专题2.5等腰三角形大题培优专练（提升篇）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.5等腰三角形大题培优专练（提升篇）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答题1．（2023秋·山东菏泽·八年级校联考期末）如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．求证：DE⊥CE．

【答案】见解析【分析】先根据平行线的性质可得∠B=90°，从而可得△ADE和△BEC都是直角三角形，再根据等腰三角形的判定可得DE=EC，然后根据直角三角形全等的判定定理即可得证．【详解】∵AD∥BC,∠A=90°，∴∠B=180°-∠A=90°，∴△ADE和△BEC都是直角三角形，∵∠1=∠2，∴DE=EC，在△ADE和△BEC中，DE=ECAD=BE∴△ADE≅△BEC(HL)．∴∠ADE=∠BEC∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠BEC+∠AED=90°∴∠DEC=90°∴DE⊥CE【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．

(1)求证：BD=DE；(2)若AB=AC，求∠CAD的度数．【答案】(1)见解析(2)70度【分析】（1）要求证：BD=DE可以先根据角角边定理证明△ABD≌△AED，再根据全等三角形性质得出结论；（2）根据AB=AC，得∠C=∠B=40°【详解】（1）（1）证明：∵AD平分∠BAE∴∠BAD=∵AD=AD，∵∠B=∴△ABD≌△AED（AAS∴BD=ED；（2）解：∵AB=AC，∴∠C=∵∠CAD=180°-∴∠CAD=180°-40°-40°-30°=70°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键．3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使得BD=AC，连接AD，再延长AB至E，使得BE=CD，连接DE．求证：△BED≌△CDA．

【答案】见详解【分析】先证明∠EBD=∠ACD,再根据SAS判定证明即可．【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBD=180°-∠ABC,∠ACD=180°-∠ACB,∴∠EBD=∠ACD,∵BE=CD，BD=AC，△BED≌△CDA(SAS【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．4．（2023秋·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E都在边BC上，且BE=CD，求证：AD=AE．【答案】见详解【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，再由SAS证明△ABE≌△ACDSAS，从而得AD=AE【详解】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠C∴△ABE≌△ACDSAS∴AD=AE．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2．(1)试说明△ACD≌△CBE；(2)求BE多长？【答案】(1)见解析，(2)2．【分析】（1）根据已知易得∠ACB=90°,AC=BC，再由AD⊥CP，BE⊥CP，利用同角的余角相等易得∠DAC=∠ECB，进而证明△ADC≌△CEBAAS（2）由全等三角形性质可知BE=CD．【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠BAC=45°，∴∠ACB=90°,AC=BC．∵∠DAC+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEBAAS（2）由（1）得△ADC≌△CEB，∴BE=CD=【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据利用同角的余角相等证明角相等是证明关键．6．（2023秋·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，CD=BD，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE=1(3)求∠FGD的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)67.5°．【分析】（1）由等腰三角形的性质得BE⊥AC，再证∠ACD=∠ABE=∠FBD，然后利用ASA证明△ADC≌△FDB即可；（2）由等腰三角形的性质得AE=CE，得CE=12AC（3）由等腰三角形的性质得ABC=45°，DH⊥BC，则∠BHG=90°，再由直角三角形的性质得∠FGD的度数．【详解】（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠ABE=90°，∴∠ACD=∠ABE=∠FBD，在△ADC和△FDB中，∠ADC=∠FDBCD=BD∴△ADC≌△FDB(（2）∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴AE=CE，∴CE=1由（1）知：△ADC≌△FDB，∴AC=FB，∴CE=（3）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵CD=BD，∴△BCD是等腰三角形，∴∠ABC=45°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=1∵CD=BD，点H是BC边的中点，∴DH⊥BC，∴∠BHG=90°，∴∠BGH=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°，∴∠FGD=∠BGH=67.5°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．7．（2023春·全国·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，点D、点E在边BC上，BD=CE，连接AD、AE．(1)如图1，求证：AD=AE；(2)如图2，当∠DAE=∠C=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F．在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中的等腰三角形（△ABC除外）．【答案】(1)证明过程见详解(2)图2中的等腰三角形有△ADE，△BDF，△CAD，△BAE【分析】（1）证明△ABD≌△ACE即可求解；（2）根据等腰三角形的性质，平行线的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴AD=AE．（2）解：由（1）可知，AD=AE，∠BAD=∠CAE∴三角形ADE是等腰三角形，则∠ADE=∠AED，∵∠DAE=∠C=45°，∴∠B=45°，∠BAC=90°，∠ADE=∠AED=12(180°-45°)=67.5°∵BF∥AC，∴∠F=∠FAC=∠DAE+∠CAE=45°+22.5°=67.5°，∵∠BDF=∠ADE=67.5°，∴∠F=∠BDF=67.5°，∴三角形BDF是等腰三角形，∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°+22.5°=67.5°=∠ADE，∴三角形CAD是等腰三角形，同理可得三角形BAE是等腰三角形，∴等腰三角形有：△ADE，△BDF，△CAD，△BAE．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形全的的判定和性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB．(1)若∠ABC=65°，求∠NBC的度数．(2)若AB=8cm，△NBC的周长是14cm．求【答案】(1)15°(2)6【分析】（1）根据等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理即可求解；（2）有垂直平行线性质可知AN=BN，△NBC的周长是14cm，AB=8【详解】（1）解：∵AB=AC，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠C=65°，∠A=180°-(∠ABC+∠C)=180°-65°×2=50°，∵AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，∴AN=BN，∠A=∠ABN=50°，∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=65°-50°=15°，故答案是：15°．（2）解：AB=8cm，△NBC的周长是14∴NB+BC+NC=14，AB=AC=8由（1）得，AN=BN，∴BC+AN+NC=14，且AN+NC=AC=8，∴BC=14-AC=14-8=6，故答案是：6．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是找到等腰三角形中等边，垂直平分线中的等边关系．9．（2020秋·浙江温州·八年级校考期中）在正方形网格中，已知格点（即小正方形的顶点）A、B组成的线段AB，请分别按下列要求作图：(1)在图1中作一个面积为2的△ABC（点C在格点上），且有一个内角为钝角；(2)在图2中作一个等腰△ABC（点C在格点上）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先找到一个满足面积是2的△ABC，比如点C在点A往后两格，然后在过这个点作一条平行线可找到符合条件的点C，从而作出这样的钝角△ABC；（2）可通过找到点A或点B的距离是5的点即点C来找这样的三角形．【详解】（1）解：如下图所示，△ABC即为所求做三角形；（2）如下图所示，△ABC即为所求做三角形；（以下5图答其一正确）【点睛】本题考查网格中的作图，涉及等腰三角形的判定，三角形的面积公式等知识，掌握平行线间的距离相等和网格中找5长度的线段是解题的关键．10．（2022秋·湖南邵阳·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，CE平分∠ACB，EC=EA．

