高数期末专业考试题

林居高等熬考期终考题汇编

2009-01-12

解答下列各题(6*10分)：

1.求极限limxln(l+er).

x7(r

2,设y=xjx?+.2+〃2In(x+Jx2+4?),求dy,

3.设卜=2-2求去

[y=3-3

4.判定级数去如4坐/>0）的敛散性.

n=l

5.求反常积分J；

6.求Jxarctanxdr.

8.将“工）=2在［-肛%］上展为以2%为周期的付里叶级数，并指出收敛于/Q）的区

I畤斗区乃

间.

9.求微分方程ydx+（x2-4_r）dy=0的解.

10.求曲线孙=1与直线x=l,x=2,y=0所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

二.（8分）将f（x）=ln（4x-5）展开为x-2的基级数，并指出其收敛域.

三.（9分）在曲线y=sinY（0&x41）上取点A（a,sin/）（o«°«i）,过点A作平行于ox轴的直线L,

由直线L,oy轴及曲线丫=疝/（04X4〃）所围成的图形记为跖，由直线L,直线x=l及曲线

V=sind（041）所围成的图形面积记为％，问a为何值时，S=S{+S2取得最小值.

四.（9分）冷却定律指出，物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比，已知空气温度

为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间？

五.（8分）（学习《工科数学分析》的做（1）,其余的做（2））

（1）证明级数在口―）上一致收敛.

〃=0

（2）求》级数三（T）：£"-1）X2"-2的收敛域及和函数.

?7=12

2008.1.15

解答下列各题（6*10分）:

e'(x-2)+x+2

1.计算极限lim

x^Osin3x

兀

2.设y=-xlog2x+arctan?,求dy.

x=lncosz,(万、d2y

3.设《b=sin/-/coj0<r<l)^

2

dr冗

t=—

3

opa”

4.判定级数£1的敛散性.

念〃2"

5.计算反常积分J：竽氏.

2xsinx,

6.计算不定积分J-------ax.

cosx

7.计算定积分工（dx

J+/)2

I：?：；在Ml上展成以4为周期的正弦级数.

8.求函数/(x)=<

9.求微分方程（1+y）dx+（x+V+V母，=o的通解.

10.求由曲线y=/+7及y=3/+5所围成的图形绕。x轴旋转一周而成的旋转体的体积.

—.（9分）证明：当x»。时,有

（1+x）?[21n（l+x）-1]+1>4xarctanx-21n（l+x2）.

三.（9分）设抛物线y=a/+8乂。<0）通过点MQ,3）,为了使此抛物线与直线y=2x所围成

的平面图形的面积最小,试确定。和人的值.

四.（8分）设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳（以容积计算），现将

含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间，同时按1000立方米的流

量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？

五.（8分）求募级数£——x"的收敛域及其和函数.

w2"〃！

六.（6分）设函数/（x）在x=0的邻域内有连续的一阶导数，且lim幽=。（a>0）,

•1°X

4（_1广0条件收敛.

证明:

2007年1月

一.计算下列各题(6*10分)：

1.计算极限lim，+ln(/)1

x-arctanx

2.设y=arcsinjl-，，求dy.

x=[e~udu.dv

3.设｛Jo求.

eysinZ-y+1=0.口-v=0

4,判定级数8工一17^的敛散性.

占4+3"

5.计算反常积分厂/黑广.

(l+x)Vx

6设ln(x+d7刁为/(x)的原函数，求J矿⑹氏.

八冗

1,0<x<-;

2

7.将/（x）={展开成以2乃为周期的傅立叶正弦级数，并求此级数分别

0,—<X<7T,

2

35

在x=-%和X=-71两点的收敛值.

22

8.将函数/（x）=lnx展开为％-2的基级数，并指出其收敛域.

9求微分方程（x+l）y'—2y=（x+1》的通解.

