实变函数论“小小论文”

实变函数论“小小论文〞姓名：马玉剑学号：20231000175班号：121102-01实变函数论“小小论文〞姓名：马玉剑学号：20231000175班号：121102-01【摘要】老实说要写个关于实变函数的小文章，说实话，按照实变函数论的难度来说，要写个和它有关的讨论数学知识问题的文章确实有点挑战性，在老师讲Levi定理时，关于这个定理的证明方法，当时，老师说很重要，还让同学找出该定理证明的巧妙之处，虽然当时站起来说的时候说的不是很严谨，不过这个定理的证明方法，我还是觉得自己理解了的，毕竟也是自己搞懂的，所以就想写这个定理的一些东西啦！因为自己写的这篇论文真心不敢叫论文，就叫个“小小论文〞！【关键字】Levi定理【正文】先把定理及其证明说一下Levi定理：设有定义在E上的非负可测函数列且有那么有这个定理很重要，这个定理的证明也很重要，但我觉得更重要的是这个定理证明中用的方法。下面先说下这个第定理的证明。证明：可测函数取极限仍是可测的，又知函数列非负单增，故非负可测，故在E上积分定义因为，故有定义且令c满足0<c<1,为任一非负可测简单函数且记那么为单增可测集合列且故令有即所以这个定理的证明很巧妙，但有个地方却很奇怪，在证明的过程中，引进了一个c且让c大于0小于1，而在最后又让c=1，有人肯定有疑问，为什么不直接让c=1呢？假设c=1，那么因为且，又函数列是单增的，所以，又因为，所以，当取时，，此时的为空集，此时就不可能构造出集合，也就是后面的证明都是错误的啦，简单点说就是如果不把c的取值范围限制在，就够造不出，所以，必须把c的取值范围取在，还有一点要说明的是的取值范围不一定是从开始的，而是从存在的时候开始取的。以上就是本人想写的主要的东西，正如第一段所写的，我写这个的理由就是因为这个问题是我上课的时候自己提出来的，也是我自己搞懂的，觉得也是一种收获吧，是变函数这个课确实是很难，以我的水平要写出什么很有价值的文章也是根本不可能的。除了上面的这个小局部外，我想再写点，关于“黎曼积分〞和“lebesgue积分〞之间的联系和区别什么的，本来也想写写这个的，正好考试最后一题也是写这个，就再写点这个的吧。查了下《数学分析》上册的课本，“黎曼积分〞的定义如下黎曼积分：设是定义在上的函数，在任意插入假设干个分点〔这里插入n-1个〕来划分区间，在每一个局部区间中任取一点，作和式，其中，设为为中的最大数，即，当时，如果和式的极限存在，即，且此极限不依赖于的选择，也不依赖于对的分法，就称此极限值为在上的黎曼积分，记为lebesgue积分：如果E上的可测函数的正部和负部的积分中至少有一个是有限的，那么我们就说在E上是有积分的，其积分定义为而如果都有限，那么就是有限的，这时我们便说是在E上的Lebesgue积分两者的区别和联系：查阅《实变函数论》课本看到这样一个定理：如果有界函数在闭区间上是Riemann可积的，那么在闭区间上也是Lebesgue可积的，并且.此处表示在闭区间上是Riemann积分。我个人觉得Lebesgue积分是黎曼积分的推广，也就是类似于实数和有理数的关系，满足黎曼积分就一定满足Lebesgue积分。黎曼积分以连续函数为前题，无限划分的是自变量，即积分变量的微差，勒贝格积分以可测函数为前题，无限划分的是可测函数，即被积函数。可测函数比连续函数更广泛，因此勒贝格