(1)求∠A的度数；(2)若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．【答案】(1)∠A=36°(2)54°【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）解：∵EA=EC，∴设∠A=∠2=x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2x，在△ABC中，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°；（2）解：∵∠A=∠2，∴∠2=36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC=90°-36°=54°，∴∠1=∠DFC=54°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．11．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）如图，B、C分别在AD、AE的垂直平分线上，DE=12，∠ABC=50°，∠ACB=70°.求：

(1)△ABC的周长；(2)∠DAE的度数.【答案】(1)12(2)120°【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得BD=BA,CE=CA，进而得出△ABC的周长等于DE的长，即可求解；（2）根据三角形内角和定理得出∠BAC，根据三角形的外角的性质，以及等边对等角得出∠DAB,∠CAE，即可求解．【详解】（1）解：∵B、C分别在AD、AE的垂直平分线上，∴BD=BA,CE=CA，又DE=12，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=DB+BC+EC=DE=12，（2）解：∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°，又BD=BA,CE=CA，∠ABC=∠BAD+∠BDA,∠ACB=∠AEC+∠CAE，∴∠DAB=∠BDA=12∠ABC=25°∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=25°+60°+35°=120°．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．12．（2022秋·山西晋中·八年级校考期中）已知：如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、

(1)DE=DB+EC；(2)若AB=3，AC=2，则△ADE的周长为________．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得DB=DF，EF=EC，即可得出结论；（2）由（1）知DB=DF，EF=EC，则△ADE的周长=AB+AC，从而得出答案．【详解】（1）证明：BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∵DE∥∴∠CBF=∠DFB，∴∠DBF=∠DFB，∴BD=DF，同理FE=EC，∵DE=DF+EF，∴DE=DB+EC；（2）解：由（1）知DB=DF，EF=EC，∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AD+DF+AE+EF=AD+BD∵AB=3，AC=2，∴△ADE的周长为：AB+AC=5，故答案为：5．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键．13．（2021秋·湖北宜昌·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠BAC、∠ACB的平分线交于点M，过M作DE∥AC，分别交AB、BC于点D、E．求证：

【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明MD=AD，根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明ME=CE，根据线段的和差即可得到结论．【详解】证明：∵AM平分∠BAC，∴∠DAM=∠CAM，∵DE∥∴∠DMA=∠CAM，∴∠DMA=∠DAM，∴MD=AD，∵MC平分∠ACB，∴∠ECM=∠ACM，∵DE∥∴∠EMC=∠ACM，∴∠EMC=∠ECM，∴ME=CE，∵MD=AD，∴DE=MD+ME=AD+CE，即AD+CE=DE．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等腰三角形中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．14．（2022秋·湖北随州·八年级校考期中）已知：如图，点C、D在△ABE的边BE上，①BC=ED，②AB=AE，③AC=AD，④∠ACB=∠ADE．在其中任选两个当作条件、一个作结论组成一个正确的命题（只写一组）.

