以上作图可知，BG1EC于G,

PD-PG=PD'-PG=D'G,

由两点之间线段最短可知，此时PD-PG最小，

,/D'C=4,0C'=6,

.,.D'O=v42+62=

.,.DrG=2yn-2,

...PD~PG的最小值为24I&2,

故答案为：2VI&2.

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强,

能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的

线段和最短.

33.如图，在菱形ABCD中,4B=2,4B是锐角，AE1BC于点E,M是AB的中点,连结MD,ME若/EMC=90°,

则cosB的值为

D

【答案】2

【解析】

・・・四边形ABCD是菱形，

・・・AB=BC=AD=2,AD//CH,

・・・zADM=血

・・・AM=BM,乙AMD=zHMB,

・・・AD=HB=2,

vEMlDH,

.%EH=ED,设BE=x,

vAE1BC,

・•・AE1AD,

zAEB=zEAD=90',

%-AE2=AB2-BE2=DE2-AD%

••.22-X2=(2+X)2-22,

.•.x=0-1或-并-1（舍弃），

BEy/3-1

：・cosB=——=--------

AB2,

邪-1

故答案为：2.

【关键点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等

知识，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键.

34.如图，ZMAN=90°,点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,AABC与AABC关

于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接A，E.当

△A，EF为直角三角形时，AB的长为.

【答案】40或4

【解析】

当AA，EF为直角三角形时，存在两种情况:

.•.A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

•.•点D,E分别为AC,BC的中点，

，D、E是AABC的中位线，

.'.DE//AB,

.".ZCDE=ZMAN=90s,

.'.ZCDE=ZAEF,

/.AC//AE,

.".ZACB=ZAEC,

.../ACB=/AEC,

.,.AC=A'E=4,

RSACB中，・「E是斜边BC的中点,

/.BC=2AE=8,

由勾股定理得：AB=BC-A*

.'.AB=v82-42=4、5