广东省广州市2021年中考数学真题卷（含答案）

广州市2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号

条形码贴在答题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选

择题答案，用0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。

答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）

1.下列四个选项中，为负整数的是（）

A.0B.-0.5C.-D.-2

2.如图，在数轴上，点A、8分别表示〃、〃，且〃+h=0,若AB=6,则点A表示的数为（）

-----A-------------Bhx►

A.-3B.0C.3D.-6

3.方程」-=2的解为（）

x-3x

A.x=-6B.x=-2C.x=2D.x=6

4.下列运算正确的是（）

A.|-（-2）|=-2B.3+73=373

C.（a2b3）2=〃％6D.(a-2)2=q2-4

5.下列命题中，为真命题的是（）

（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形

（3）对角线相等的平行四边形是菱形

（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形

A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)

6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学

生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2

名女学生的概率为（）

A.ZB.Ac.AD.A

3236

7.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24am若NACB=60°,则

劣弧A8的长是（）

A.811c机B.16ncmC.32ncmD.192irc7w

8.抛物线yuoAfcc+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5）,则当x=2

时，y的值为（）

A.-5B.-3C.-ID.5

9.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到

△A8'C,使点C'落在A8边上，连结88',则sin/8B'C的值为（）

A.3B.AC.逅D.2辰

5555

10.在平面直角坐标系xOy中，矩形0ABe的点A在函数y=l（x>0）的图象上，点C

X

在函数y=（x<0）的图象上，若点B的横坐标为-工，则点A的坐标为（）

x2

A.（A,2）B.（返,&）C.（2,1）D.（&,返）

2222

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.代数式/羡在实数范围内有意义时，X应满足的条件是.

12.方程f-4x=0的实数解是.

13.如图，在RtZ\ABC中，NC=90°,NA=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB

14.一元二次方程/-4x+m=0有两个相等的实数根，点4Qi，？)、B(X2,)2)是反比

例函数尸典上的两个点,若xi〈X2〈0,则yiV2(填“V"或或“=

X

15.如图，在△48C中，AC=BC,NB=38°,点力是边A8上一点，点8关于直线C。

的对称点为夕，当夕Q〃AC时，则NBCQ的度数为.

16.如图，正方形A8C。的边长为4,点E是边8c上一点，且8E=3,以点A为圆心，3

为半径的圆分别交AB、AO于点F、G,DF与AE交于点H.并与。4交于点K,连结

HG、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有(填写所有正确结论

的序号).

(1)”是尸K的中点

(2)/XHGDm/\HEC

(3)SAAWG：S&DHC=9：16

(4)DK=L

5

|.4r-------

BEC

三、解答题(本大题共9小题，满分72分)

17.解方程组产x-4

Ix+y=6

18.如图，点E、尸在线段BC上，AB//CD,ZA=ZD,BE=CF,证明：AE=DF.

nmm-n

(1)化简A；

(2)若机+〃-2^=0,求A的值.

20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得

到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：

3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4

根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数123456

人数12a6h2

(1)表格中的“=,b=；

(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为,中位数为：

(3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加

志愿者活动的次数为4次的人数.

21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、

“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次.

(1)若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训

人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

(2)“粤菜师傅”工程开展以来，己累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤

菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李

某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

22.如图，在四边形ABC£＞中，/A8C=90°,点E是4c的中点，且4C=AD

(1)尺规作图：作NCA。的平分线4凡交CD于点F,连结E/、B尸(保留作图痕迹，

不写作法)；

(2)在(1)所作的图中，若N8AQ=45°,且/CAO=2/BAC,证明：△BEF为等边

三角形.

23.如图，在平面直角坐标系xO)'中，直线/：>=1+4分别与x轴，y轴相交于A、8两

2

点，点P(x,>-)为直线/在第二象限的点.

(1)求A、8两点的坐标；

(2)设△必。的面积为S,求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

(3)作△B4O的外接圆。C,延长PC交0c于点。，当△POQ的面积最小时，求0c

的半径.

