高中数学常考考点及典型例题

人教版高中数学必修一

一、集合与函数部分

1.考点

集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;

2.典型例题

★1.已知集合在{*|1^入<4},庐若向，求实数a的取值集合

解：将数集4表示在数轴上（如图），要满足怎8,表示数a的点必须在4或4的右边，所求a的取值集

合为为|a24}.

0I4ax

★★2.已知集合{={x\-l<x<3},108=0,/1U8=R,求集合8

解：由406=0及/^6=1?知全集为R,CRA=B,

故8=C{xIxW-1或)

★★3.求一次函数f(x),使得/{}=8x+7

解：设/(x)=ax+b(aH0),则

=a(ax+b)+b=a2x+ab+b,

f[f[f(x)]]-a2(ax+b)+ab+b-a\+a2b+ab+b-Sx+l所以/=8且a%+aA+匕=7

解得a=2,6=1

所以,f(x)=2x+l

★4.已知函数/(%)=犬+%—1

⑴求/(2)

(2)求足+1)

(3)若/(无)=5,求％的值

解：⑴/(2)=22+2-1-5

2

(2)/(1+1)=(1+1)+(1-1-1)-1=-L+2+i

XXXXX

(3)由题意：X2+X-1=5,解得x=-3,x=2

1

★★5.证明：函数>=%+一在(l,+oo)上为增函数。

X

证明：设%,%是（1，+8）上的任意两个实数，且%<%2,贝IJ：

f(xt)-f(x2)=x}+----(x2+—)=(x1-x2)+)*

因为王＜%2，所以X]-巧＜0

因为e(l,+8),所以又也>1,——<1,1-----<0

即/U,)</(x2)

所以函数了=%+上在(1,+8)上为增函数

二、基本初等函数部分

1.考点

一、函数的概念

二、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系;

2.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系;

3.解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

三、分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

四、函数的单调性

五、函数的最大(小)值

2.典型例题

★1.比较下列各题中的个值的大小

(1)1.72-5与1.73

(2)O.8-0-1与0.8-°-2

(3)1.70-3与0.91'

解法1：用数形结合的方法，如第(D小题，用图形计算器或计算机画出y=17、的图象，在图象上找出横

坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以

y=1.7

1产〈IT.

解法2：用计算器直接计算：1.7"。3.771.73。4.91

所以，175＜17

解法3：由函数的单调性考虑

因为指数函数y=17'.在R上是增函数，且2.5V3,所以，1.7”<17

仿照以上方法可以解决第(2)小题.

★★2.截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20

年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？

分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：

1999年底人口约为13亿

经过1年人口约为13(1+1%)亿

经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%尸亿

经过3年人口约为13(1+1%)2(I+I%)=I3(1+M尸亿

经过x年人口约为13(1+1%)“亿

经过20年人口约为13(1+1%)“亿

解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后，我国人口数为y亿，则

y=13(1+1%)"

当x=20时，y=13(l+l%)2%16(亿)

答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.

★★3.已知函数/(x)=log”(a-优)(a>1),求/1(x)的定义域和值域.

解:a—Cl'>0,Cl'<C1,X<\,即定义域为(—8,1)；

ax>0,0<a-a*<a,log“(a-a")<1,即值域为(―℃,1)

★★4.已知/'(x)=lg(a,6为常数)，

当a>l>6〉0时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明.

xX2

解：设OCX1<x2(<7>Z>),aa'<a;

O<Z?<1,.\hx'>b'zn-hx'<+

-xXz

0<x,<x2(a>b\a>I,..a'<a;

0bx'>bX2n-bx'<-bX2nax'-bx'<a*-b*

x

即可nlg(〃—b')<1g(产一b')SP/(x,)</(x2)

f(x)为增函数。

x

★★5.求函数/(x)=lglOOxxlg历的最小值及取得最小值时自变量x的值.

