高等数学公式定积分微积分三角函数导函数

等数学公式

基本积分表（1）Jkdx=kx+C（k是常数）

(2)|x"dx=----+C,(〃w-1)

J〃+l

(3)^-dx=\n|x|+C

(4)f=arltanx+C

J1+x2

(5)/=arcsinx+C

(6)jcosxdx=sinx+C

(7)Jsinxdx=—cosx+C

(8)f-----dx—tanx+C

Jcosx

(9)[—<ix=-cotx+C

Jsin2x

(10)jsecxtanAiir=secx+C

(11)jescxcotxdx=-escx+C

(12)jexdx=ex+C

(13)\axdx=—^C,(Q>0,且awl)

JIna

(14)Jshxdx=chx+C

(15)Jchxdx=shx+C

(16)f-r^-~~7dx=­arctan—+C

Ja+xaa

/<r、r1.1_.X-U._

(17)I----dx——In|----1+C

Jx—a2ax+a

(18)f.=dx=arcsin—+C

JV777a

(19)[,dx=ln(x+yja2+x2)+C

}yla2+x2

d22

(20)\~r—^=}n\x+ylx-a\+C

Jyjx2-a2

(21)jtanxdx=-In|cosx\+C

(22)jcotxdx=In|sinx|+C

(23)Jsecxdx=In|secx+tan%|+C

(24)JcscxiZx=ln|cscx-cotx|+C

注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x换成〃仍成立，”是以x为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：

sin2x+cos2x=l,tan2x+1=sec2x,sin2x=2sinxcosx,cos2x-^+cos^%

2

.21—coslx

sinx=-----------

2

注：由//[夕（*用/（»否：=]</[0（》）]4双幻，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫

凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并

掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

小结：

1常用凑微分公式

导数公式:

(arcsinx)'=/1

(/gx)'=sec2x

Vl-x2

(c^x)z=-csc2x

(arccosx),

(secx)"=secx-tgx71-x2

(cscx)z=-cscx-ctgx

1

(arctgx\

(ax)r=ax]na1+x2

(log"x)'=——

(arcctgx)f=

x\na1+x

基本积分表：

jtgxdx=-ln|cosx|+C[——=[sec2xdx=tgx+C

JCOSXJ

jctgxdx=ln|sinx|+C

rdxc2i「

——I-=esc**xdx--0*尢+C

Jsecx6k=ln|secx+fgM+CJsii?冗J6

Jsec尤・/gMx=secx+C

jcscxdx=ln|csex-etgj^+C

jesc尤•ctgxdx=-cscx+C

rdx1x「

—~-=-arctg-^-C

Ja+xaa

axdx=—^-C

占」收+

jcIn。

j

X-a-2a\x+a\shxdx=chx-\-C

rdx1,a+x

―；——7=——In----+Cchxdx-shx+C

Ja-x2aa-x

{dx.Jj,>=ln(x+7x2±a2)+C

r—arcsin—i-

J/-x2a

nn

22

I=Jsin"xt/x=Jcos"xdx-

n1n-2

n

00

x2+a2dx=^-\lx2+a2H-------ln(x+J尤2+〃~)+c

2

2_________

^x2-a2dx=^x2-a2--Inx+7x2-a2+C

2

2

1111a".x

^a-xdx=^y!a-x+—arcsin-+C

2a

三角函数的有理式积分:

一些初等函数:两个重要极限:

三角函数公式:

■诱导公式：

数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

・和差角公式:・和差化积公式:

a+8a-B

sin(a±夕)二sinacos/?±cosasin(3sina+sin0=2sin------cos......-

22

cos@±/?)=cosacosP=j=sinasinf3

a+。.a-B

sincr-sin(3=2cos-----sin......-

爆a土所产吗22

\+tga-tgpa+/7a-0

cosa+cosQ=2cos------cos......-

ctg(a±0)=ctgactg0Q22

ctg(3±ctgaa+/7.oc—B

cos6Z-cos/?=2sin-------sin-------

22

•倍角公式:

•半角公式:

“正弦定理：---=——=--—=2R•余弦定理：c?一2«bcosC

sinAsinBsinC

•反三角函数性质：arcsinx=---arcco&xarctgx=---arcctgx

2

高阶导数公式—莱布尼兹(Leibniz)公式:

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：

x=夕⑴

xf=二ZZ。

空间曲>=”4)在点知(公,%，20)处的切线方程：

“(九)/4)/4)

Z=69(Z)

在点M处的法平面方程：夕'4)(x-/)(y-%)+〃&)(z-z())=0

若空间曲线方程为>'切=，，则切向量T={+£F1%匕

G「G二G'G

G(x,y,z)=0UyXXG,

曲面厂(再y,z)=。上—点Af(x0,yQ,z0),则：

1、过此点的法向量：

2、过此点的切平面方程Fv(xo,yo,zo)(x-xo)+Fv(xo,yo,zo)(y-^o)+Fz(A：o,yo,zo)(z-zo)=O

3、过此点的法线方程：入人一=——=—3—

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)£(%,为，z(()

方向导数与梯度：

函数Z=/0,丁)在一点/?0,>)沿任一方向/的方向导数为包=更<：059+笠51119

dldxoy

其中0为X轴到方向/的转角O

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=^7+—J

dxdy

它与方向导数的关系是或=grad/'(x,y>2,其中2=cos/G+sin夕•了,为/方向上的

dl

单位向量。

更是grad〃x,y)在/上的投影。

dl

元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

JJ/(^y)dxdy=jj/(rcos^,rsinO)rdrdO

DD'

2

dzdz、

曲面z=/(x,y)的面积A=JJ++dxdy

dx

D

||xp(x,y)da\\ypkx,y)do

平面薄片的重心：彳=必Dy_D_____________

MJjp(x,yW'MJJp(x,y)dcr

DD

平面薄片的转动惯量：对于x轴/x=0y2P(x,y)dcr,对于》轴/、.=JJx"(x,y)dcr

DD

平面薄片(位于:经平面)对z轴上质点加(0,0,〃),(〃〉0)的引力：F={Fx,Fy,Fz],其中:

F、=川p(x»『4=川。(苍叫工一明上卬吟

22

D(x2+y2+/)2D(X+y+。2"D(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标：

x=rcosO

柱面坐标：y=rsin^,jjj/(x,y,z)dxdydz=JjJF(r,。,z)rdrd3dz,

z=zc

其中：尸(八4z)=/(rcos^,rsin^,z)

x=厂sin℃ose

球面坐标，y=rsinosinadv=rd(prs\n(p-dO-dr=r2s\n(pdrd(pdO

z=rcos(p

2/rnr((p、8)

IJj/(x,y.z)dxdydz=jjjF{r,(p,0)r2sin(pdrd(pdO=^dd^d(pjF{r,(p,O)r~sin(pdr

cC000

重心：元=2。上心匕》2=(叫2次丫，其中M=元=JJJpdv

o.

22

转动惯量：/x=JJj(y+z)/xZv,=3(一+/)刖

CC

曲线积分:

曲面积分:

对面积的曲面积分，/(羽y,z)ds=^f[x.y,z(x9y)]Jl+z：(x,y)+z；(x,y)dxdy

z%

对坐标的曲面积分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

jjR(x,y,z)dxdy=±J|R\x,y,z(x,取曲面的上侧时取正号；

八％

y,z)dydz=土JJP[x(y,z)9y,z]dydzf取曲面的前侧时取正号；

zD”

JJ2(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正^。

两类曲面积分之间的：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos/+Rcosy)ds

斯公式：

JJJ+竿)du=.Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：d"D=E+篝+笥，即：单位体积内所产生的流体质量'

若div丘<0,则为消失…

通量:JJA-nds-jjAds=jj(Pcosa+Qcos/3+Rcosy)ds,

X£X

因此，高斯公式又可写成:JJ]divAdv=§Ands

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

交错级数W|-〃2+〃3-%+…(或-/+«2-»3+,••,«„>0)的审敛法----莱布尼兹定理:

如果交错级数满同屋“10,那么级数收敛且其和4％,其余项/:的绝对瞰仁〃“铲

、〃->30"

对收敛与条件收敛：

塞级数：

N<i时，收敛于—

1+x+x-+x，+…+x'1+…

卜日时，发散

对于级数(3)&+<7/+//+…+*x"+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/W<H时收敛

数轴上都收敛，则必存£/?,使时发散，其中R称为收敛半径。

\k|=R时不定

时，R=—

求收敛半径的方法：设