(1)当，"=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；

(2)该抛物线的顶点随着机的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点

坐标；

(3)已知点E(-l,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物

线顶点横坐标的取值范围.

25.如图，在菱形ABC。中，ZDAB=60°,AB=2,点E为边AB上一个动点，延长BA

到点凡使AF=AE,且CF、相交于点G.

备用图

(1)当点E运动到AB中点时，证明：四边形。FEC是平行四边形；

(2)当CG=2时，求AE的长；

(3)当点E从点A开始向右运动到点8时，求点G运动路径的长度.

参考答案与解析

一.选择题（共10小题）

1.下列四个选项中，为负整数的是（）

A.0B.-0.5C.-A/2D.-2

【分析】根据整数的概念可以解答本题.

【解答】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意；

B、-0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；

C、-我是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；

。、-2是负整数，故此选项符合题意.

故选：D.

2.如图，在数轴上，点A、B分别表示〃、h,且a+b=0,若AB=6,则点A表示的数为（）

1

---ABh----x►

A.-3B.0C.3D.-6

【分析】根据相反数的性质，由〃+b=0,A8=6得。<0,b>0,b=-a,故（-

a）=6.进而推断出a=-3.

【解答】解：-：a+h=0,

：.a=-b,即。与人互为相反数.

又・.・A8=6,

:・b-a=6.

：.2h=6.

：.h=3.

・•.〃=-3,即点A表示的数为-3.

故选：A.

3.方程，=2的解为（）

x-3x

A.x=-6B.x=-2C.x=2D.x=6

【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论.

【解答】解：去分母，得1=合-6,

・・x=6.

经检验，x=6是原方程的解.

故选：D.

4.下列运算正确的是()

A.I-(-2)|=-2B.3+我=3娟

C.(a2/?3)2=a4b6D.(a-2)2=a2-4

【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、塞的乘方和积的乘方的运算法则，

完全平方公式等知识进行计算即可.

【解答】解：4、5(-2)|=2,原计算错误，故本选项不符合题意；

8、3与我不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；

C、(£/)2=“％6,原计算正确，故本选项符合题意；

D、(a-2)2=a2-4a+4,原计算错误，故本选项不符合题意.

故选：C.

5.下列命题中，为真命题的是()

(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形

(2)对角线互相垂直的四边形是菱形

(3)对角线相等的平行四边形是菱形

(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形

A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)

【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意;

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

(3)对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；

(4)有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，

真命题为(1)(4),

故选：B.

6.为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学

生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2

名女学生的概率为()

A.2B.Ac.AD.A

3236

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，再由

概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如图:

开始

女女女男

/T\Z\z4\/N

女女男女女男女女男女女女

共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种,

，恰好抽到2名女学生的概率为g=工,

122

故选：B.

7.一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm,若NACB=60°,则

劣弧AB的长是（）

A.8nc7"B.\（mcmC.32ncmD.192Tle7〃

【分析】首先利用相切的定义得到NOAC=/O8C=90°,然后根据/AC8=60°求得

N4OB=120。，从而利用弧长公式求得答案即可.

【解答】解：由题意得：CA和CB分别与。。分别相切于点A和点B,

：.OA±CA,0B1CB,

.../O4C=NO3C=90°,

,：ZACB=60°,

AZAOB=\20°,

.120KX24=I6K5）,

180

故选：B.

8.抛物线y=oAbx+c经过点（-1,0）、（3,0）,且与y轴交于点（0,-5）,则当x=2

时，y的值为（）

A.-5B.-3C.-1D.5

【分析】根据抛物线于x周两交点，及于y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称

性可求y=-5.

【解答】解：如图

；抛物线y=o?+hx+c经过点(7,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,-5),

可画出上图，

抛物线对称轴尸土3=1,

2

...点(0,-5)的对称点是(2,-5),

二当x=2时，y的值为-5.

