新人教版七年级下册数学5.1.2垂线

5.1.2垂线（第一课时）第一页第二页，共58页。在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当α=90°时,a与b垂直.当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.当α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.两条直线相交斜交垂直垂直是相交的特殊情况观察思考）αabbbbb）α第二页第三页，共58页。1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。例如、如图，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。baO一、垂直的定义从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：

只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。第三页第四页，共58页。1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。ba用“⊥”和直线字母表示垂直Oα2.垂直的表示：例如、如图，a、b互相垂直,垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足，则记为：a⊥b,垂足为O.第四页第五页，共58页。FEMNO记作：MN⊥EF,垂足为O.或者MN⊥EF于OABOE记作：

AB⊥EO垂足为O.或者AB⊥EO于O第五页第六页，共58页。日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?第六页第七页，共58页。生活中的垂直第七页第八页，共58页。生活中的垂直第八页第九页，共58页。生活中的垂直第九页第十页，共58页。ABCDO几何语言

∵∠AOC﹦90°(已知)AB⊥CD(垂直的定义)∴__________已知AB.CD相交于点O,3.垂直的书写形式：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOC=90°时,AB⊥CD，垂足为O。第十页第十一页，共58页。几何语言∵AB⊥CD(已知)∠COB﹦90°

(垂直的定义)ABCD∴______________o3.垂直的书写形式：

反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOC=90°第十一页第十二页，共58页。1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直

（A）4（B）3

（C）2（D）1A例题：ba第十二页第十三页，共58页。例2:如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE？解：∵AB⊥CD（已知）

∴∠COB=90°（垂直的定义）

∴∠BOF=∠COB－∠COF

=90°－56°=34°

∴∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等）答：∠AOE=34°.FEDCBAO?56°第十三页第十四页，共58页。例3：如图：直线AB和CD相交于点O,OE

AＢ,OFＣＤ,∠ＢOF=40º,求∠ＤOE和∠AOC的度数AFEDCBO40º?1第十四页第十五页，共58页。例4：如图，已知ＡＯＢ为一直线，∠ＡＯＤ：∠ＢＯＤ＝３：１，ＯＤ平分∠ＣＯＢ，（１）求∠ＡＯＣ的度数；（２）判断ＡＢ与ＯＣ的位置关系．ＡＯＢＤＣ45º45º90º第十五页第十六页，共58页。5.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°,

求∠COE的度数.ACEBDO1）125°?解：∵OE⊥AB（已知）

∴∠BOE=90°（垂直的定义）

∵

∠BOC=∠1=125°（对顶角相等）

∴∠COE=∠BOC－∠BOE

=125°－90°=35°

答：∠COE=35°.第十六页第十七页，共58页。ODCBA1.直线AB与直线CD相交于点O,若∠AOC=90°则①直线AB与直线CD互相___.

②记作____.③交点O又叫做_____.④直线AB的垂线是_____.⑤∠BOC=____,∠AOD=____,∠BOD=____.所以,∠____=∠____=∠____=∠____=90°课堂抢答：垂直AB⊥CD于点O垂足直线CD第十七页第十八页，共58页。2.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角

C课堂抢答：第十八页第十九页，共58页。3.若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则__________。4.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。5.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1:5，那么∠COA＝_____,∠BOC的补角为______度。Omn1BCAOm⊥n90°72°162第十九页第二十页，共58页。解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)6、如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是___________

CDA

BOE12第二十页第二十一页，共58页。探究：①用三角尺或量角器画已知直线l

的垂线，这样的垂线能画出几条？②经过直线l上一点A画l

的垂线，这样的垂线能画出几条？③经过直线l

外一点B画l

的垂线，这样的垂线能画出几条？二、垂线的画法第二十一页第二十二页，共58页。垂线的画法：问题：这样画l的垂线可以画几条？1放、2靠、3画线、lO如图，已知直线l,作l的垂线。工具：直尺、三角板A无数条第二十二页第二十三页，共58页。垂线的画法：lA如图，已知直线l

和l上的一点A,作l的垂线.B4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;3移:移动三角板到已知点;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;

则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.结论：过直线上的一点有且只有一条直线与已知直线互相垂直。第二十三页第二十四页，共58页。垂线的画法：lA如图，已知直线l

和l外的一点A,作l的垂线.B4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;3移:移动三角板到已知点;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;

则所画直线AB是经过点A的直线l的垂线.结论：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.第二十四页第二十五页，共58页。垂线的性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.能作一条,而且只能作一条.问题:过已知直线l

和l上(或外)的一点A,作l的垂线,可以作几条?

