高考数学MST2023届年一轮复习-部分9

学习数学领悟数学应用数学第十一章夜倚概率听江声，小舟统计寄余生

（3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件Z,由于事件/发生的频率2随着试验次数的增加稳定于概率

n

P«）,因此可以用频率;来估计概率P（/）.

n

考点聚焦突破分类讲练以例求出

考直一随机事件及其概率

角度1瓯机事件的关系

【例（2022•北京模拟）从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事

件是（）

A.取出的球至少有1个红球：取出的球都是红球B.取出的球恰有1个红球；取出的球恰有I个白球

C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球

【例12】（2022•惠州期末）下列说法中正确的是（）

A.若事件/与事件8是互斥事件，则尺&+卅6=1

B.若事件Z与事件8满足条件:p（/U8）=P（4）+P（8）=l,则事件”与事件8是对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶''是对立事件

D.把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙

分得红牌”是互斥事件

角度2频率与概率

【例I】（2018•北京卷）电影公司随机收集了电影的

有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有

两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加01，哪类电影的好评率减少0」，使得获得好

评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

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角度3统计与概率

【例卜1】（2022•大通期末）某高校对全体大一新生开展了一次有关“人工智能引领科技新发展”的学术讲

座，随后对人工智能相关知识进行了一次测试（满分100分），如图所示是在甲、乙两个学院中各抽取的5

名学生的成绩的茎叶图，由茎叶图可知，下列说法正确的是（）

①甲、乙的中位数之和为155；

②甲的平均成绩较低，方差较小；

③甲的平均成绩较低，方差较大；

④乙的平均成绩较高，方差较小；

⑤乙的平均成绩较高，方差较大

A.①®④B.①@④D.②⑤

【解题总结】

概率和频率的关系：率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，

它是频率的科学抽象，当试脸次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机

事件的概率.

【训练1】（2022•长沙模拟）从1,2,3,4,5,6这六个整数中任取两个数，下列叙述中是对立事件的是

（）

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是

偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

A.①B.（2X4）C.③D.①③

【训练2】（2022•南充模拟）今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，

众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.我市某医院的甲、乙、丙三名医生随机分

到湖北的Z,8两个城市支援，则每个城市至少有一名医生的概率为（）

考支二互斥事件与对立事件

【例1】（2022•驻马店模拟）书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件M表示“两本都是《红

楼梦》“；事件N表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件尸表示“取出的两本中至少有一本《红

楼梦》下列结论正确的是（）

A.〃与尸是互斥事件B.〃与N是互斥事件

C.N与尸是对立事件D.M,N,P两两互斥

【解烟总结】

1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立

事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有

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一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

3.求复杂的互斥事件的概率的两种方法

（1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算.

（2）间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（4）=1-尸（力，即运用逆向思维（正难则反）.特别是“至

多，“，至少，，型题目，用间接法求解就显得较简便.

【训练1】（2022•昌江期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件4为“向上的点数为1或4”，事件8为“向上的

点数为奇数“，则下列说法正确的是（）

25

A./与8互斥B./与8对立C.P（A+B）=-D.P（A+B）=-

36

【训练2】（2022•成都期末）袋中装有大小和材质均相同的红球4个，黄球2个，白球1个，从中随机取出

一个球，记事件4为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球“，则下列关于事件Z和事件8的关系说法

正确的是（）

A.不互斥但对立B.不互斥也不对立C.互斥且对立D.互斥但不对立

考直三相互独立事件

角度1相互独立事件概率的计算

【例1T】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙

保险相互独立，各车主间相互独立.

（1）求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；

（2）求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.

延伸探究：本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？

【解题总结】

（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤

①首先确定各事件之间是相互独立的.

②求出每个事件的概率，再求积.

（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.

【训练1】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为，和1,两人能否破译密码相互独立，求两人破

34

译时，以下事件发生的概率：

（1）两人都能破译的概率：

（2）恰有一人能破译的概率；

（3）至多有一人能破译的概率.

rc/

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角度2相互独立事件概率的综合应用

【例2-1】计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考

试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为g,

----在实际操作考试中“合格”的概率依次为1,--所有考试是否合格相互之间没有影响.