故选：A.

9.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将AABC绕点A逆时针旋转得到

△A3'C,使点C'落在边上，连结38',贝ijsin/3B'C的值为()

A.3B.AC.逅D.2疾

5555

【分析】在RtZ\4BC中，利用勾股定理可求A8,由旋转的性质可得AC=AC=6,BC=

B'C'=8,ZC=ZAC/?'=90°,在BBC'中，由勾股定理可求BB，的长，即可求解.

【解答】解：VZC=90°,AC=6,BC=8,

A3=JAC2+BC2=。36+64=1。,

・・,将△ABC绕点4逆时针旋转得到C,

：.AC=AC=69BC=8C=8,NC=NAC£=90°,

V4,

••B，B=dc，B，~2+B7C7~2=V16+64-4V5»

：.smZBB'C'=区一=_^==返

BB，W55

故选：C.

10.在平面直角坐标系xOy中，矩形0ABe的点A在函数y=」(x>0)的图象上，点C

X

在函数y=-1(x<o)的图象上，若点B的横坐标为-工，则点A的坐标为()

■X2

A.(A,2)B.(返，圾)C.(2,工)D.(如,返)

2222

【分析】如图，作AD1.X轴于D,CELx轴于E,通过证得△COES/^OA。得至IJ

^^^=22=2,则OE=2AZ),CE=2OD,设ACm,工)(相>0),则。(-2,2m),

ADOD0A1mm

由OE=0-(-2.)=2得到〃l(-Z)=2,解分式方程即可求得A的坐标.

1nm2m

【解答】解：如图，作轴于。，CE_Lx轴于E,

：四边形0ABe是矩形，

/.ZAOC=90Q,

/.ZAOD+ZCOE=90°,

VZAOD+ZOAD=90°,

：.ZCOE=ZOAD,

'：ZCEO=ZODA,

：.XCOES*OAD,

S

.ACOE(0C)2)OE,CE=OC

^AAODOAADODOA

VSACOE^—X|-4|=2,SAAOD=—x1=工，

222

•QE-CE0C=2i

*'AD=OD"OAT

：.OE=2AD,CE=2OD,

设A(m,—)(m>0),

m

：.C(-2,2m),

m

:.OE=O-（-2）=2,

mm

•••点B的横坐标为-工，

2

••*Hml_\（_—7）-_^―2,

2m

整理得2m2+7加-4=o,

m2=-4（舍去）,

2

.♦.A（A,2）,

2

故选：A.

二.填空题(共6小题)

11.代数式J获在实数范围内有意义时，X应满足的条件是G6

【分析】二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数.

【解答】解：代数式正年在实数范围内有意义时，x-620,

解得

・・・x应满足的条件是x26.

故答案为：x26.

12.方程/-4工=0的实数解是总=0,『=4.

【分析】方程利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：方程7-4尤=0,

分解因式得：x(%-4)=0,

可得x=0或x-4=0,

解得：xi=0,X2=4.

故答案为：Xi=0,12=4.

13.如图，在RtZ\4BC中，ZC=90°,NA=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB

于点£>、E,连结BD若C£>=1,则AE>的长为2.

【分析】由线段垂直平分线的性质可得AO=8D,利用含30°角的直角三角形的性质可

求解BO的长，进而求解.

【解答】解：•••£»£垂直平分AB,

J.AD=BD,

VZC=90°,ZA=30°,CD=1,

：.BD=2CD=2,

：.AD=2.

故答案为2.

14.―■元二次方程/-4x+m=0有两个相等的实数根，点A（xi，yi）、B（双，”）是反比

例函数尸典上的两个点，若加<汹<0,则VI>丫2（填或“>"或"=

x

【分析】由一元二次方程根的情况，求得〃7的值，确定反比例函数丫=皿图象经过的象

X

限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论.