【答案】①②为条件，③为结论（答案不唯一）【分析】选取①②，通过证明△ADE≌△ACB．可得③AD=AC．【详解】解：证明：∵AB=AE，∴∠B=∠E．在△ADE和△ACB中，AE=AB∴△ADE≌△ACB．

∴AD=AC．故答案为：①②为条件，③为结论（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE、

(1)BM=BN；(2)BM⊥BN．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证△ABE≌△DBC，根据斜中半定理即可求证；（2）∠MBN=∠MBE+∠NBD，根据等边对等角和全等三角形的性质进行等量代换即可求证．【详解】（1）证明：∵∠ABD+∠DBC=180°,∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC=90°，∵AB=DB，EB=CB，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，∵M，N分别是AE、∴BM=1∴BM=BN（2）证明：∵△ABE≌△DBC，∠CDB=∠EAB，∵BM=1∴∠MBE=∠MEB,∠NBD=∠NDB，∵∠MBN=∠MBE+∠NBD，∴∠MBN=∠MEB+∠NDB=∠MEB+∠EAB=90°，∴BM⊥BN．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、斜中半定理等知识点．熟记相关结论进行几何推理是解题关键．16．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考开学考试）如图，点C是AB上一点，AC=BE，AD=BC，∠ADE=∠BED．

(1)尺规作图：作∠DCE的平分线CF，交DE于点F；(2)证明：CF⊥DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）根据平行线的判定与性质得到∠A=∠B再证明△ADC≌△BCE(SAS【详解】（1）解：如图，CF即为所求．

（2）证明：∵∠ADE=∠BED，∴AD∥∴∠A=∠B．在△ADC和△BCE中，AC=BE∠A=∠B∴△ADC≌△BCE(SAS∴CD=CE．又∵CF是∠DCE的角平分线，∴CF⊥DE．【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．17．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，BA⊥AF于点A，ED⊥DC于点D，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=DC，BE=CF．

(1)求证：AF=DE；(2)若OP平分∠EOF，求证：OP垂直平分EF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）证明△BAF≌△CDE，即可；（2）全等三角形的性质和等角对等边，得到OE=OF，再根据三线合一，即可得证．【详解】（1）证明：∵BA⊥AF，ED⊥DC∴∠A=∠D=90°∵BE=CF∴BE+EF=CF+EF∴BF=CE在Rt△ABF和RtBF=CEAB=DC∴Rt∴AF=DE；（2）∵△ABF≌△DCE∴∠AFB=∠DEC∴OE=OF∵OP平分∠EOF∴OP垂直平分EF．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，证明三角形全等，是解题的关键．18．（2023秋·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE=AD，连接CE，∠BAC=∠DAE=100°．(1)试说明BD=CE；(2)若DE=DC，求∠CDE的度数．【答案】(1)见详解(2)20°【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE=100°，可得∠BAD=∠CAE，再证明△BAD≌△CAESAS（2）根据对等边对等角以及三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=12180°-100°=40°，根据（1）中的△BAD≌△CAESAS【详解】（1）∵∠BAC=∠DAE=100°，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠ACB=1∵△BAD≌△CAESAS∴∠B=∠ACE=40°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=80°，∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=80°，∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=20°．【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明△BAD≌△CAESAS19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知：在△ABC中，AB=AC，点D、点E在边BC上，AD=AE．(1)如图1，求证：BD=CE；(2)如图2，当∠BAC=90°,∠DAE=45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有顶角为45°的等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)△ADE，△ACD,△DAE,△DBF【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，从而得到∠ADB=∠AEC，可证明△ABD≌（2）根据等腰三角形的性质和判定即可求解．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∵∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AD=AE，∴△ABD≌∴BD=CE；（2）解：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠DAE=45°，∴△ADE是顶角为45°的等腰三角形；∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°，∵△ABD≌∴∠BAD=∠CAE，∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAE=22.5°，∴∠CAD=∠BAE=∠BAD+∠DAE=67.5°，∠AEB=∠C+∠CAE=67.5°,∠BDF=∠ADE=∠ABC+∠BAD=67.5°，∴∠BAE=∠AEB=∠ADC=∠CAD，∠F=∠BDF=67.5°，∴△ACD,△DAE,△DBF是顶角为45°的等腰三角形．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与定理．20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC,E是BA延长线上的点．

