高数大一上课件微积分函数极限

一、函数在无穷远点point)的极fxAe一、函数在无穷远点point)的极fxAefxA任意小X表示x¥的过程x1定义2.2(eX设fx)在|x|a上有定义若e0,X0使得当|x|X时|f(x)-A|<则称xfi¥时函数fx)有极限AlimfxAxfif(x)A(x¥22.+¥情形(1)xlimf(x)2.+¥情形(1)xlimf(x)=xfi设fx)在xa上有定义e0,使当xX时恒有|fxA|>-¥情形(2)xlimf(x)=设fx)在xa上有定义.e0,使当xX时|fxA|定义2.2(eX设fx)在|x|a上有定义若e0,$X0,使得当|x|X时,>|f(x)-A|<则称xfi¥时函数fx)有极限A,limfxAxfif(x)A(x¥3limf(x)=xfilimfx)Axfi-f(x)=limf(x)=xfilimfx)Axfi-f(x)=xfi讨论极限limarctanx是否存在例xfiπ2π解显然有limarctanxxfi,limarctanx=-2xfi-可⻅limarctanx和limarctanx虽然都存在xfi但它们不相等.xfi-limarctanx不存在xfiyπy=arctanx2O-24如果在x的某种趋向下,f(x)在x如果在x的某种趋向下,f(x)在x的该种趋向下limfx不存在例x2都不无限接近⼀个常数sin因此limsinx,limx2都不存在xfixfi5fx)Ayy=f(fx)Ayy=f(xfi"e>$X>当|x|X时,|f(x)-A|<A-e<f(x)<A+A+AAxX-当xX或xX时yf(x)图形yA为中心线,宽为2e6yy=sinxsin例证明xfi=xOxsinx-0e0要证x11sinx-0=sin,只<£|yy=sinxsin例证明xfi=xOxsinx-0e0要证x11sinx-0=sin,只<£|xxx|x解出|x|x|1,取X1当|x|X时eesinx0e,故limsinxxxxfi如果xifxC则直线yCy=f结7论图形的水平渐近线(horizontalx-xfi=2 +x-22证注意当x0时,-1+,+1xx2x11ex-xfi=2 +x-22证注意当x0时,-1+,+1xx2x11e<"e>+2,取X即x当xX时-2x--1 + xxfi=+\xxlimf(x)=xfi0,使当xX时恒有|fxA|"e>0,8★二、函数在一点(one-point)的极用数学语言刻划x无限接近于确定值x0f★二、函数在一点(one-point)的极用数学语言刻划x无限接近于确定值x0ffxA任意小f(x)-A0<x-x„d表示xdx0的过程dU(x0,dOxx0-x0+点x0的去心d邻域,d体现x接近x0程度91.定定义2.3(edf(x)在点1.定定义2.3(edf(x)在点x0某邻域内有定义若ed,时0x-f(x)-A<则称xfix0时函数fx)有极限A记limfxA或fxxfiA(x定义2.3(edf(x)在点x0若e0$定义2.3(edf(x)在点x0若e0$d0使时,恒0x-f(x)-A<则称xx0时函数fx)有极限A,limfxAf(x)A(xfix0xfi(1)定义中的0注所以xx-表示xx0x0时,f(x)f(x)在点x0定义中d标志x接近x0的程度,它与有关⼀般地说e越小,d也将越小不要求最大的d,只要求d存在即可limfxAxfif(x)-A<x-limfxAxfif(x)-A<x-y<de0$d0,0e0作出带形区yf(A-e<y<AA必存在xA-0x-0<dOx0-x0+x⼀般说来,论证limfx)Ax⼀般说来,论证limfx)Axfi出发,推导出应小于怎样的正数f(x)-A这个正数就是要找的与e相对应的d就证明完毕.这个推导常常是困难的适当放大些,f(x)-的式子,找到⼀个需要的dx- 证明limC=C,(C为常数xfi任取d0,当0"e>证x-d时=0< 证明limC=C,(C为常数xfi任取d0,当0"e>证x-d时=0<limC=Cxfi\f(x)-A=C-证明limxx0xfif(x)-A"e>x-,证取d当0x-de时f(x)-Ax-<limx=x0xfi\f(x)=e0,$d0当0x-时xfif(x)-<1x-证明=例x-xfi函数在点x1处没有定义证x-f(x)-A-2x-"ex-证明=例x-xfi函数在点x1处没有定义证x-f(x)-A-2x-"e>x-只要取df(x)-A<x1d时,-当0-2<x-x-\limxfi=x-f(x)=e0,$d0当0x-时xfif(x)-<1x-例证明当x00时xx0xfix-证f(x)-Axx=0xx0<£f(x)-Ae0,要x0e且x<xx0e当0取dmin{x0x-d时x-例证明当x00时xx0xfix-证f(x)-Axx=0xx0<£f(x)-Ae0,要x0e且x<xx0e当0取dmin{x0x-d时有xfix<\xx0x-(1证明lim(4x1xfie0,由证4x-(4x+1)-9(4x+1)-(1证明lim(4x1xfie0,由证4x-(4x+1)-9(4x+1)-9<解不等式x-2<dx-2<e4可取d,x2d时,(4x+1)-9<e,\lim(4x+1)=xfif(x)=e0,$d0当0x-时xfif(x)-<(2)证明limcosxcosxfi-2sinx+sinx-cosx-cos证=022£(2)证明limcosxcosxfi-2sinx+sinx-cosx-cos证=022£2sinx-x-<02e0,可取de,当0x-d时<有cosxcoslimcosx=cosxfi同样有limsinxsinx0(自己证xfif(x)=e0$d0当0x-时xfif(x)-<幂函数,指数函数,对数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数及反三角函数等基本初等函数,在其定义域内的每点处的极限都存在,并且等于函数在该点处3.