专题3.3 一元一次方程常考实际应用（十四大类型）（解析版）

专题3.3一元一次方程常考实际应用（十四大类型）重难点题型归纳【题型1：和差倍分问题】 【题型2：鸡兔同问题】【题型3：调配/配套问题】【题型4：盈不足问题】【题型5：行程问题】【题型6：行程问题】【题型7：工程问题】【题型8：利润率问题】【题型9：分段收费问题】【题型10：银行储蓄问题】【题型11：方案问题】【题型12：几何问题】【题型13：日历问题】【题型14：数字问题】【题型1：和差倍分问题】 【典例1】肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：甲乙进价（元/千克）58售价（元/千克）1015（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？【答案】（1）惠民水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克；（2）8折．【解答】解：（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，解得：x＝30，∴2x+15＝75．答：惠民水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，依题意，得：（10﹣5）×75+（15×﹣8）×30×3＝735，解得：y＝8．答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．【变式1-1】列方程或方程组解应用题：2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是（2x﹣5）元，根据题意，列方程得：200x＝120（2x﹣5），解得：x＝15．答：每棵柏树苗的进价是15元．【变式1-2】皖蒙食品加工厂收购了一批质量为1000kg的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的这种山货质量比粗加工的质量的3倍还多200kg，求粗加工的这种山货的质量．【答案】见试题解答内容【解答】解：设粗加工的该种山货质量为x千克，则精加工（3x+200）千克，由题意得：x+（3x+200）＝1000，解得：x＝200．答：粗加工的该种山货质量为200千克．【变式1-3】某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物每满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设书包单价为x元，则随身听的单价为（4x﹣8）元．根据题意，得4x﹣8+x＝452，解得：x＝92，4x﹣8＝4×92﹣8＝360．答：书包单价为92元，随身听的单价为360元．（2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6（元）．因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买．在超市B可花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计花费现金：360+2＝362（元）．因为362＜400，所以也可以选择在B超市购买．因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱．【题型2：鸡兔同问题】【典例2】鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，最早记载于《孙子算经》之中：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”若设有鸡（雉）x只，则由题意可列方程：2x+4（35﹣x）＝94．【答案】2x+4（35﹣x）＝94．【解答】解：根据题意可得：2x+4（35﹣x）＝94．故答案为：2x+4（35﹣x）＝94．【变式2-1】青骄课堂2023年禁毒知识竞赛答题，共设20道选择题，要求每题必答，每答对一题得5分，答错一题扣1分，小新一共得了82分，他答对了17道题．【答案】17．【解答】解：设小新答对了x道题，则答错（20﹣x）道题，根据题意得：5x﹣（20﹣x）＝82，解得：x＝17，∴小新答对了17道题．故答案为：17．【变式2-2】《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（）A．4x+2（94﹣x）＝35 B．4x+2（35﹣x）＝94 C．2x+4（94﹣x）＝35 D．2x+4（35﹣x）＝94【答案】D【解答】解：∵上有三十五头，且鸡有x只，∴兔有（35﹣x）只．依题意得：2x+4（35﹣x）＝94．故选：D．【变式2-3】某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040（1）参赛者答对一道题得多少分，答错一道题扣多少分？（2）参赛者F得76分，他答对了几道题？【答案】（1）答对一道题得5分，答错一道题扣1分；（2）16道．【解答】解：（1）由参赛选手A可得：答对1题得100÷20＝5（分），设答错一题扣x分，根据参赛选手B的得分列得：19×5﹣x＝94，解得：x＝1，则答对一道题得5分，答错一道题扣1分；（2）设参赛选手F答对y道题，根据题意得：5y﹣1×（20﹣y）＝76，解得：y＝16，则参赛选手F答对16道题．