(1)过点A在射线BE右侧作AD∥(2)在（1）的条件下，若AB=AC，求证：AD平分∠CAE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）如图所示，作∠EAD=∠B，从而利用同位角相等可得两直线平行；（2）由平行线的性质先证明∠EAD=∠B,∠DAC=∠C，再证明∠B=∠C，结合等量代换可得结论．【详解】（1）解：如图所示，AD为所求作的直线；

（2）∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAD=∠DAC，∴AD平分∠CAE．【点睛】本题考查的是作已知直线的平行线，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键．21．（2022春·河南焦作·八年级校考期中）已知命题：“等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．”为了探究该命题是否正确，小明采用分类讨论思想，从直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三个角度进行思考，先对前两种情况画出了图形，写出了已知、求证并给出了证明在探究在钝角三角形中是否正确时遇到了困难，请你补全图形，写出已知、求证，并给出证明．

【答案】见解析【分析】过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质可得∠BAH=12∠BAC，∠ABC=∠C，再由BD⊥AC【详解】解：已知：如图，AB=AC,BD⊥AC交CA的延长线于D，求证：∠DBC=1证明：过A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，∴∠BAH=12∠BAC∵BD⊥AC，∴∠BDC=∠AHB=90°，∴∠DBC+∠C=90°,∠ABC+∠BAH=90°，∴∠DBC=∠BAH，∴∠DBC=1【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．22．（2023秋·吉林长春·八年级东北师大附中校考开学考试）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．(2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°0<x<60①如图②，当DE⊥BC时，x的值为___________；②当△DEF是等腰三角形时，直接写出x的值．【答案】(1)见解析(2)①15°；②存在，22.5或45【分析】（1）由同角的余角相等可得∠CAF=∠B，由折叠的性质可得∠B=∠E，从而得到∠CAF=∠E，最后根据平行线的判定即可得证；（2）①根据三角形内角和定理分别求出∠C=60°，∠B=30°，根据折叠的性质进行计算即可；②分三种情况：当∠DFE=∠FDE时；当∠DFE=∠E=30°时；当∠EDF=∠E=30°，分别进行计算即可．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠CAF=∠B，由翻折可知，∠B=∠E，∴∠CAF=∠E，∴AC∥DE；（2）解：①∵∠C=2∠B，∠C+∠B=90°，∴∠C=60°，∠B=30°，∵DE⊥BC，∠E=∠B=30°，∴∠BFE=60°，∵∠BFE=∠B+∠BAF，∴∠BAF=30°，由翻折可知，x=∠BAD=1故答案为：15°；②∵∠BAD=x°，∠FDE=180°-∠E-∠FAD-∠ADF=180°-∠E-∠FAD-∠B-∠BAD=180°-30°-x°-30°-x°=120°-2x°，∠DFE=∠B+∠BAF=30°+2x°，∴当∠DFE=∠FDE时，即120°-2x°=30°+2x°，解得x=22.5，即x的值为22.5，当∠DFE=∠E=30°时，2x°+30°=30°，解得x=0，∵0<x<60，∴不合题意，故舍去；当∠EDF=∠E=30°，120°-2x°=30°，解得x=45，综上可知，当△DEF是等腰三角形时，x的值为22.5或45．【点睛】本题主要考查的是折叠的性质、三角形内角和定理和外角性质、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握折叠的性质、三角形内角和定理和外角性质、等腰三角形的性质、平行线的判定，是解题的关键．23．（2021秋·福建莆田·八年级校考期末）如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD=DE，连接AE．

(1)若∠BAE=44°，求∠C的度数．(2)若AC=7cm，DC=5cm，求△ABC的周长．【答案】(1)34°(2)17cm【分析】（1）由条件可推AD垂直平分BE，得∠BAD=∠EAD；根据EF垂直平分AC，设∠EAC=∠C=x，求出∠EAD建立方程即可求解；（2）根据C△ABC=AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC结合AB=AE=CE【详解】（1）解：∵AD⊥BC，且BD=DE∴AD垂直平分BE∴AB=AE,∠BAD=∠EAD∵EF垂直平分AC∴EA=EC,∠EAC=∠C设∠EAC=∠C=x，则∠AED=2x∵∠BAE=44°，∠BAD=∠EAD∴∠EAD=即2x=68°，解得x=34故∠C=34°（2）解：由（1）可得：AB=AE=CE，BD=DE∵C∴C△ABC=CE+DE+DC+AC=2DC+AC=17【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点．熟记相关结论是解题关键．24．（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，点D是AB边上一点，且CD=CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F，过点C作CG⊥BD，垂足为点G．