【解答】解：•••一元二次方程7-4x+m=0有两个相等的实数根，

AA=16-4/72=0,

解得m=4f

V/w>0,

...反比例函数y=四图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，

x

Vxi<x2<0,

•'•yi>y2>

故答案为>.

15.如图，在△A8C中，AC=BC,/8=38°,点。是边AB上一点，点B关于直线CO

的对称点为B',当B'O〃AC时，则NBCQ的度数为32°.

B

D

【分析】先根据等腰三角形的性质得到/A=NB=38°,再利用平行线的性质得/AQB'

=/4=38°,接着根据轴对称的性质得到/COS'=NCDB,则可出NC£>8的度数，

然后利用三角形内角和计算出N8CO的度数.

【解答】'：AC=BC,

，/A=NB=38°,

'：B'D//AC,

：.NADB'=/4=38°,

；点B关于直线CD的对称点为B',

:.NCDB'=NCDB=L(38°+180°)=109°,

2

AZBC£>=180°-ZB-ZC£)B=180°-39°-109°=32°.

故答案为32°.

16.如图，正方形A8CO的边长为4,点E是边8c上一点，且8E=3,以点A为圆心，3

为半径的圆分别交AB、AD于点尸、G,DF与AE交于点H.并与交于点K,连结

HG、CH.给出下列四个结论.其中正确的结论有⑴⑶(4)(填写所有正确

结论的序号).

(1)，是尸K的中点

(2)2HGD刍AHEC

(3)SAAHG：S&DHC=9：16

(4)DK=Z.

5

【分析】(1)先证明aABE丝得/AFZ>+N&4E=/AE8+/&4E=90°,AHL

FK,由垂径定理，得：FH=HK,即“是尸K的中点；

(2)只要证明题干任意一组对应边不相等即可；

(3)分别过”分别作，于M,HNLBC于N,由余弦三角函数和勾股定理算出

THM,HT,再算面积，即得SAAHG：&DHC=9：16；

(4)余弦三角函数和勾股定理算出了FK,即可得OK.

【解答】解：(1)在△ABE与△£>/!尸中，

"AD=AB

<NDAF=NABE，

AF=BE

.'△ABE四△加尸(SAS),

ZAFD=ZAEB,

：.NAFD+NBAE=NAEB+NBAE=90°,

：.AH±FK,

由垂径定理，

得：FH=HK,

即”是尸K的中点，故(1)正确；

(2)如图，过H分别作于M,HNLBC于N,

"：AB=4,BE=3,

AA£=VAB2+BE2=5,

NBAE=NHAF=4AHM,

/.cosZBAE=cosZHAF=cosZAHM,

•・•—AM二—AH=—AB—_—4,

AHAFAE5

525

：.HN=4-堂=星，

2525

即HMWHN,

"MN//CD,

:.MD=CN,

V//D=VHM2+MD2,

"C=4HN2式心

...△4G。丝是错误的，故（2）不正确;

（3）由舱）知‘AA/=VAH2-HN2=-|F,

：.DM==1^，

2525

•:MN"CD,

：.MD=HT=^,

25

oT-AG'HM

...AAHG*-------=A,故（3）正确；

SAHCD-1<D-HT16

•IQ

.♦FK=2HF=*，

：.DK=DF-FK=L,故（4）正确.

5

三.解答题（共9小题）

17.解方程组卜=x-4

[x+y=6

【分析】用代入消元法解二元一次方程组即可.

【解答】解：产X-&

Ix+y=6②

将①代入②得，x+(x-4)=6,

••x-,5,

将x=5代入①得，y=l,

.•.方程组的解为［x=5.

Iy=l

18.如图，点E、F在线段8c上，AB//CD,/A=/O,BE=CF,证明：AE^DF.

【分析】欲证尸，可证△ABEWOCF.由AB〃C£>,得NB=NC.又因为乙4=N

D,BE=CF,所以△ABE也△£)”.