【题型3：调配/配套问题】【典例3】某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需2个甲种零件和4个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在20天中使所生产的零件刚好配套，那么应安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件恰好配套？小明在解决这个问题时设应安排x天生产甲零件．填出表格①②③的表达式，并列方程解决这个问题．工效（个/天）天数（天）数量（个）甲种零件450x②乙种零件300①③【答案】①（20﹣x），②450x个，③300（20﹣x），应安排5天生产甲种零件，安排15天生产乙种零件恰好配套．【解答】解：若设应安排x天生产甲种零件，则安排（20﹣x）天生产乙种零件，共生产450x个甲种零件，300（20﹣x）个乙种零件，根据题意得：＝，解得：x＝5，∴20﹣x＝20﹣5＝15．答：①（20﹣x），②450x个，③300（20﹣x），应安排5天生产甲种零件，安排15天生产乙种零件恰好配套．【变式3-1】用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15张铁皮制盒身，18张铁皮制盒底正好配套．【解答】解：设x张铁皮制盒身，则（33﹣x）张铁皮制盒底．则有：30x＝50（33﹣x）÷2，解得：x＝15．答：用15张铁皮制盒身，18张铁皮制盒底正好配套．【变式3-2】用一批卡纸做包装盒，每张卡纸可做2个盒身或5个底盖，一个盒身与两个底盖配成一个完整的包装盒．（1）如果用25张卡纸做盒身，20张卡纸做底盖，做成的盒身和底盖是否正好配套？请通过计算结果加以说明．（2）如果有63张卡纸，请问用多少张卡纸做盒身，多少张卡纸做底盖，才能使做成的盒身和底盖正好配套？【答案】（1）做成的盒身和底盖正好配套；（2）用35张卡纸做盒身，28张卡纸做底盖，才能使做成的盒身和底盖正好配套．【解答】解：（1）做成的盒身和底盖正好配套，理由如下：做成盒身的总数为25×2＝50（个），做成底盖的总数为20×5＝100（个），∵一个盒身与两个底盖配成一个完整的包装盒，且100÷2＝50，∴用25张卡纸做盒身，20张卡纸做底盖，做成的盒身和底盖正好配套．（2）设用x张卡纸做盒身，则用（63﹣x）张卡纸做底盖，依题意得：2×2x＝5（63﹣x），解得：x＝35，∴63﹣x＝63﹣35＝28．答：用35张卡纸做盒身，28张卡纸做底盖，才能使做成的盒身和底盖正好配套．【变式3-3】在甲处劳动的有29人，在乙处劳动的有19人．现在从乙处调一部分人到甲处去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应从乙处调多少人到甲处去？【答案】见试题解答内容【解答】解：设应调往甲处x人，根据题意列方程得：29+x＝（19﹣x）×2，解得：x＝3．答：调3个人到甲处去．【变式3-4】学校组织植树活动，已知在甲处植树的有37人，在乙处植树的有32人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应从乙处调配多少人去甲处支援？【答案】应从乙处调配9人支甲处支援．【解答】解：设应从乙处调配x人去甲处支援，根据题意得37+x＝2（32﹣x），解得x＝9，答：应从乙处调配9人支甲处支援．【变式3-5】有甲、乙两个课外活动小组，甲组人数是乙组人数的，后来又从乙组调16人到甲组，这时乙组人数是甲组人数的，甲、乙两组原来各有多少人？【答案】见试题解答内容【解答】解：设乙组原有x人，依题意得：x﹣16＝（x+16）×．解得：x＝7070×＝56（人）答：甲组原有56人，乙组原有70人．【题型4：盈不足问题】【典例4】《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？【答案】店中共有8间房．【解答】解：设店中共有x间房，根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），解得：x＝8．答：店中共有8间房．【变式4-1】某班同学去划船，若每船坐7人，则余下5人没有座位；若每船坐8人，则又空出2个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是（）A．54，7 B．46，6 C．47，6 D．61，8【答案】A【解答】解：设船数为x只，根据题意得出：7x+5＝8x﹣2，解得：x＝7，故7x+5＝7×7+5＝54．故这个班参加划船的同学人数和船数分别是：54，7．故选：A．【变式4-2】用绳子测井的深度，四折而入，则余9米；把绳子剪去18米后，三折而入，则余12米，井深（）米．A．18 B．21 C．27 D．30【答案】A【解答】解：设井深x米，则绳长是4（x+9）米，4（x+9）﹣18＝3（x+12），4x+36﹣18＝3x+36，4x+36﹣18﹣3x＝3x+36﹣3x，x+36﹣18＝36，x＝18．故选：A．【变式4-3】把一些图书分给某班学生阅读，如果每人3本，则剩余20本；如果每人4本，则还缺25本，这个班有（）学生．