左、右极限(单侧极限y=1-x设fx)3.左、右极限(单侧极限y=1-x设fx)1x<x‡y=x+2 +1limf(x)=xfi分x0和xOxx从左侧无限趋近x0,记作xx从右侧无限趋近x0记作x-x0+义f(x)在点x0某去心邻域内有定义f(x)-A<则称xx0时函数fx)有极限义f(x)在点x0某去心邻域内有定义f(x)-A<则称xx0时函数fx)有极限e0,$d0,恒有fxAdxx0时fx)A或fx f(-0)=-00xfix-0(xfix-0e0$d0,恒有fxAxx0d时0A或fx记 fx)Af00xfix0(xfix+0若e0,$d0使当0x-注{x0x-<d={注{x0x-<d={x0<x-x0<d}{x-d<x-x0<f(x)=xfi左极限fx00)和右极限fx00)且fx00f(x0+0)=性质常用于判断分段函数x分段时的极限试证函数fxxx<,例x‡sin当x证时,无极限f(x试证函数fxxx<,例x‡sin当x证时,无极限f(x)=x=f(x)=limsinx=左、右极限不相等,当0时xx00xfi时,fx)无极x.limsinx=sinxfi讨论lim|x|的存在性例xxfilim-lim|x|证yxxxfi-讨论lim|x|的存在性例xxfilim-lim|x|证yxxxfi-xfi-xfi-1lim|x|xxOxxfixxfi-=lim1=xfi左、右极限存在但不相等故极限不存在函数极限与数列极限相比有类似的性质,f函数极限与数列极限相比有类似的性质,f(x)有极限则极限值必唯⼀定理2.8(局部有界性)若当xx0时,f(x)极限f(x)在Ux0d)上有界若当x¥时0,当|x|X时ff(x)有极限则存在证fxA取e1,则$dxfid使当0x-x证fxA取e1,则$dxfid使当0x-xf(x)-A<f(x)f(x)-A+A+M<ed定义f(x)=e0$d0当0x-时xfif(x)-<fxA0,则在Ux0,d内定理2.9xfi有|fx||AfxA0,则在Ux0,d内定理2.9xfi有|fx||A|2由 f(x)=A,对e=|A|,$d>证2f(x)-Axfi|A,d使当0xx2f(x)<A+|AA-|A|22若A0,有fx)A;若A0有fxA22总之有|fx||A|2如果limf如果limfx)A而且A0(A0则在Ux0d内,有fx)0(或fx)推论2.2如果在Ux0,d内有fx)0(或fx)£xfi而且xfifx)A,那么A0(或A£推论2.2如果在Ux0,d内有fx)0(或fx)£而且证设fx0假设上述论断不成立即设A那末定理3就有Ux0d),fx这与假设矛盾,AfxA,那么A0(或A£xfifx£0的情形若定理3推论中的条件改为fx)是否必有A如推论2.2如果在Ux0,d内有fx)0(或fx)£而且证设fx0假设上述论断不成立即设A那末定理3就有Ux0d),fx这与假设矛盾,AfxA,那么A0(或A£xfifx£0的情形若定理3推论中的条件改为fx)是否必有A如★极限limfx)存在的充要条件为对于fxfi定义域内任⼀收敛于x0的数列{xn},且满足:(n˛N相应的函数值数列{f(★极限limfx)存在的充要条件为对于fxfi定义域内任⼀收敛于x0的数列{xn},且满足:(n˛N相应的函数值数列{f(xn)}均收敛.xn„设fxA,则e0,$d证xfi|d时,有|fxA|limxn=当0<|x故对d0,$N,当nN时,有|-x0|<d当nN时,0<|xnx0|d有|fxnA|即limf(xn)=f(x)=e0$d0当0x-时xfif(x)-<★极限limfx)存在的充要条件为对于fxfi定义域内任⼀收敛于x0的数列{xn★极限limfx)存在的充要条件为对于fxfi定义域内任⼀收敛于x0的数列{xn且满足:(n˛N),相应的函数值数列{f(xn)}均收敛„满足定理中条件的函数值数列{f证极限均相等,设lim{fxnfx)或fxAxfixfi0<|0,n˛N,n010数列{xn}满-x0|<n,|f(xn)-A|x0但{f(xn)}不趋向于A矛盾xnfix0且由定理4(函数极限与数列极限的关系)函数极限的许多性质转化为数列极限去讨论.用它还可证明函数由定理4(函数极限与数列极限的关系)函数极限的许多性质转化为数列极限去讨论.用它还可证明函数f(x)极限不存在,但数列xnxn}都收敛于x0且xnx0xnx0fxnfxn)}却收敛于不同的极限,证明当xfi0时,函数sin1的极限不存在x例取x1x¢1nπ证nn1证明当xfi0时,函数sin1的极限不存在x例取x1x¢1nπ证nn12nπ2limxn0,且xn0,xn0,limxn=1limsin=limsinnπ=1=limsin(2nπ+1π)=2故当xfi0时,函数sin1的极限不存在x注fx)等(包括单侧极限xfi注fx)等(包括单侧极限xfi"eX"或"eX"或"ed"定义唯⼀性;局部有界性ed的关系是先ed的关系是先给定e后唯⼀确定B先确定e后确定d,但d的值不唯⼀先确定d后给定e与d无关(2)如果fx)存在,则fx)与Cxx(2)如果fx)存在,则fx)与Cxx00fx)存在且limfx)xfif(x0xfifx存在但不⼀定有f(x)(B)f(x0xfixf