【解答】证明：•.•A8〃C£),

:.NB=NC.

在△4BE和△OCF中，

'/A=/D,

<ZB=ZC,

BE=CF,

：./\ABE乌DCF(A4S).

：.AE^DF.

19.已知A=(jn-n.).V3mn

nmm-n

(1)化简A；

(2)若加+〃-2让=0,求A的值.

【分析】(1)根据分式的减法和除法可以化简A；

(2)根据机+H-2«=0,可以得到w7+〃=2«,然后代入(1)中化简后的A,即可求

得A的值.

【解答】解：(1)A=n)tV3m

nmm-n

_m2-n2V3inn

-------■-----

mnm-n

-(m+n)(m-n)遮m

innm-n

=V3(m+n)；

(2)Vm+M-273=0,

.,，"+〃=2«,

当瓶+〃=2«时，A=«X2«=6.

20.某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得

到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：

3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5>4>4,2,4

根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：

次数123456

人数12a6b2

(1)表格中的。=4,b=5；

(2)在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为4,中位数为4；

(3)若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加

志愿者活动的次数为4次的人数.

【分析】(1)由题中的数据即可求解；

(2)根据中位数、众数的定义，即可解答；

(3)根据样本估计总体，即可解答.

【解答】解：(1)由该20名学生参加志愿者活动的次数得：«=4,b=5,

故答案为：4,5；

(2)该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：

1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,

：4出现的最多，由6次，

众数为4,中位数为第10,第11个数的平均数至里=4,

2

故答案为：4,4；

(3)300义且=90(人).

20

答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人.

21.民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、

“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次.

（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训

人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；

（2）“粤菜师傅”工程开展以来，己累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤

菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李

某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？

【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划

新增加培训2%万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元

一次方程，解之即可得出结论；

（2）设李某的年工资收入增长率为机，利用李某今年的年工资收入=李某去年的年工资

收入X（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于

，"的一元一次不等式，解之即可得出，"的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论.

【解答】解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年

计划新增加培训”万人次，

依题意得：31+2x+x=100,

解得：x=23.

答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次.

（2）设李某的年工资收入增长率为加，

依题意得：9.6（1+w）>12.48,

解得：，〃20.3=30%.

答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%.

22.如图，在四边形A8CQ中，NABC=90°,点E是AC的中点，且AC=AQ.

（1）尺规作图：作NC4Q的平分线AF,交CD于点F,连结EF、8F（保留作图痕迹，

不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，若/84。=45°,且证明：△BEF为等边

三角形.

A

D

BC

【分析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）想办法证明所=ERZBEF=60°,可得结论.

【解答】（1）解：如图，图形如图所示.

(2)证明：VAC=AD,A尸平分NCAD,

：.ZCAF=ZDAFfAFVCD,

\9ZCAD=2ZBAC,ZBAC=45°,

AZBAE=ZEAF=ZMD=15°,

VZABC=ZAFC=90°,AE=EC,

•：BE=AE=EC,EF=AE=EC,

:.EB=EF,ZEAB=ZEBA=15°,ZEAF=ZEFA=\5°,

AZBEC=ZEAB+ZEBA=30°,ZCEF=ZEAF+ZEFA=30Q,

AZBEF=60°,

•••△8所是等边三角形.

23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=L+4分别与x轴，y轴相交于A、B两

2

点，点P(x,y)为直线/在第二象限的点.

(1)求A、8两点的坐标；

(2)设△以。的面积为S,求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;

(3)作△B40的外接圆。C,延长PC交OC于点Q,当△POQ的面积最小时，求

的半径.

【分析】(1)根据直线>=工+4分别与x轴，y轴相交于A、8两点，令x=0,贝！Iy=4；

2

令y=0,则x=-8,即得A,B的坐标；

(2)设P(x,lx+4).根据三角形面积公式，表示出S关于尤的函数解析式，根据尸

在线段AB上得出x的取值范围；

(3)将SMOQ表示为0尸，从而当△POQ的面积最小时，此时OP最小，而OP_LAB

时，OP最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题.