A．40名 B．45名 C．46名 D．50名【答案】B【解答】解：设这个班有x名学生，根据书的总量相等可得：3x+20＝4x﹣25，解得：x＝45．答：这个班有45名学生．故选：B．【变式4-4】列方程解答下面问题：《九章算术》是中国古代的一部数学专著．其中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出六，盈三；人出五，不足四．问人数几何？”其意思是“现有一些人共同买一个物品，每人出6元，还盈余3元；每人出5元，则还差4元．求买这个物品共有几个人？”【答案】买这个物品共有7个人．【解答】解：设买这个物品共有x个人，根据题意得：6x﹣3＝5x+4，解得：x＝7．答：买这个物品共有7个人．【题型5：行程问题】【典例5】（2023春•南关区校级期末）列方程解应用题：两辆汽车从相距320km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km/h，2小时后两车相遇．甲车的速度是多少？【答案】甲车的速度是90km/h．【解答】解：设甲车的速度是xkm/h，则乙车的速度是（x﹣20）km/h，由题意可得：2x+2（x﹣20）＝320，解得x＝90，答：甲车的速度是90km/h．【变式5-1】（2022秋•同安区期末）甲、乙两车从相距240km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快10km/h，2小时后两车相遇．求甲、乙两车的速度．（请你用一元一次方程的知识解决问题）【答案】甲车的速度是65km/h，乙车的速度是55km/h．【解答】解：设乙车的速度是xkm/h，则甲车的速度是（x+10）km/h，根据题意，得2x+2（x+10）＝240，解得x＝55，∴x+10＝65，答：甲车的速度是65km/h，乙车的速度是55km/h．【变式5-2】（2022秋•斗门区期末）甲乙两人沿400米的环形跑道进行晨跑，甲的速度为8米/秒，乙的速度为6米秒．若甲站在乙前面20米处，两人同时同向起跑，几秒后两人能首次相遇．【答案】190秒后两人能首次相遇．【解答】解：设x秒后两人能首次相遇，根据题意得：8x﹣6x＝400﹣20，解得：x＝190，答：190秒后两人能首次相遇．【题型6：流水行船问题】【典例6】（2022秋•甘井子区校级期末）在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速及两机场之间的航程．【答案】无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米．【解答】解：设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8×（x+24）＝3×（x﹣24），解得：x＝696．∴无风时飞机的航速是696千米/时．∵无风时飞机的航速是696千米/时，则3×（696﹣24）＝2016（千米）．答：两机场之间的航程是2016千米．【变式6-1】（2022秋•锡山区期末）在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h，求无风时这架飞机在这一航线的平均航速；设无风时这架飞机的平均航速为xkm/h，则根据题意列出的方程是（）A．2.8（x+24）＝3（x﹣24） B．2.8（x﹣24）＝3（x+24） C． D．【答案】A【解答】解：设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意有：2.8（x+24）＝3（x﹣24）．故选：A．【变式6-2】（2022秋•洪山区校级期末）一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（）A．5.5（x﹣24）＝6（x+24） B．＝ C．5.5（x+24）＝6（x﹣24） D．＝﹣24【答案】C【解答】解：设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为（x﹣24）千米/时，根据题意得5.5•（x+24）＝6（x﹣24）．故选：C．【变式6-3】（2022秋•临高县期中）两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行．已知两飞机在无风的速度都是500千米每小时，风速是a千米每小时．（1）甲、乙飞机飞行时的速度分别是多少？（2）3小时后两机的行程分别是多少？（3）求3小时后两机相距多远？（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行多少千米？【答案】（1）甲飞机飞行时的速度为（500+a）千米/小时，乙飞机飞行时的速度为（500﹣a）千米/小时；（2）甲飞机3小时后飞行的路程为：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飞机3小时后飞行的路程为：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）3小时后两机相距为3000千米；（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行6a千米．