解：f(x)=(2+lgx)(lg『l)=(Igx)'+lg『2=(lgA+—)2-2—^-2—,

244

当产胆时函数取得最小值-2

104

f(xy)=f(x)+F(y),fJ)=1,

★★6.设函数片f(x)是定义在R'上的减函数，并且满足

3

(1)求r(1)的值，

(2)如果/1(*)+/(2-X)<2,求x的取值范围.

解：⑴令产产1,则/(1)=2/(1)=0;

(2)有意义条件0<水2,

又f(x)+f(2-x)=f(2『f),2=f(')+f(1)=/(l)

339

.••f(2『V)<f(_L)，又函数是R'上的减函数，.・.2尸f〈J_

99

2V2_2V2

•.1------或X〉1,

33

综上x的取值范围是0<水1-2也或1+述〈水2.

33

三、函数方程及零点

1.考点

一、函数的零点

二、二分法求零点

2.例题：

★★1.设王与马分别是实系数方程ax2+bx+c=O和-a?+"+c=o的一个根，且

百。12%W°，，求证：方程］/+区+。=°有仅有一根介于玉和/之间•

Q

2

解：令/(jOn'Y+bx+c,由题意可知々xj+bx1+c=O,-ax2+hx2+c=0

bx{+c=-ax^,hx2+c=ax^,

、a21a09ci2

J(X1)="Xj+Z?X|+C=—Xj—6L¥j=——Xj

，/、a2,a223a2

J(%)=/%2+bX?+C=//+CIX?—X2,

因为。0,工2所以/(xl)/(x2)<0,

即方程微/+云+。=o有仅有一根介于王和々之间.

★★2.函数八幻=一/+2奴+1一。在区间［(),1］上有最大值2,求实数a的值.

解：对称轴x=a,

当a<0,［0,1］是〃x)的递减

f（X）max=/（。）=1_Q=2=>Q=T；

当是/(x)的递增区间，/(x)mx=/(l)=〃=2n〃=2；

当。＜4VI时/(X)max=/(。)=/-"+1=2,。=1±J,

0工a41矛盾；

所以a=-l或2.

★★3.某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个,

为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？

解：设最佳售价为(50+X)元，最大利润为y元，

y=(50+x)(5()-x)-(50—x)x40=-x2+40x+500

当尤=2()时，y取得最大值，所以应定价为70元.

人教版高中数学必修二

第一章空间几何体

知识点：

1,空间几何体的结构

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长/2=/+匕2+。2；正方体的对角线长/=岛

3、球的体积公式：V=-7TR3,球的表面积公式：S=4万R2

3

4、柱体V=锥体锥体截面积比：旦=41

2

3S?h2

5、空间几何体的表面积与体积

S侧面=2兀•r•I

⑴圆柱侧面积;

S恻面=»•「•/

⑵圆锥侧面积:

典型例题:

★例1:下列命题正确的是（）

A.棱柱的底面一定是平行四边形

B.棱锥的底面一定是三角形

C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥

★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）

]_巫

A2倍B4倍。2倍I）四倍

★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、

下两部分分别是（）

A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱

B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱

C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱

★★例4:一个体积为8C77?3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是

A.8兀cm2B.C1（）7rcm2-D.lO/rcnr

二、填空题

★例1：若圆锥的表面积为。平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为

★例2：球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的倍.

第二章点、直线、平面之间的位置关系

知识点：

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，

则线面平行）。

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简

称线面平行，则线线平行）。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则

面面平行）。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线

线平行）。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直,

则线面垂直）。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直,

则线面垂直）。

典型例题：

★例1：一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2,则此棱锥的高（自上而下）

被分成两段长度之比为

A、1:V2B、1:4C、1:（V2+1）D、1:（V2-1）

★例2：已知两个不同平面a、夕及三条不同直线a、b、c,aA./3,a{y/3=c,a_L/?,aLb,c与

b不平行，则（）

A.。〃4且b与a相交B.buanbH0

C.匕与a相交D.b_La且与夕不相交

★★例3：有四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行：②垂直于同一平面的两条直线平行；③平行于

同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行。其中正确的是（）

A.①②B.②③C.③④I）.①④

★★例4：在正方体ABCO-A|6|GQ中，分别是0c和CG的中点•求证：。建，平面4。/

例5：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB

的中点.