(1)求证：∠BCD=2∠ABF；(2)判断△BCF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)等腰三角形，见解析【分析】（1）过点C作CG⊥AB于点G，根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解；（2）由∠A=45°，CG⊥AB得出∠ACG=45°，即得∠ACB=45°+∠BCG，根据三角形外角定理得出∠BFC=45°+∠ABF，由（1）知∠BCG=∠ABF，可得∠BCF=∠BFC，由“等角对等边”即可得解．【详解】（1）证明：如图，

∵BC=DC，∴△BCD为等腰三角形，∵CG⊥BD，∴∠DCG=∠BCG=∠DCG+∠CDG=90°，∵BF⊥CD于点E，∴∠ABF+∠CDG=90°，∠ABF=∠DCG=1∠BCD=2∠ABF；（2）解：△BCF是等腰三角形，理由：∵∠A=45°，CG⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠ACB=∠ACG+∠BCG=45°+∠BCG，∠BFC=∠A+∠ABF=45°+∠ABF，由（1）知∠BCG=∠DCG=∠ABF，∴∠BCF=∠BFC，∴BC=BF，∴△BCF是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．25．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC．

(1)若AD=AE，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由等腰三角形三线合一，得BG=CG，（2）先求证BF=CF，根据等腰三角形三线合一求证结论．【详解】（1）证明：如图①，过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴BG=CG，∴BG-DG=CG-EG，∴BD=CE；（2）∵BD=CE，F为DE的中点，∴BD+DF=CE+EF，∴BF=CF∵AB=AC，∴AF⊥BC．【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质；熟练运用三线合一的性质是解题的关键．26．（2021春·上海松江·七年级校考期中）如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．(1)说明BG与CF相等的理由；(2)说明∠BGD与∠DGE相等的理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求出BD=DC，∠GBD=∠DCF，证出（2）根据线段垂直平分线性质得出EF=EG，求出∠DFE=∠DGE，【详解】（1）解：∵D为BC中点，∴BD=DC（中点的定义），∵BG∥∴∠GBD=∠DCF（两直线平行，内错角相等），在△BDG和△CDF中，∠GBD=∠FCDBD=CD∴△BDG≌△CDFASA∴BG=CF（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵△BDG≌△CDF，∴∠DFE=∠BGD，DG=DF，即D是GF边的中点，∵DE⊥GF，即DE为线段GF的中垂线，∴EF=EG，∴∠DFE=∠DGE（等边对等角），∴∠BGD=∠DGE（等量代换）．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，证明三角形全等．、27．（江苏省泰州市部分农村学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题（第一次月考））如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段

(1)当∠BDA=110°时，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“(2)当DC为何值时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA【答案】(1)110°，小(2)DC=4，理由见解析(3)110°或80°【分析】（1）由平角的定义求出∠CDA，进而求出∠CDE的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠DEC，由三角形内角和定理可判断∠BDA的变化；（2）当DC=4时，由“ASA”可证△ABD≌（3）根据题意进行分类讨论：①当AD=AE时，不符合题意，舍去；②当AD=ED时，③当AE=DE时．【详解】（1）解：∵∠BDA=110°∴∠CDA=180°-110°=70°，∵∠ADE=40°∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=70°-40°=30°，∵∠C=40°∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-30°-40°=110°；有图可知，点D从B向C运动时，∠BAD逐渐变大，∴在△ABD中，∠BDA故答案为：110°，小；（2）解：当DC=4时，△ABD≌理由如下：∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠ADE=40°∴∠BAD=∠CDE，∵AB=4，∴AB=DC，∵∠B=∠C，AB=DC∴△ABD≌（3）解：①当AD=AE时，∵∠ADE=40°，∴∠AED=40°，∵∠ACD=40°，∴点E和点C重合，不符合题意；②当AD=ED时，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=∠DEA=1∵∠B=∴∠BAC=180°-2×40°=100°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=30°，∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；③当AE=DE时，∵∠ADE=40°，∴∠DAE=40°，∵∠C=40°，∴∠BDA=∠C+∠DAE=40°+40°=80°．综上：∠BDA=110°或80°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．28．（2023秋·河南信阳·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AD是∠