【解答】解：（1）∵甲飞机顺风飞行，乙飞机逆风飞行，∴甲飞机飞行时的速度为（500+a）千米/小时，乙飞机飞行时的速度为（500﹣a）千米/小时；（2）根据（1）中写出的甲、乙飞机飞行时的速度，则甲飞机3小时后飞行的路程为：3（500+a）＝（1500+3a）千米，乙飞机3小时后飞行的路程为：3（500﹣a）＝（1500﹣3a）千米；（3）∵两架飞机从同一机场同时出发反向而飞，∴3小时后两机相距为：1500+3a+1500﹣3a＝3000（千米）；（4）3小时后，甲飞机比乙飞机多航行的距离为：（1500+3a）﹣（1500﹣3a）＝6a（千米）．【题型7：工程问题】【典例7】（2023•渝北区校级自主招生）利用一元一次方程解应用题：某学校刚完成一批结构相同的学生宿舍的修建，这些宿舍地板需要铺瓷砖，一天4名一级技工去铺4个宿舍，结果还剩12m2地面未铺瓷砖；同样时间内6名二级技工铺4个宿舍刚好完成，已知每名一级技工比二级技工一天多铺2m2瓷砖．（1）求每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积．（2）现该学校有26个宿舍的地板和74m2的走廊需要铺瓷砖，该工程队一开始有4名一级技工来铺瓷砖，施工3天后，学校根据实际情况要求还要2天必须完成剩余的任务，决定加入6名二级技工一起工作并提高所有技工的工作效率．若每名一级技工每天多铺瓷砖面积与每名二级技工每天多铺瓷砖面积的比为2：3，问每名二级技工每天需要铺多少平方米瓷砖才能按时完成任务？【答案】（1）每个宿舍需要铺瓷砖为15m2；（2）每名二级技工每天需要铺16平方米瓷砖才能按时完成任务．【解答】解：（1）设每个宿舍需要铺瓷砖的地板面积为xm2，根据题意可知：﹣＝2，解得：x＝15，答：每个宿舍需要铺瓷砖为15m2．（2）设每名一级技工每天多铺瓷砖面积为2ym2，每名二级技工每天多铺瓷砖面积的为3ym2，原来每名一级技工每天铺瓷砖的面积为＝12m2，原来每名二级技工每天铺瓷砖的面积为10m2，26×15+74＝4×12×3+4×（12+2y）×2+6×（10+3y）×2，解得：y＝2，∴10+3y＝10+6＝16，答：每名二级技工每天需要铺16平方米瓷砖才能按时完成任务．【变式7-1】（2022秋•天河区期末）疫情防控，人人有责，应检尽检，不漏一人．某校在开展全员核酸检测工作中，如果安排一个人单独做要用10小时，现安排一部分人做1小时核酸检测工作，随后又增加2人和他们一起又做了1个小时，恰好完成检测工作．假设每个人的工作效率相同，那么总共有多少人参加核酸检测工作？【答案】6．【解答】解：设总共有x人参加核酸检测工作，由题意得，+＝1，，解得x＝6，答：总共有6人参加核酸检测工作．【变式7-2】（2022秋•秀屿区期末）我区某中学举办一年一届的科技文化艺术节活动，需搭建一个舞台，请来两名工人．已知甲单独完成需4小时，乙单独完成需6小时．现由乙提前做1小时，剩下的工作由甲、乙两人合做，问再合做几小时可以完成这项工作？【答案】2小时．【解答】解：设再合做x小时可以完成这项工作，根据题意，得：，解得：x＝2，答：还需2小时可以完成这项工作．【变式7-3】（2023•绿园区校级模拟）“绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化长春市环境，甲、乙两工程队承担基隆街河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等．求甲、乙工程队每天整治河道各多少米．【答案】甲工程队每天整治河道900米，乙工程队每天整治河道600米．【解答】解：设甲工程队每天整治河道x米，则乙工程队每天整治河道（1500﹣x）米，根据题意得：＝，解得：x＝900，经检验得：x＝900是原方程的解，且符合题意，1500﹣x＝600，答：甲工程队每天整治河道900米，乙工程队每天整治河道600米．【题型8：利润率问题】【典例8】（2022秋•新抚区期末）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？【答案】（1）甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元；（2）每件乙商品的售价为114元．【解答】解：（1）设乙种商品每件进价为x元，则甲种商品每件进价为（x﹣20）元，由题意可得，7（x﹣20）+2x＝760，解得x＝100，∴x﹣20＝80，答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元；（2）设购进甲种商品a件，乙种商品（50﹣a）件，每件乙商品的售价为b元，由题意可得，80a+100（50﹣a）＝4400，解得a＝30，则（100﹣80）×30+（b﹣100）×（50﹣30）＝4400×20%，解得b＝114，答：每件乙商品的售价为114元．【变式8-1】（2022秋•裕华区校级期末）一件大衣按其进价提高50%后标价．由于季节原因，现以标价的七折售出，结果仍盈利18元．这件上衣的进价是多少元？（提示：利润＝售价﹣进价）【答案】360．【解答】解：设这件上衣的进价为x元，由题意得，70%•（1+50%）x﹣x＝18，解之得，x＝360，答：这件上衣的进价是360元．