【解答】解：(1)•••直线产工+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点,

2

・••当x=0时、y=4；

当y=0时，x=-8,

・"(-8,0),B(0,4)；

(2)•・•点二(x,y)为直线/在第二象限的点,

•♦P(x,""""x+4)，

(yx+4)=4X=2x+16(-8<x<0)；

：.S=2x+\6(-8<x<0)；

(3)VA(-8,0),B(0,4),

・・・OA=8,05=4,

在RtZ\A08中，由勾股定理得:

AS=VOA240B2=VS2+42=蛎

在OC中，・.,尸。是直径，

：.ZPQO=90°,

,/ZBAO=ZQ,

/.tanQ=tan/8A0=」，

一2

•.•—PO=—1,

0Q2

・・.OQ=2。尸，

.•.S"0Q=*PXOQ由px20P=0p2，

当SAPOQ最小,则OP最小时,

•.•点户在线段AB上运动，

.•.当OP_LAB时，OP最小，

二S„AOB=^X0AX0B-XABXOP，

•5OAXOB8X4875

廿AB=47T5'

Vsin(2:=sinZBAO,

•・---O-P--=--O-B-，

PQAB

诉

•.•---5--=---4==->

PQW5

，PQ=8,

.•.0C半径为4.

24.已知抛物线y=7-(m+1)x+2m+3.

(1)当"?=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上；

(2)该抛物线的顶点随着机的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点

坐标；

(3)已知点E(-I,-1)、F(3,7),若该抛物线与线段E尸只有一个交点，求该抛物

线顶点横坐标的取值范围.

【分析】(1)当m=0时，抛物线为)=*-x+3,将x=2代入得)，=5,故点(2,4)不

在抛物线上；

22

(2)抛物线y=/-(〃?+1)x+2%+3的顶点为(庭1,H+$叫I),而H+6空

244

=-1(,*-3)2+5,即得,〃=3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标

4

为:(2,5)；

v=2x+1

(3)求出直线E尸的解析式为y=2r+l,由得直线y=2r+l与抛

y=x2-(m+l)x+2m+3

物线y=/-(m+1)x+2m+3的交点为：(2,5)和(机+1,2m+3),因(2,5)在线段

EF上,由已知可得(机+1,2m+3)不在线段E尸上，即是相+1<-1或机+1>3,或(2,

5)与(m+1,2m+3)重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点=理文<-1或x项点=画包>3

2222

或X顶点=].

【解答】解：(1)当相=0时，抛物线为y=/-x+3,

将x=2代入得y—4-2+3=5>

...点(2,4)不在抛物线上；

(2)抛物线y=--(〃?+1)x+2,〃+3的顶点为(三包，4(2m+3A[-(m+l)]),

24

2

化简得(空工，工则必),

24

顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，

2

而-m+6m+ll=2+5,

44

.•.机=3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，

此时顶点坐标为：(2,5)；

(3)设直线E尸解析式为)=履+6,将E(-1,-1)、尸(3,7)代入得：

(十-k+b,解得(k=2,

l7=3k+bIb=l

直线EF的解析式为y=2x+l,

由产,得"x=2或[x=m+l,

y=x-(m+1)x+2m+3〔y=5|y=2m+3

直线y=2x+l与抛物线y=/-(m+1)x+2n?+3的交点为：(2,5)和(w+1,2w+3),

而(2,5)在线段EF上，

,若该抛物线与线段E尸只有一个交点，则(机+1,2/»+3)不在线段EF上，或(2,5)

与(TM+1>2n?+3)重合，

.,./?z+l<-1或nz+l>3或，"+1=2（此时25+3=5）,

.,.此时抛物线顶点横坐标X顶点=空工<-上或X项点=理2>3或X顶点=更U=上包=1.