10.求抛物线x=5y2与x=i+y2所围图形的面积

二.（9分）若函数/（x）=十一，XH°；在x=。点可导.求a和/'（0）.

a,x=0.

三.（9分）在曲线y=eT（xZ0）上求一点00，/“"），使得过该点的切线与两个坐标轴所围

平面图形的面积最大，并求出此最大面积.

四（8分）半径为R的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水所作的功为将水全部

抽出所作的功的一半时，试问此时水面下降的深度H为多少？

五.（8分）求哥级数£〃（〃+1*的和函数并求出级数£〃（〃+1）］的和.

〃=i〃=12

六.（6分）已知函数/（x）在［0,”）上可导，且/（0）=1并满足等式

r(x)+/(x)--^£/(f>=0,求r(x)并证明(GO)

2006年1月

一.计算下列各题(6*10分)：

「tanx-sinx

1.lim---；------

-0/

2.i^y=arctan^—tanj,求dy.

3.设用求。(”一如

4.判定级数的敛散性.

5.设y=y(x)由方程y=tan(x+y)所确定，求y'.

6.计算不定积分j害!

dr.

7.将/（%）=2+国，xw[—乃，万]展成以2万为周期的傅立叶级数.

8.将函数/（X）=F~!——展成（x+4）的幕级数，并指出收敛区间.

x+3x+2

9.求微分方程盯'-3y=//的通解.

10.设曲线y=a/（。>0,》20）与〉=1——交于点人，过坐标原点。和点A的直

线与曲线y=a/围成一个平面图形问：当。为何值时，该图形绕X轴旋转一周所产

生的旋转体体积最大？

二.（8分）证明不等式：当x>0时，xa-ax<\-a,（0<<z<l）.

三.（9分）.设/（x）=J：e''dt,求£4（x）dx.

四.（9分）.一物体在某一介质中按％=。3作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的

平方成正比，计算物体由x=0移动到x=。时克服阻力所作的功.

五.（9分）求级数1的和.

六.（5分）.设/"（x）>0,xe[a,h],证明：

2005年1月15日

一.解答下列各题(6X10分)

田皿“口xsinx-x(x4-l)

1.计算极限hme---------——』

Xx-sinx

2.设)，=]Jx，+1+gln(x+Jx'+1),求dy.

*2

3.设/(x)="'在x°处可导，求常数。和从

ax-vb,x>x0

4.判定级数夕GO」的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

n=\D

5.设y=>(尤)由方程y=1—ln(x+y)+/所确定，求/.

6.设/(x)连续,且满足「一,/(力，=》.求/(26)=?.

7.求/(x)=2d—3/-12x+l的极值.

8.计算不定积分f/丁.

xV4-ln2x

9.计算定积分工arctanJiir.

10.求由曲线y=/+i,直线y=o,x=o,尤=1所围成的平面图形绕>轴旋转一周所

产生的旋转体的体积.

二.(8分).试证明不等式xe[0,彳)时，tanx>x+.

三.(9分)将函数/(x)=^——展成X—3的基级数，并指出收敛区间.

2x+x-3

四.(9分)已知/(x)在x=12的邻域内可导，且Im/(x)=0,叫J'(x)=3等.

dt

求极限lim-L(-------——.

3

…2(12-%)

五.(8分)求基级数的收敛域及和函数.

”=0〃！

六.(6分)设/(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0</(他1,/(0=0).

—•—»2

证明ffCWx”/(如

2004年1月

一、解下列各题

1、丫，（其中a>0]〉0）

.9o[2,

2、设y=x2e~x+（sin%产,求y*

3、求不定积分JxarctanMr

4、求不定积分J——dx

+1）

5、求定积分J：e&dx

6、求由曲线y=|lnx|,x=(,x=e及x轴围成的图形的面积。

7、判定级数£坐的敛散性

n=\〃4

8、将/(x)=「e-『力展开为x的幕级数，并求收敛域。

9、求幕级数之一的收敛域及和函数。

占〃2"