【变式8-2】（2022秋•昌图县期末）某校社会实践小组调查某商场商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫100件，并以每件120元的价格销售了80件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，请你帮商场计算一下：（1）求降价前每件衬衫的利润率；（2）求每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？【答案】（1）50%；（2）20元．【解答】解：（1）（120﹣80）÷80×100%＝40÷80×100%＝0.5×100%＝50%，答：降价前每件衬衫的利润率为50%；（2）设每件衬衫降价x元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．根据题意，得120×80+（120﹣x）（100﹣80）＝80×100×（1+45%），解方程得：x＝20，答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标．【变式8-3】（2023春•邵阳期末）某花卉超市准备购进甲、乙两种盆栽．甲种盆栽每盆进价15元，售价20元；乙种盆栽每盆进价25元，售价40元，元旦前夕，超市共购进甲、乙两种盆栽60盆，总进价为1100元．（1）超市购进甲、乙两种盆栽各多少盆？（2）如果把甲种盆栽的售价提高20%，乙种盆栽按售价打八折销售，将这些盆栽全部售完可获利多少元？【答案】（1）购进甲种盆栽40盆，则购进乙种盆栽20盆；（2）这些盆栽全部售完可获利500元．【解答】解：（1）设购进甲种盆栽x盆，则购进乙种盆栽（60﹣x）盆，依题意得：15x+25（60﹣x）＝1100，解得x＝40，∴60﹣x＝60﹣40＝20．答：购进甲种盆栽40盆，则购进乙种盆栽20盆；（2）这些盆栽全部售完可获利：[20×（1+20%）﹣15]×40+（40×80%﹣25）×20＝360+140＝500（元），答：这些盆栽全部售完可获利500元．【变式8-4】（2022秋•渠县校级期末）某超市第一次用6000元购进A，B两种商品，其中购进B商品的件数比购进A商品件数的倍多15件，A，B两种商品的进价和售价如下表（注：获利＝售价﹣进价）AB进价（元/件）2230售价（元/件）2940（1）该超市第一次购进A，B两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的A，B两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进A，B两种商品．其中购进A商品的件数不变，购进B商品的件数是第一次购进B商品件数的3倍．A商品按原价销售，B商品打折销售．第二次购进的A、B两种商品销售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次B商品是按原售价打几折销售的．【答案】（1）150；90；（2）1950元；（3）8.5折．【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据题意得：，解得x＝150，所以x+15＝75+15＝90．答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件；（2）由（1）得x＝150，则（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝7×150+10×90＝1050+900＝1950（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元；（3）设第二次乙种商品是按原售价打y折销售，根据题意得：，解得y＝8.5．答：第二次乙商品是按原售价打8.5折销售．【题型9：分段收费问题】【典例9-1】（2022秋•绵阳期末）如表为某市居民每月用水收费标准（单位：元/立方米），设用户用水量为x立方米．用水量/立方米单价/（元/立方米）x≤30a超出30的部分a+1.02（1）某用户用水10立方米，共交水费29.8元，求a的值．（2）在（1）的前提下，该用户10月份交水费109.4元，请问该用户用水多少立方米？【答案】（1）2.98；（2）35立方米．【解答】解：（1）由题意，得10a＝29.8，解得a＝2.98．答：a的值为2.98．（2）∵用水30立方米时，水费为30×2.98＝89.4＜109.4，∴x＞30，∴30×2.98+（x﹣30）×（2.98+1.02）＝109.4，解得x＝35．答：该用户用水35立方米．【变式9-2】（2023春•沈丘县月考）在2022年春节即将到来之即，某市大润发和家乐福两家超市准备庆祝春节，分别推出如下促销方式：大润发：全场均按八五折优惠家乐福：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打八八折；超过500元时，其中的500元优惠12%，超过500元的部分打八折．已知两家超市相同商品的标价都一样．（1）当一次性购买总额是400元时，大润发、家乐福两家超市实付款分别是多少元？（2）当购物总额是多少元时，两家超市实付款相同？（3）某顾客在家乐福超市购物实际付款482元，试问该顾客的选择划算吗？试说明理由．【答案】（1）当一次性购买总额是400元时，在大润发实际付款340元，在家乐福实际付款352元；（2）当购物总额是800元时，两家超市实付款相同；（3）该顾客的选择不合算，理由见解答．