43236

(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？

(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.

【解题总结】

求较复杂事件的概率的一般步骤如下：

(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.

(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件

的概率.

【训练2】三个元件工，Tit7；正常工作的概率分别为:，7-7-将它们中某两个元件并联后再和第三个元

244

件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？

T2

T,

-4=1--

—{=]—

2”

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第2节概型无泪

考点出现频率2023年预测

2023年在选择题和填空题中仍会道点考查各种统计图表、古典概

古典概型II

型或几何概型及其概率计算，在解答题中重点考查频率分布直方

图及其应用（与概率相结合），离散性瓯机变量的分布列与均值，

几何概型II

二项分布及其应用，统计案例及其应用.

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知识梳理】

1.随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率,事件/的概率用代⑷表示.

2.古典概型

（1）定义

一般地，若试验E具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个:

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验£为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.

（2）古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间C包含〃个样本点，事件4包含其中的4个样本点，则定义事件/的

概率p（/）=4=34.

'）n〃（Q）

3.几何概型

（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概

率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

（2）几何概型基本事件的特点

①无限性：试验中所有可能出现的基本事件（结果）有无限多个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

（3）几何概型的概率公式：P（4）=塞，其中L为几何度量（长度、面积、体积）.

（4）几种常见的几何概型

①与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关.

②与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作

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为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题.

③与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题.

4.古典概型与几何概型的异同点

相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的.

不同点：古典概型要求随机试验的基本事件的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数

是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关.

考点聚焦突破分类耕练以例求法

考支一古典概型

角度1简单的古典概型问题.

【例1-1】（2021•乙卷）在区间（0,1）与。,2）中各随机取1个数，则两数之和大于’7的概率为（）

【例1-2】（2021•甲卷）将4个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1o224

AA.—B.—Cr.-Dn.一

3535

【例1-3】（2020•全国I卷）设。为正方形/BCD的中心，在。，A,B,C,O中任取3点，则取到的3点

共线的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

5525

【例・4】（2019•全国I卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6

个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“一一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰

有3个阳爻的概率是（）二二

A.AB.11C.2!D.11

16323216--------

【例1-5】（2017•全国H卷）从分别写有1、2、3、4、5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,

则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

A.—B.-C.—D.-

105105

【解题总结】

1.注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件/中所包含的基本事件数.

因此要注意清楚以下三个方面：

（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件4是什么.

2.解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

卜彳学习数学领悟数学应用数学

第十一章夜倚概率听江声，小舟统计寄余生

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件Z;

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件/中所包含的基本事件个数机；

（4）利用公"（"）=-基本事件的总数求出事件/叱权

3.解题方法技巧：

（1）利用对立事件、加法公式求古典^型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件/包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.

角度2古典概型与平面向量的交汇

【例2-1】（2022•武汉模拟）把一颗六个面分别标有I、2、3、4、5、6的正方体形的骰子投掷两次，观察

其出现的点数，并记第一次出现的点数为小，第二次出现的点数为〃，设向量力=（加，〃），向量4=（-2,1）,

则满足万的向量力的个数是（）

A.6B.5C.4D.3

角度3古典概型与解析几何的交汇

【例3-1]（2021•青岛二模）已知圆C:x2+/=i和直线/：y=%（x+2）,在（-、回，名）上随机选取一个数%,则

事件“直线/与圆C相交”发生的概率为（）

A.1B.1C.-D.1

5432

角度4古典概型与函数的交汇

【例41】（2022•黄冈模拟）若。，6e{-l,0,l,2},则函数/（x）=a?+2x+b有零点的概率为（）

A-B，IC-ID，I

角度5古典概率与统计的综合

【例5-1】（2021•北江中学）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间,

现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中

学生''分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,

[40,50],并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）写出。的值；

（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生

人数：

（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求

至少抽到I名高中生的概率.

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【解题总结】

I.有关古典概型与统计结合的题型是高考考查楼率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结

合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要

的信息，即可解决此类问题.