（1）求证：EF〃平面CB1D1；

（2）求证：平面CAA1C1_L平面CB1D1

第三章直线与方程

知识点：

1、倾斜角与斜率：左=tana=.＞二.

2、直线方程：

⑴点斜式：y~y（）—-x0）

⑵斜截式：y=kx+b

⑶两点式：0=9

x-x{x2-x]

⑷截距式：-+^=1

ab

(5)一般式：Ax+By+C=O

3、对于直线:/1：y=Kx+A/：V=%2冗+匕2有:

k、=k?

⑴/"〃2<=><

b产b2

⑵&和4相交o人工&；

k=k,

⑶4和，2重合01x-

2=b2

(4)/,1_/2ok[k2=—1.

1\：4x+gy+G=0

4、对于直线:TJ

l2:A2x+B2y+C2=0

AB=AB[

⑴/]〃4o<122

B|C2wB2cl

(2)4和乙相交oA】B2w4与；

A}B2=A,B]

(3)/]和，2重合<=><

B}C2=32G

(4)_L/0

l}9A]A-y+B}B7=0.

5、两点间距离公式：山周=J(£—xJ+(必—y)2

6、点到直线距离公式：6」弋+勘(^£[

ylA2+B2

7、两平行线间的距离公式：

c,-c2|

/1：Ax+B)，+G=0与小小+为+。2=0平行，则。=

典型例题：

★例1：若过坐标原点的直线/的斜率为-6，则在直线/上的点是()

A(1,V3)B(V3,l)C(-V3,l)D(1-V3)

★例2：直线/]:kx+(1一左)y-3=0和4:(k-\)x+(2k+3)y—2=0

互相垂直，则攵的值是()

A.-3B.0C.0或-3D.0或1

第四章圆与方程

知识点：

1、圆的方程：

⑴标准方程：(x-a)2+(y-b)2=/，其中圆心为(a,份，半径为r.

⑵一般方程：/+/+m+乡+/=0.其中圆心为(_2,_至)，半径为r=Ly/D?+E2—4F.

222

2、直线与圆的位置关系

直线Ax+By+C=0与圆(x-a)?+(y-勿2=/的位置关系有三种：

d>ro相离<=>A<0；

d=ro相切=A=0；

d<r=相交=△>().

3、两圆位置关系：

⑴外离：d>R+r；⑵外切：d=R+r；

⑶相交：R-r<d<R+r-,⑷内切：d=R-r；

⑸内含：d<R-r.

4、空间中两点间距离公式：山.|=&2-XJ2+(y2-y)2+同一%)

典型例题：

★例1：圆心在直线y=2x上，且与X轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是

★★例2：已知圆。：幺+>2=4,

(1)过点(-1,6)的圆的切线方程为.

(2)过点(3,0)的圆的切线方程为.

(3)过点(-2,1)的圆的切线方程为.

(4)斜率为一1的圆的切线方程为.

★★例3：已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点，且圆心在直线y=2x上。

(1)求圆C的方程；

(2)若直线L经过点P(—1,3)且与圆C相切，求直线L的方程。

人教版高中数学必修三

一、算法与程序框图

1.考点

算法的概念及程序框图

2.例题

★1.08山东（14）执行右边的程序框图，若p=0.8,则输出的炉4.