【解答】解：（1）由题意可得，当一次性购买总额是400元时，在大润发实际付款：400×0.85＝340（元），在家乐福实际付款：400×0.88＝352（元）；（2）设购物总金额是x元时，两家超市实付款相同，由题意可得：0.85x＝500（1﹣0.12）+0.8（x﹣500），解得x＝800，答：当购物总额是800元时，两家超市实付款相同；（3）该顾客的选择不合算，理由：∵500×0.88＝440＜482，∴购物的总金额大于500元，设该顾客购物金额为y元，由题意可得：500×（1﹣0.12）+0.8（y﹣500）＝482，解得y＝552.5，该顾客在大润发实际付款为：552.5×0.85＝469.625（元），∵469.625＜482，∴该顾客的选择不合算．【变式9-1】（2022秋•东莞市期末）芜湖市一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件售价60元，利润率为50%；B种商品每件进价50元，售价80元．（1）A种商品每件进价为40元，每件B种商品利润率为60%．（2）若该商场同时购进A、B两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进A种商品多少件？（3）在“春节”期间，该商场只对A、B两种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于450元不优惠超过450元，但不超过600元按总售价打九折超过600元其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠按上述优惠条件，若小华一次性购买A、B商品实际付款522元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A种商品每件进价为x元，则（60﹣x）＝50%x，解得：x＝40．故A种商品每件进价为40元；每件B种商品利润率为（80﹣50）÷50＝60%．故答案为：40；60%；（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（50﹣x）件，由题意得，40x+50（50﹣x）＝2100，解得：x＝40．即购进A种商品40件，B种商品10件．（3）设小华打折前应付款为y元，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，由题意得0.9y＝522，解得：y＝580；②打折前购物金额超过600元，600×0.8+（y﹣600）×0.7＝522，解得：y＝660．综上可得，小华在该商场购买同样商品要付580元或660元．【题型10：银行储蓄问题】【典例10】（2023•固镇县一模）本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程3000+3000×3×x%＝3243．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）【答案】3000+3000×3×x%＝3243．【解答】解：∵本金为3000元，年利率为x%，存了3年．∴利息为3000×x%×3，∴可列方程为3000+3000×3×x%＝3243，故答案为：3000+3000×3×x%＝3243．【题型11：方案问题】【典例11】（2022秋•裕华区期末）学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知一副羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵20元，购买12副乒乓球拍和8副羽毛球拍共1360元．（1）每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是多少元？（2）在“双11”促销活动中，某商店制定以下优惠方案：方案一：商品按原价打9折优惠：方案二：商品按原价购买，超过2000元的部分打7折优惠；现计划购买30副乒乓球拍和20副羽毛球拍，请通过计算说明按照哪种方案购买较为合算？【答案】（1）60元，80元；（2）按照方案二购买较为合算．【解答】解：（1）设每副乒乓球拍x元，则羽毛球拍的单价（x+20）元，由题意得12x+8（x+20）＝1360，解得x＝60，∴x+20＝60+20＝80（元），答：每副乒乓球拍和羽毛球拍的单价各是60元，80元；（2）方案一：（30×60+20×80）×0.9＝3060（元）；方案二：2000+（30×60+20×80﹣2000）×0.7＝2980（元），3060＞2980，故按照方案二购买较为合算．【变式11-1】（2022秋•磁县期末）元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x＞300）．（1）当x＝400时，顾客到哪家超市购物优惠．（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x﹣300）＝（0.8x+60）元，在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x﹣200）＝（0.85x+30）元；当x＝400时，在甲超市购物所付的费用是：0.8×400+60＝380，在乙超市购物所付的费用是：0.85×400+30＝370，所以到乙超市购物优惠；（2）根据题意由（1）得：300+0.8（x﹣300）＝200+0.85（x﹣200），解得：x＝600，答：当x＝600时，两家超市所花实际钱数相同．