2.求复杂事件的概率通常有两种方法：

一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解.如果采用

解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏：如果采用第二种，一定要找准其对立事件，

否则容易出现错误.

【训练1】（2022•全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

22

【训练2】（2022•石家庄二中）双曲线C:工•一==1（。>0">0）其中。e{l,2,3,4},6e{l,2.3,

4},且6取到其中每个数都是等可能的，则直线/：N=x与双曲线C左右支各有一个交点的概率为

5

8

【训练3】（2021•成都七中）设平面向量工=（m,1）,1=（2,〃），其中加，«G{1,2,3,4）.记“使得

O瓦一小成立的（m，〃）“为事件/，则事件Z发生的概率为（）

A.-B.-C.-D.—

24816

【训练1】（2021•绵阳模拟）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方

图.根据标准，产品长度在区间［20,25）上为一等品，在区间［15,20）和［25,30）为二等品，在区间［10,15）和

［30,35）为三等品.用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（）

(HI6

0.05

004

003

01)2

1055Klt/t*

A.0.03B.0.05C.0.15D.0.25

考克二几何概型

角度1与长度有关的几何概型

【例1T】（2016•全国I卷）某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

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【例11】（2022•深圳中学）某公司的班车分别在8:00,8:30时刻发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站

乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过15分钟的概率是（）

A.1B.2C.-D.-

3838

【解题总结】

与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其极奉的计算公式为：

构成事件力的区域长度

试验的全部结果所构成的区域长度.

角度2与面积有关的几何概型

【例〉1］（2018•全国】卷）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个

半圆的直径分别为直角三角形48C的斜边8C,直角边4B,AC.A4BC的三边所围成的区域记为/,黑色部

分记为II,其余部分记为IH.在整个图形中随机取一点，此点取自I,II,川的概率分别记为pcp2.P},

则（）

A.p、=p2B.p、=PsC.p2=p3D.pt=p2+Pi

【例It】（2016•全国II卷）从区间［0,1］随机抽取2〃个数国,x21...»xn»yt.y2.....”构成〃个数对（占，

j,）.（x2,y2）...（x„,y„）,其中两数的平方和小于1的数对共有附个，则用随机模拟的方法得到的圆周率”的

近似值为（）

.4M2n4m2m

A.—B.—C.—D.——

mmnn

】（2017♦全国I）如图，正方形Z8CD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和

白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

角度3与线性规划交汇的问题

x-y+l>0

【例>1］（2022•宜宾模拟）在满足不等式组r+y-340的平面点集中随机取一点“（X。，"）,

^>0

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设事件4=那么事件4发生的概率是（）

A.1B.-C.-D.-

4433

【解题总结】

1.解决与面积有关的几何概型的方法：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的几何元素，

必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.

角度4与体积有关的几何概型

【例1-1】（2021•延边州一模）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相

垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖''（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”

的体积之比应为“：4,在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖''的概率为（）

A.1B.正

22

C.-D.立

33

【解题总结】

1.求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及

事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的问题常转化为其对立事件的概率问题求解.

【例5-1］（2022•渝中月考）如图，过正方形28C。的顶点/在NB3内任意作射线4P,则射线与正方形的交

点位于BC上的概率为（）

1.与角度有关的几何概型的求解方法

（1）若试脸的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为

C,,、_构成事件/的区域角度

（）一试验的全部结果所构成区域的角度,

（2）解决此类问题时注恚事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.

2.生活中的几何概型度量区域的构造方法：

（1）审题：通过阅读题目，提炼相关信息.

（2）建模：利用相关信息的特征，建立楼率模型.

（3）解模：求解建立的教学模型.

（4）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论.