二、统计

1.考点

1、简单的随见抽样

2、用样本的特征估计总体的特征

3、变量间的相关关系

2.例题

★★1.用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.问:

①总体中的某一个体。在第一次抽取时被抽到的概率是多少？

②个体。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是多少？

③在整个抽样过程中，个体。被抽到的概率是多少？

C11

分析：①总体中的某一个体。在第一次抽取时被抽到的概率是P=16:

1

②个体。在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是P==

8;

③由于个体。在第一次被抽到与第2次被抽到是互斥事件，所以在整个抽样过程中，个体。被抽到的概

_11_1

率是PD=&+§=r

★★★2.已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下

X45424648423558403950

y6.536.309.257.506.995.909.496.206.557.72

x（血球体积，mm）,y（血红球数，百万）

（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线并且画出图形.（3）回归直线必经过的一点是哪一点？

（2）解：（1）见下图

yx

10'・・

••

・・・:•

5,

-----------------------•--------------------------------------------------------------

303540455055X

(2)又喘(45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=45.50

y=、(6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37设回归直

线为g=bx+a,

n

则斗％-n对b=y-ax=-0.64

宜xJ-nX

i»l

所以所求回归直线的方程为$=。176%—0.64,图形如下：

x

87175-7x30x399.3，.

Lb=_____________________b475

故可得到一7000—7x3()2

a=399.3-4.75x30«257

A

从而得回归直线方程是y=4.75x+257.(图形略).

★★3.写出下列各题的抽样过程.

(1)请从拥有500个分数的总体中用简单随机抽样方法抽取一个容量为30的样本。

(2)某车间有189名职工，现在要按1：21的比例选派质量检查员，采用系统抽样的方式进行。

(3)一个电视台在因特网上就观众对某一节目喜爱的测得进行得出，车间得出的总人数为12000人，其中

持各种态度的人数如下：

很喜爱喜爱一般不喜爱

2435456739261072

打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？

解：(1)①将总体的500个分数从001开始编号，一直到500号；

②从随机数表第1页第0行第2至第4列的758号开始使用该表；

③抄录入样号码如下：335、044、386、446、027、420、045、094、382、5215、342、148、407、

349、322、027、002、323、141、052、177、001、456、491、261、036、240、115、143、402

④按以上编号从总体至将相应的分数提取出来组成样本，抽样完毕.

(2)采取系统抽样.189+21=9,所以将189人分成9组，每组21人，在每一组中随机抽取1人，这9

人组成样本.

(3)采取分层抽样.总人数为12000人，12000+60=200,

2345=11…145人，竺”=22…167人，2迎=19…余126,1072

=5…余72人

200200200-20(7

所以从很喜爱的人中剔除145人，再抽取11人；从喜爱的人中剔除167人，再抽取22人；从一般喜爱的人

中剔除126人，再抽取19人；从不喜爱的人中剔除72人，再抽取5人.三、概率

1.考点

1、概率的概念及意义

2、古典概型的概念及概率

3、几何概性的概念及概率

2.例题

★★1.有红，黄，白三种颜色，并各标有字母A,B,C,D,E的卡片15张，今随机一次取出4张，求4张

卡片标号不同，颜色齐全的概率.(12分)

4

解：基本事件总数为n=AA]5，

.p「m_C©A；_1

而符合题意的取法数m=C；C：A：=180.

nAh180

★★2.10根签中有3根彩签，若甲先抽一签,然后由乙再抽一签，求下列事件的概率:

(1)甲中彩；(2)甲、乙都中彩；(3)乙中彩(14分)

解：设人=｛甲中彩｝B=｛乙中彩｝C=｛甲、乙都中彩｝则©=人8

3321

(1)P(A)=一；(2)P(C)=P(AB)=~x~

1010915

——1733

(2)P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=-+—x-=—.

★★3.从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率：

(1)所取的4只鞋中恰好有2只是成双的；

(2)所取的4只鞋中至少有2只是成双的.

解：基本事件总数是C：0=210.

(1)恰有两只成双的取法是C!C；C；C；=120.

c©c©120_4

...所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为「：4一一210-7

Jo

⑵事件“4只鞋中至少有2只是成双”包含的事件是“恰有2只成双”和“4只恰成两双”，恰有两只

成双的取法是c；C；C；C；=12O,四只恰成两双的取法是C；=10.

...所取的4只鞋中至少有2只是成双的概率为

+C；_130_13

-210_21

★★4.为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本.