【变式11-2】（2022秋•历城区期末）某旅游景点门票价格如下表：购票数量1～50张51～100张100张以上每张票的价格15元12元10元某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元．（1）两班各有多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？（3）如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？【答案】（1）七（1）班47人七（2）班58人；（2）能省351元；（3）省93元．【解答】解：（1）设七年级（1）班有学生x人，则七年级（2）班有学生（105﹣x）人，根据题意列方程为15x+12（105﹣x）＝1401，解得x＝47，105﹣x＝58，答：七年级（1）班有学生47人，七年级（2）班有学生58人；（2）1401﹣105×10＝351（元），答：可省351元；（3）47×15＝705（元），51×12＝612（元），705﹣612＝93（元）．答：按照51张票购买比较省钱，省了93元．【变式11-3】（2022秋•连山区期末）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一套西装送一条领带；②西装和领带都按定价的90%付款．现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）．（1）若该客户按方案①购买，需付款（80x+6400）元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购买，需付款（72x+7200）元（用含x的代数式表示）．（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？（3）x为何值时，两种优惠方案所需付款相同？【答案】（1）（80x+6400），（72x+7200）；（2）选方案①；（3）x＝100．【解答】解：（1）设按方案①付款用y1表示，按方案②付款用y2表示，y1＝400×20+（x﹣20）×80＝80x+6400，y2＝400×0.9×20+80×0.9×x＝72x+7200；故答案为：（80x+6400），（72x+7200）；（2）当x＝30时，因为y1＝80×30+6400＝8800（元），y2＝72×30+7200＝9360（元），所以按方案①购买较为合算．（3）由题意可得：80x+6400＝72x+7200，解得：x＝100，答：当x＝100时，两种优惠方案所需付款相同．【变式11-4】（2022秋•沧州期末）随着河北省体育中考政策出台，体育总分将提高到50分，包括过程性考核20分和现场测试30分．某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、B两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳；B网店：跳绳和足球都按定价的90%付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（x＞60）．（1）若在A网店购买，需付款（7800+30x）元（用含x的代数式表示），若在B网店购买，需付款（8640+27x）元（用含x的代数式表示）；（2）当x＝200时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？（3）试求当x取何值时，在两家网店的购买费用相同？（4）若x＝200，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？【答案】（1）（7800+30x）；（8640+27x）；（2）当x＝200时，在A网店购买较合算；（3）当x为280时，在两家网店的购买费用相同；（4）最省钱的方案为：在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在B店购买140条跳绳，需付款13380元．【解答】解：（1）在A网店购买付款钱数：160×60+（x﹣60）×30＝（7800+30x）元；在B网店购买付款钱数：90%（160×60+30x）＝（8640+27x）元；故答案为：（7800+30x）；（8640+27x）．（2）当x＝200时，在A网店购买的付款钱数：7800+30x＝7800+30×200＝13800（元），在B网店购买付款钱数：8640+27x＝8640+27×200＝14040（元），13800＜14040，∴当x＝200时，在A网店购买较合算；（3）由题意得，7800+30x＝8640+27x，解得，x＝280，答：当x为280时，在两家网店的购买费用相同．（4）当x＝200时，可以在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在B店购买（200﹣60）＝140条跳绳，所以160×60+（200﹣60）×30×90%＝9600+140×27＝9600+3780＝13380（元）．