【训练5】（2022•河南模拟）在区间（-1,切上随机取一个实数x,使得|tan］区理的概率为（）

A.-B.-C.1D.1

3342

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【训练6】（2022•辽宁一模）如图，48和CD是圆。两条互相垂直的直径，分别以04,OB,0C,OD为

直径作四个圆，在圆0内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）c

,4B.*

【训练7】（2022•山西二模）以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P,则P落在该

几何体内的概率为（）

A.1B.-C.1D.Z

8668

【训练8】（2022•南岗模拟）已知正方形Z8CD的边长为6,以/为顶点在/切。内部作射线"，射线/尸

与正方形Z8CZ）的边交于点M,则2的概率为（）

A.3B.-C.且D.-

2233

【训练9】（2022•西安一模）甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，

而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（）

A.2B.-C.-D.-

8455

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第3节条件附加

考点出现频率2023年预测

条件概率II2023年在选择题和填空题中办会重点考查各种统计图表、古

典袱型或几何柢型及其概率计算.在解答题中重点考查频率

相互独与条件柢率的公式

JXII分布立方图及其应用(与概率相结合)，两效性随机变量的分

布列与均值，二项分布及其应用，统计案例及其应用.

全概率公式I

基础知识诊断回顾教材务实基础

【知织梳理】

1.条件概率

(一)定义

一般地，设8为两个事件，且尸(/)>0,称尸(8|4)=华学为在事件/发生的条件下，事件8发生

的条件概率.尸(例⑷读作4发生的条件下8发生的概率.

注意：(1)条件概率尸(例力)中“|”后面就是条件；(2)若尸(⑷=0,表示条件4不可能发生，此时用条件

概率公式计算就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(4)>0的情况下进行.

(-)性质

(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在。和1之间，即04尸(8|/1)41.

(2)必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0.

(3)如果B与C互斥,则尸(8UCM)=P(C/)+P(C|/).

注意：(1)如果知道事件X发生会影响事件8发生的概率，那么P(8)xP(8|/l)；

(2)已知4发生，在此条件下8发生，相当于X8发生，要求P(8]⑷，相当于把/看作新的基本事件空

n(AB)

间计算Z8发生的概率，即尸(8]4)=夕半=」共=£

n(A)〃(⑷P(A)

丽

(三)计算方法

(1)利用定义计算：先分别计算概率P(48)和?(/),然后代入公式P(8|/f)=华孚即可.

r(A)

(2)借助古典概型计算概率的公式：先求事件4包含的基本事件数〃(⑷，再在事件力发生的条件下求

事件8包含的基本事件数〃(48),则尸(6⑷=5留.

2.相互独立与条件概率的关系

(-)相互独立事件的概念及性质

(1)相互独立事件的概念

335

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对于两个事件X,B,如果尸(8]/)=P(8),则意味着事件力的发生不影响事件8发生的概率.设尸(4)>0,

根据条件概率的计算公式，尸(8)=尸(8|4)=与冬，从而尸(48)=尸(4)P(8).

?(4)

由此我们可得：设/,8为两个事件，若P(/<8)=P8)P(8),则称事件4与事件8相互独立.

(2)概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件4与8,若尸(4)>0,则尸(Z8)=P(⑷?(8]4).我们称上式为概率

的乘法公式.

(3)相互独立事件的性质

如果事件4,8互相独立，那么4与6,X与B,彳与后也都相互独立.

(4)两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到"(">2,〃wN')个事件的相互独立性，即若事件4,A,,凡相互独

立，则这〃个事件同时发生的概率P(44…4)=尸(4)(4)…尸(4).

(-)事件的独立性

(1)事件/与B相互独立的充要条件是尸(N8)=P(/I)，(8).

(2)当P(8)>0时，/与8独立的充要条件是P(川8)=尸(/).

(3)如果P(4)>0,/与8独立，则3(814)=,北)=7(fP(B)成立.

3,全概率公式

(-)全概率公式(由因求果)

(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理i若样本空间。中的事件4，A2....4满足：①任意两个事件均互斥，即44=0,

/>j=I>2»­••(«,八②4+6+…+4=。；

③尸(4)>o,i=l,2,则对。中的任意事件8,都有8=84+84+…+84,,且

P(8)=支P(BA)fp(A,)P(BMJ-

/»!/»!

证明如下图所示，因为事件4,4，…，4中有且只有一个与事件B同时发生，其中4,%，…，4互斥，

即8=显然84,84,…84,也互不相容.所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

/=!