注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.第二十五页第二十六页，共58页。垂线的性质垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

问题：

（1）“过一点”包括几种情况？

（2）“有且只有”是什么意思？

直线上的一点直线外的一点有：存在性只有：唯一性第二十六页第二十七页，共58页。课堂练习1．选择题过点向线段所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCDC2.画一条线段的垂线，垂足在（）A．线段上B．线段的端点上C．线段的延长线上D．以上都有可能D第二十七页第二十八页，共58页。2.如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线A··P第二十八页第二十九页，共58页。EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.

问题：如何画一条线段或射线的垂线？第二十九页第三十页，共58页。3、如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD于

O,∠AOC=36°，则∠BOE=（）

（A）36°(B)64°(C)144°(D)54°ＡＥＣＯＢＤ36°?D第三十页第三十一页，共58页。4.如图，直线AB,CD相交于点O,第三十一页第三十二页，共58页。在图中，过点A分别作BD和DE的垂线.DABEDABEDABENM结论：直线AM,AN为所求垂线。练一练第三十二页第三十三页，共58页。小结1、本节课你学到了什么？相交线垂线垂线性质垂线画法2、在这节课中你还有什么疑问？第三十三页第三十四页，共58页。两条直线相交一般情况垂直对顶角：相等邻补角：互补垂线的性质特殊情况相交成直角第三十四页第三十五页，共58页。5.1.2垂线

第二课时第三十五页第三十六页，共58页。一、知识回顾1、同一平面内，两条直线的位置关系：__________.2、怎样的两条直线我们称它们互相垂直？3、一条直线仅有一条垂线。对吗？第三十六页初中数学资源网第三十七页，共58页。第三十七页初中数学资源网第三十八页，共58页。第三十八页初中数学资源网第三十九页，共58页。思考有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边m呢？第三十九页第四十页，共58页。二、知识探究．Ｐ．．．．．．．．．OA1A2A3A4第四十页初中数学资源网第四十一页，共58页。二、知识探究．Ｐ．．．．．．．．．OA1A2A3A4连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成垂线段最短第四十一页初中数学资源网第四十二页，共58页。二、知识探究．Ｐ．．．．．．．．．OA1A2A3A4直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。第四十二页初中数学资源网第四十三页，共58页。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。垂线段最短直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。PABCmD垂线段的长度简单说成：垂线段最短．垂线的性质2：

线段PB叫做点P到直线m的垂线段。第四十三页第四十四页，共58页。线段AB⊥直线CD，如图，垂足为B，我们就把线段AB叫做点A到直线CD的垂线段。ACDB垂线段垂线与垂线段有何区别和联系？区别：垂线是直线，垂线段是线段；联系：垂线和垂线段都垂直于已知直线注意：

点A到直线CD的距离是垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。第四十四页第四十五页，共58页。拓展应用如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。C∟垂线段最短第四十五页第四十六页，共58页。三、知识应用．．AO1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。（1）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？（2）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？第四十六页初中数学资源网第四十七页，共58页。三、知识应用2、下列说法正确的是（）ABCD（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离。（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离（C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离第四十七页初中数学资源网第四十八页，共58页。3、如图所示，有两条高速公路l，m，点P为公路l上的一个出口，现要经过点P建一连接两高速公路的一段通道，欲使通道最短，应怎样施工？说明理由。．Ｐlm三、知识应用第四十八页初中数学资源网第四十九页，共58页。ABC4、如图，P为ABC的平分线上一点.（1）分别画出点P到边BA、BC的垂线段；（2）分别量出点P到边BA、BC的距离。三、知识应用第四十九页初中数学资源网第五十页，共58页。5.文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五跳打破了年级记录。如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。请画图说明如何测量他的成绩。

解：过脚印B的后跟E作EF⊥CD，垂足为点F。那么垂线段EF的长度就是这名运动员跳远的成绩。┓

BCD•

•

EF三、知识应用A第五十页初中数学资源网第五十一页，共58页。6、如图所示，在△

ABC中,∠ABC=90，

①过点B作△ABC的AC边上的高BD，过D点作△

ABD的AB边上的高DE。

ACB三、知识应用第五十一页初中数学资源网第五十二页，共58页。6、如图所示，在△ABC中，∠ABC=90

，

②点A到直线BC的距离是线段

的长度.

点B到直线AC的距离是线段

的长度.

点D到直线AB的距离是线段

的长度线段AD的长度是点

到直线

的距离.ABBDDEABD三、知识应用ACB第五十二页初中数学资源网第五十三页，共58页。1.直线AB外一点P到直线AB的距离指的是（

）（A）从P点到AB