222222

25.如图，在菱形ABCQ中，ND4B=60°,A8=2,点E为边AB上一个动点，延长8A

到点F,使AF=AE,且CF、OE相交于点G.

备用图

(1)当点E运动到4B中点时，证明：四边形。EEC是平行四边形；

(2)当CG=2时，求AE的长；

(3)当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度.

【分析】(1)利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形,

(2)利用三角形相似，求出此时尸G的长，再借助直角三角形勾股定理求解，

(3)利用图形法，判断G点轨迹为一条线段，在对应点处求解.

【解答】解：(1)连接。凡CE,如图所示：

为AB中点，

:.AE=AF=^LAB,

2

:.EF=AB,

；四边形48C3是菱形，

：.EF//AB,

...四边形DFEC是平行四边形.

(2)作设4£：=项=胴，如图所示,

四边形ABC。是菱形，

J.CD//EF,

.♦.△COGs△尸EG,

•CDEF

"CG"FG'

：.FG=2m,

在RtZ\CB”中，NCBH=60°,BC=2,

sin60°=&1,

BC

cos60°=巨旦，BC=\,

BC

在RtZXC"/中，CF=2+2m,C"=F，FH=3+m,

CP=CIT+FH1,

即（2+2〃?）2=（亚2+（3+加2,

整理得:3m2+2m-8=0,

解得：m=至加2=-2（舍去），

3

.4

,,AEf

（3）因，点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD//AB,

线段EZ）与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG,运动刚开始时，A、F、H、G四点

重合，当〃点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG,

如图所示，作GbJ_AB,

；四边形ABCD为菱形，ZDAB=60°,AB=2,

：.CD//BF,8/）=2,

：.4CDGs丛FBG,

ACD__DG_）即BG=2£>G,

BFBG

■:BG+DG=BD=2,

.,.BG=A,

3

在RtZXGHB中，BG=鱼,ZDBA=60",

3

sin600=坦，GH=^巨，

BG3

cos60°=里BH=2,

BG3

在RtAA/7G中，4”=2-2=匹，GH=2^.,

333

AG2=（A）2+（空1）2=组

339

：.AG=-^：

3_

...G点路径长度为zYZ.

3

参考答案

一.选择题（共10小题）

1.下列四个选项中，为负整数的是（）

A.0B.-0.5C.-72D.-2

【分析】根据整数的概念可以解答本题.

【解答】解：A、0是整数，但0既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意;

8、-0.5是负分数，不是整数，故此选项不符合题意；

C、-我是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意；

。、-2是负整数，故此选项符合题意.

故选：D.

2.如图，在数轴上，点A、3分别表示〃、4且a+b=O,若AB=6,则点A表示的数为()

-----1----------h------►

ABx

A.-3B.0C.3D.-6

【分析】根据相反数的性质，由〃+匕=0,48=6得。<0,b>0,b=-a,故A8=Z?+(-

a)=6.进而推断出a=-3.

【解答】解：•・•〃+%=(),

：.a=-b,即a与二互为相反数.

又・.・A8=6,

:・b-。=6.

A26=6.

:.b=3.

・・・〃=-3,即点A表示的数为-3.

故选：A.

3.方程」」=2的解为()

x-3x

A.x:=-6B.x=-2C.X--2D.x=6

【分析】求解分式方程，根据方程的解得结论.

【解答】解：去分母，得x=2x-6,

••%—6.

经检验，x=6是原方程的解.

故选：D.

4.下列运算正确的是()

A.|-2)|=-2B.3+让=3我

C.(«V)2=办6D.(a-2)2-a2-4

【分析】根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幕的乘方和积的乘方的运算法则，

完全平方公式等知识进行计算即可.

【解答】解：A、5(-2)|=2,原计算错误，故本选项不符合题意；

8、3与«不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意；

C、（//）2=4％6,原计算正确，故本选项符合题意;

D、（〃-2）2=