P(B)=P(^BA,)=P(BA,+BA2+--BAn)=P(BAJ+P(BA2)+—+P(BA„)

=P(At)P(B\AX)+P(A2)P{B\A2)+••-+P{An)P(B\A„)(阴4,)

即得到全概率公式：尸(8)=力尸(4)尸(8⑷

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注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概

率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理1中的已知条件后，将所研究事件的试验

结果视为8,而导致事件8发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为4,4，…，4，而且只

有4,4，…，儿发生了才有事件8的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.

（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多

种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

合理选择4，4，…，4，尸（4），尸（814）（，=1,2,…，"）易求.

（-）贝叶斯公式（执果求因）

尸(4)尸(8|Z)

（1）一般地，当0<P（⑷<1且尸（8）>0时，有尸（/忸）=

P(A)P{B|A)+P(A)P(B|A)

定理2若样本空间Q中的事件4,4，…，4满足：

①任意两个事件均互斥，即44=0,i,j=\,2,i#j;

②4+44--1-/4„=Q;

③O<p（4）<l,i=l,2,.

则对。中的任意概率非零的事件8,都有8=84+84+…+B4,且

:尸（4）尸（切4）P⑷P⑻4）

P（S）£24）尸（囚4）

/«=!

注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这

一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式

的意义是导致事件8发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.

(2)贝叶斯公式充分体现了尸(川8),P(A),P(B),P(B\A),尸(5|1),P(48)之间的转关系，即

P(A\B)=义竺，f\AB)=P(A\B)P(B)=P(B\A)P(A),P(B)=P(A)P(B\A)+尸(7)P(817)之间的内在联系.

P(B)

考点聚焦突破分类讲练以例求生

考点一条件概率

【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为力：事件“第

二次抽到黑球”为3.

（1）分别求事件B,408发生的概率；

（2）求

【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节

目，求：

（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；

（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.

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【例3】(2022•新高考1卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯

分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(I)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，/表示事件''选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到的人患有

该疾病”，"圆与空皿的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标

P{B\A)P(B\A)

为R.

⑴证明：心吗四.空也

PiA\B)P(A\B)

(ii)利用该调查数据，给出尸(川8),尸(川豆)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

P(K,k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解题，总结】

1.用定义法求条件概率P(8|4)的步骤

(1)分析题意，弄清概率模型：(2)计算P(4),尸(403):(3)代入公式求P(8|4)=曳虫曲.

2(4)

2.例2第(3)问利用了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重

要的求条件概率的方法.

3.计算条件概率的方法

(I)在缩小后的样本空间。，中计算事件8发生概率，即P(8|4).

(2)在原样本空间。中，先计算2408),尸(4),再利用公式尸(8|4)=生炉”计算求得P(8|/f).

P(4)

4.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可

得到复杂事件的概率(如例3).利用公式「(8UC|4)=尸(8M)+P(CM)可使条件概率的计算较为简单，

但应注意这个性质的使用前提是“8与C互斥

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4

【训练1］根据以往数据统计，某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为w，连续2天有客人入住的概率为

在该房间第一天有客人入住的条件下，求第二天也有客人入住的概率.

【训练2】从I、2、3、4,5、6、7、8、9中不放回地依次取2个数，事件/为“第一次取到的是奇数”,

B为“第二次取到的是3的整数倍”，求在A的条件下B发生的概率.

［训练］（2022•新高考2卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得

到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）：

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70）的概率；

（3）己知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50）的人口占该地区总人口

的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50）.求此人患这种疾病的概率（以样本数据

中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

涛点二相互独立与条件概率的关系

【例1］判断下列各对事件是否是相互独立事件.

（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从

甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与,,从剩下的7个

球中任意取出1个，取出的还是白球“；

（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.

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【例八面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有4,8,C三个独立的研究机构在一

定的时期内能研制出疫苗的概率分别是求：

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(1)他们都研制出疫苗的概率；

(2)他们都失败的概率；

(3)他们能够研制出疫苗的概率.

【例：】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假

定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.

［解题总结］

I.判断事件是否相互独立的方法

(1)定义法：事件力