10、曲线y=(x>0)上哪一点的法线在y轴上的截距最小

二、证明：当0<x<g时，sinx>—

271

三、设某产品的成本函数为。=4/+的+C,需求函数为q=：(d—P),其中C为成本，q为

需求量(也是产量)，p为单价，a,b,c,d,e都是正常数，且〃>人。求(1)

利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性；(3)需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。

四、曲线y邑x轴旋转一周，得一旋转体，若把它在x=0与之间部分的体积记为V(J),

\+x-

试求limV(^)

五、设/(X)为与上连续，且/(%)>0,求证：在3。)内存在一点4,在

J：/(xVx=*J：//办

2003年1月

一、解下列各题

1、lim仕

ex-\)

2、设了=以犬)由方程y=cos(盯)+x确定，求y'

Jl-asin2x-b

3、设y="x2在x=0点连续，试确定名。的值

2x=0

4、判定级数的敛散性

n=\〃

x=/+2+si

5、设曲线方程为1求此曲线在x=2点处的切线方程

y=t+cost

6、设/(x)在点/处有/00)=/'(%)=0,而0(x)在飞点及其邻域有定义且有界，试证明函

数尸(x)=/(x)e(x)在点与处可导，并求k(x0)

710<X<y

7、将〃幻=2展开成周期为2〃的付立叶正弦级数

7T

0—<X<TC

8、计算不定积分J

1

9、计算定积分J。e^dx

10、求由丁=也%,丁=0和》=2所围成的平面图形绕》轴旋转所成的立体的体积

二、证明：当0cx<3■时，sinx+tanx>2x

三、A,B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建

一水厂C,从水厂C到B厂每公里水管材料费是A厂的石倍，水厂C设在离A厂多远处才使

两厂所耗总的水管材料费最省？

四、试求基级数之二x"的收敛域及和函数

〃=0乙

五、设/(X)为［a,+00)上单减连续函数，有E(x)=」一「f(t)dt,证明当x>a时，尸(x)为

x—a^i,

单调减函数

六、设/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且上于⑴dt=O,证明：存在一点JG(0,1),

使得2/©+"(9=。

七、已知可导函数/(x)满足/(x)cosx+2j：f(t)sintdt=x+\,求/(x)

2002年1月

一、试解下列各题(每小题5分，共25分)

1.求极限lim6(麻亚一而万)。

n—>oo''

1

-rXH0

2.设f(x)=<1+G,研究/(x)在点x=0处的左连续性与右连续性。

ox=0

sin—

3.设y=eOUL'+arctan(Inx),求y.'04.求函数y=1I一C3厂一9x+14的单调区间。

5.计算定积分J：/亚三山;。

］

二、解下列各题(每小题5分，共25分)。1.求极限lim(sinx)M.

xfO'

2.设函数y=y(x)由方程y=l+xev所确定，求2

drx=0

2

1•113'sinrdt

3.求积分岐》。。：尤心:0

4.求极限lim

J1+COSX

J0

5.试判定级数£(-1)"T4的敛散性,

若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?

M=12

三、(7分)求积分「arccosxfdr。

兀HIx|<^

2

四、(7分)将函数/(x)=«,展开成以2不为周期的傅里叶级数，其中”为

71,〜

0—<\X\<7T

常数。

1

五、(7分)将函数/(X)展开成x-l的基级数，并指出收敛区间。

x~~x—6

17r

六、(7分)试证明不等式sinx>x——%3,其中0<x<—。

62

七、(8分)一容器由抛物线y=/绕y轴旋转而成，其容积为72Tzm3,其中盛满水，水的比重

为1,现将水从容器中抽出64%m3,问需作多少功？

八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。

1)画出水位高度随时间变化的函数y=y(f)的图形(不要求精确图形,但应画出曲线凹凸性

并表示出拐点)