解：⑴随机地将这1003个个体编号为1,2,3,1003.

⑵利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量

50整除，然后再按系统抽样的方法进行.

说明：总体中的每个个体被剔除的概率相等(色一)，也就是每个个体不被剔除的概率相等(幽］.采用

1003U003)

系统抽样时每个个体被抽取的概率都是也，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都

1000

1()005050

ZBE--X---=---

100310001003

人教版高中数学必修四

第一章三角函数

一、考点列举

1、任意角和弧度制

2、任意角的三角函数

3、三角函数的诱导公式

4、三角函数的图像及性质

5、函数y=Asin(3x+°)的图像及性质

二、常考题型

1、角度值与弧度制之间的转换

★例1.把下列角度数化成弧度数：

(1)252(2)67°30'

Jr77r

解：(1)252=252x—rad=—rad.

1805

(2)因为6730'=67.5,所以

JI3

6730'=---radx67.5rad.

1808

★例2.把下列角的弧度数化成度度数。

3

(1)-71(2)3.5

5

33

解：(1)—71rad=—xl80-108；

55

180

(2)3.5raJ=3.5x——®200.54

71

2,理解三角函数的概念及之间的关系

★例1、已知角a的终边过点(。,2。)3。0),求a的六个三角函数值。

解：因为过点(a,2a)(ar0),所以「=布|。|,x=a,y=2a

y_2a_2a_2>/5

当a>00寸,sine=

ry/5\a\45a5

xa\/5a仁seca="a=巨

cosa=-=—j=-—；tana=2;cota二

r22

2y/5

当Q<0H寸,sina二)2a2a

r~~5~；

xa国,G.1匚加

cosa=—=--j=~；tana=2;cola=—;seca=5;csca=------

丫—v5a5------------------------22

3、理解诱导公式的转换及应用

/八・11)/c、.Z17兀、

★例1求下列三角函数值:(1)sin----；(2)sin(--------).

63

解：(1)sin-sin(2^---)=sin(--)=-sin—=-—：

66662

/八•/17兀7T.71V3

(2)sin(———)=sin(-6^-+y)=siny=—.

★例2化简：

~sin(180+a)+sin(-a)-tan(360+a)

(1)；

tan(a+180)+cos(-a)+cos(180-a)

(2)sin120-cos330+sin(-690)cos(-660)+tan675+cot765.

立力/八H-Usina-sina-tanatana.

解：(1)原式:-------------------=-------=-l.

tana+cosa-cosatana

(2)原式=sin(180-60)•cos(360—30)+sin(720-690)cos(720—660)

+tan(675-720)+cot(765-720)

=sin60cos30+sin30cos60+tan(-45)+cot45

=—+-!-xl-tan45+1

2222

31,,,

=—I-----1+1=1.

44

4、会用五点法画三角函数的图像，理解函数的性质及应

★例L用“五点法画出下列函数的简图：

(1)y-2cos%,%eR；(2)y-sin2x,x&R

解：（1）先用“五点法”画一个周期的图象，列表:

713〃

X0万2%

7T

cosx10-101

2cosx20-202

描点画图，然后由周期性得整个图象：（图略）

（2）先用“五点法”画一个周期的图象，列表:

71713兀

X075T71

7131

2x0712〃

7~2

sin2x010-10

描点画图，然后由周期性得整个图象：(图略)

★例2.求下列函数的单调递增区间：

，乃、乃

(1)y=sinl2x+yI(2)y=-cos2x；(3)y=sin(—-2x).