∵13380＜13800＜14040，∴最省钱的方案为：在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在B店购买140条跳绳，需付款13380元．【题型12：几何问题】【典例12】（2023•金华模拟）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩形ABCD，已知EF＝EG＝1，最小正方形的边长为x．（1）用x的代数式表示AB，BC的长；（2）若阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，求x的值．【答案】（1）AB＝5x+2；BC＝3x+2；（2）x的值为3．【解答】解：（1）AB＝3x+2（x+1）＝5x+2；BC＝x+1+2x+1＝3x+2；（2）长方形ABCD的周长＝2（5x+2+3x+2）＝16x+8，阴影部分的周长＝10x+6．∵阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，∴9（16x+8）＝14（10x+6），解得x＝3，答：x的值为3．【变式12-1】（2023•横山区三模）如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为2.4cm的正方形拼成的，请求出大长方形的面积（列一元一次方程解）​【答案】15.36cm2．【解答】解：设小长方形的宽为xcm，由题意可得：3x+2.4＝2.4×2，解得：x＝0.8，∴大长方形的面积＝（2.4×2）×（0.8+2.4）＝15.36cm2．【变式12-2】（2023•碑林区校级三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽．【答案】40m，20m．【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，由题意得，35+x＝2（15+x），解得x＝5，∴35+x＝40，15+x＝20，∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．【变式12-3】（2022秋•自贡期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）．设小长方形的长和宽分别为a和b（a＞b）．（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是3a＝5b；（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积．【答案】（1）3a＝5b；（2）60．【解答】解：（1）∵图1是长方形，∴3a＝5b，故答案为：3a＝5b；（2）解：根据图2可知，小正方形的边长为a+2b﹣2a＝2b﹣a，∵3a＝5b，∴，∵小正方形的边长为2，∴，∴b＝6，∴a＝10，∴小长方形的面积＝10×6＝60．【变式12-4】（2022秋•文登区期末）如图，小明将一张正方形纸片剪掉一个宽为5cm的长条后，再从剩下的长方形纸片中减去一个宽为3cm的长条，如果第一次剪下的长条面积正好是第二次剪下的长条面积的2倍，那么剪去两个长条后剩下的长方形的面积为多少？【答案】最后剩下的长方形的面积是675cm2．【解答】解：设原正方形纸条的边长为xcm，由题意得：5x＝2×3（x﹣5），解得x＝30．最后剩下的长方形的面积为（30﹣5）×（30﹣3）＝675（cm2），答：最后剩下的长方形的面积是675cm2．【变式12-5】（2022秋•招远市期末）小红家用14m长的铁丝在墙边围成了一个长方形鸡棚，如图，若鸡棚的长AB比宽BC多6m，且宽的一边有一扇1m宽的门，门上方不需要铁丝，铁丝衔接处长度忽略不计．求该鸡棚的面积．【答案】27m2．【解答】解：设鸡棚的宽为xm，则鸡棚的长为（x+6）m，根据题意得：x+6+2x﹣1＝14，解得：x＝3，∴x（x+6）＝3×（3+6）＝27．【题型13：日历问题】【典例13】（泰和县期末）用如图1所示的曲尺形框框（有三个方向），可以套住图2日历中的三个数，设被框住的三个数中（第一个框框住的最大的数为a、第二个框框住的最大的数为b、第三个框框住的最大的数为c）．（1）第一个框框住的三个数的和是：3a﹣13，第二个框框住的三个数的和是：3b﹣9，第三个框框住的三个数中的和是：3c﹣15；（2）这三个框框住的数的和分别能是81吗？若能，则分别求出最大的数a、b、c．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）第一个框框住的三个数的和是：a+a﹣7+a﹣6＝3a﹣13，第二个框框住的三个数的和是：b+b﹣1+b﹣8＝3b﹣9，c+c﹣7+c﹣8＝3c﹣15；（2）被第一个框框住的三个数的和是81，则3a﹣13＝81，解得a＝．显然与题意不合．被第二个框框住的三个数的和是81，则3b﹣9＝81，解得b＝30．符合题意．被第三个框框住的三个数的和是81，则3c﹣15＝81，解得c＝32．不符合题意．因此b＝30．【变式13-1】（2022秋•徐州期末）如图，在月历表中选取4个阳历日期构成一个“田”字型，已知某个“田”