2)y=y(f)何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。

九、(6分)设函数/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，并且满足了⑴—

试证存在一点Je(0,1),使广信)=一/也。

2000年1月

一、求解下列各题：(每小题6分，共60分)

1.设丁=/(/+1)31+2)2,求y，。2.求极限lim(」一—!］。

-1X)

3.将/(x)=F'U区।展开成以4为周期的傅里叶级数。

［0,|<|x|<2

4.试求过点M0(-l,l)且与曲线2"-2cosy-1=0上点((),?］的切线相垂直的直线方

程。

5.设/(t)=lim/土±4,求/'⑺。6.将“x)=-1—展开为x—1的基级数。

X—\x-tJx［x+1)

7.设。是由曲线y=l+sinx与三条直线x=0,X=K,y=0所围成的曲线梯形，求。

绕。x轴旋转一周所得旋转体积。

8.求极限lim［士~•9.求不定积分［竿巴正dx。

2。1-COSXJ-Jx(l+x)

2KO__

10.判别级数tan?的敛散性.

〃=i2

二、(8分)求不定积分J(xlnx)2dX。三、(8分)求定积分Jj'xJZox-f心。(4>())

g(x)-e~x

四、(8分)设/(x)={—x=0其中g(x)有二阶连续导数。且g(0)=l,

0.x=0

g'(0)=—1。1)求广(x)；2)讨论广(x)在(-oo,+oo)上的连续性。

五、(8分)试确定。的值，使曲线y=a(l-》2)与该曲线在(_1,0)及(1Q)两点处的法线所围

成图形面积最小。(其中(a>0))。

六、(8分)设4=J()x|sinx|dx,(n=1,2,­••)

求极限+冬+…+工

T2222"J

98年1月

一、填空题

2

TT

lim(l+3x)sinr=2.y=x—2sinx在［0,1］上的最小值为

XTO

x=于⑺-兀3

3.设《f'(Q)*0,则

-1)心,二。

设/(x)=(产+2/+3)山，则呵仆)一仆-")=

4.

5.设£a“x"在x=T条件收敛，则的敛区为

ft=On=0

二、选择题

1.当x-0时，变量与sin-^是()

厂x~

A)无穷小B)无穷大C)有界但不是无穷小D)无界但不是无穷大

2.x=0是/3)=二-；-+吧土的()间断点

,「Ix|

1+e'

A)跳跃B)可去C)无穷D)振荡

3.若/(x)是导函数是sinx,贝D/(x)有一个原函数为()

A)1+sinxB)1—sinxC)1+cosxD)1-cosx

(-—1)2

4.设/(x)=|无一i|贝U在x=l处/(x)()

0x=1

A)不连续B)连续但不可导C)可导但导数不连续D)可导且导数连续

10<x<-

5.设s(x)是/(%)=­2的以2%为周期的傅里叶正弦级数的和函数，则

7C

x+1—<X<7T

2

S(—工7T)等于()

2

A)1+—B)1C)-(1+—)D)-l

44

三、设y=y(x)由y-xe，=1所确定，求，?。

dr-八

四、计算Jl-sinxdr。五、计算/dx。

JVx+1

dr七、证明：当x>i时，蚂里2>上

六、计算工

(x—1)J/―2.Inxx+1

81

八、讨论£±眩(。>°)的敛散性。九、求£丁4一。

n=\〃

十、求由d+y242x与yNx所围图形绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。

十一、设/(x)在切上具有二阶导数,且/(a)=/S)=O,f'(d)f'(b)>0,证明:存在

4e3/和”(a,勿使f/)=0及/"(〃)=0。

99年1月

一、填空题

1.limexarctanx=2.设y=xln(x+Jl+a'),则y'=

XT-OO

3.设y=y(x)由xsiny+yex=0确定，则y'(0)=

4.f的收敛域为。5.jfl-sin2-\u=_______________。

n=lnJ\27

二、选择题

1.设y=/(f),f=g(x)都可微，则dy=()

A)