'Ji

解：(1)令z=2xd——，函数y=sinz的单调增区间为［---\~2k兀,——F2攵乃］,(ZcZ),

322

由---\-2k7r<2x-\——<——F2Z万，得----7r+k7r<x<---\-k7i,

2321212

故，函数y=sin(2x+()的单调增区间为［—得乃+女肛^|+左万］,/eZ)

(2)由题意知：求原函数的单调增区间即为求丁=©0521的递减区间，

令f=2x,则y=cos/在区间［2人肛］+2Qr］(ZwZ)上递减，

冗

2k7V<t<7V+2k7V，2k兀&2xW兀+2k兀，:•k兀WxS—+k兀,

2

TT

所以，函数y=—cos2x的单调递增区间是Dbr,,+)br］(keZ).

jrJr

(3)Vy-sin(---2x)=-sin(2x---),

44

IT

求原函数的递增区间即为求函数y=sin(2x-1)的递减区间，

令f=2%—7,则y=sinr在区间［1+2hr,y+2上左］(左eZ)上递减，

jrIT3冗3477r

：.-+2k7T<2x——<—+2左乃，—+^<x<——+2乃，

24288

所以，原函数的递增区间是［二37r+左4,7上7r+上扪(ZeZ).

88

★例3.求/(x)=tan2x的周期.

解：设/(%)的周期为T,则/(x+T)=/(九)，即tan2(x+T)=tan2%.

jr

令〃=2%,得tan(〃+27)=tan〃，由tan”的周期为)，可知27="，即丁=一.

2

TT

所以/(x)=tan2%的周期为万.

jr

说明：函数y=Atan(〃zx+0)(AH()MHO)的周期T=门.

5、理解y=Asin(@x+0)的图像及其意义，理解函数图像的变化及性质

TT

★★例1.(1)函数)，=sin(2x+1)的图象可由函数》=5后1的图象经过怎样的变换得到？

TT17T

(2)将函数y=sinx的图象上所有的点得到y=sin(x-?的图象，再将y=sin(jx—1)的图

象上的所有点，可得到函数y=；sin(gx-()的图象.

I1JI

要得到的图象，只须将函数>=sin(]X—§)的图象

n

(4)要得到函数)=cos(3x—生)的图象，需将函数丁=4113%的图象___________•

6

(5)已知函数y=/(x),若将/(x)的图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍，然后

将整个函数图象向上平移2个单位，得到曲线与y=sinx的图象相同，则/(x)的解析式

是.

1T

解：⑴将〉=$由工的图象向左平移一个单位;

4

7t1、

(2)向右平移上个单位；纵坐标缩短为原来的上(横坐标不变);

32

2乃7T

(3)向左平移丝的单位；(4)向左平移2个单位；(5))=±sinx—2.

3922

★★例2.已知函数丁=Asin(3x+0)(A>0.>0,|夕|<万)一个周期内的函数图象，如下图所示,

求函数的一个解析式.

解：由图知：函数最大值为6,最小值为-石，

又tA>0,A=V3,

,,T57r7i71

由图知一=----

2632

.2万

..T1=冗=----9co—2,

CO

又•."+当7乃，，图象上最高点为(卫,G)

2361212

V3=V3sin(2x—+,即sin(上+°)=1,*.*\(p\<^r(p24

1263

所以，函数的一个解析式为y=Gsin(2x—杏).

★★例3.已知函数)=ACOS(GX+°)(A>0,G>0,0<°<乃)的最小值是一5,图象上相邻两个最

TT

高点与最低点的横坐标相差2,且图象经过点(0,-2),求这个函数的解析式.

42

T兀712乃

解：由题意：A=5,—=一，:,T=—=——,69=4,；・y=5cos(4x+°),

242CD

又;图象经过点(0,-2),・・・g=5cos0,即cose=-g

2

27r27r

又,：b〈(p〈兀,：.(p^—,所以，函数的解析式为y=5cos(4x+飞-).

TT77r

例3.已知函数/(x)=asin(2x+1)+l的定义域为R,若当一/4x4-当时，/(x)的最大值为2(1)

求。的值；(2)求出该图象对称中心的坐标和对称轴方程.

7万5万c71,兀

解:(D哈\-----<2x+—<—

6636

—1<sin(2x+y)/(x)max=ga+l即;a+1=2a=2

(2)由2x+工=Z)，得X=^—C(ZGZ),.•.对称中心为(旦一工，1).

326