5.4.3 正切函数的性质与图象6题型分类

5.4.3正切函数的性质与图象6题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1．定义域：，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．5．单调性：在开区间内，函数单调递增三、正切函数型的性质1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域：3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．4、周期：（一）正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.②求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x.(2)求正切函数值域的方法①对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y＝tanx相关的二次函数，可以把tanx看成整体，利用配方法求值域题型1：正切函数的定义域、值域问题11．（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）函数的定义域为.【答案】【分析】根据正切函数的定义域求解即可.【详解】由，，即，，所以函数的定义域为.故答案为：.12．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)且.(2)且(3)(4)【分析】利用具体函数定义域的求法，结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以且，故的定义域为且.（2）因为，所以，即，所以且，故的定义域为且.（3）因为，令，得，故的定义域为.（4）因为，所以，即，显然，故的定义域为.13．（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域、最小正周期：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)定义域为,最小正周期(2)定义域为，最小正周期(3)定义域为，最小正周期【分析】利用正切函数的定义域及最小正周期公式即可得解.【详解】（1）令可得，所以函数的定义域为，最小正周期;（2）令可得，所以函数的定义域为，最小正周期;（3）令可得，所以函数的定义域为，最小正周期.14．（2023·全国·高一课堂例题）函数，的值域为．【答案】【分析】分析函数单调性求出值域即可.【详解】∵函数在区间上单调递增，∴函数在区间上的值域为．故答案为：.15．（2023·高一课时练习）函数的值域为．【答案】【分析】根据正切函数单调性可确定的范围，进而推导得到函数的值域.【详解】当时，，，即的值域为.故答案为：.16．（2023下·陕西汉中·高一统考阶段练习）函数在上的值域为．【答案】【分析】根据题意求得，结合正切函数的性质，即可求解.【详解】由，可得，根据正切函数的性质，可得，即函数在上的值域为.故答案为：.17．（2023上·高一课时练习）求函数的值域.【答案】【分析】结合复合函数的性质，令，函数变化成，的二次函数问题，从而求得函数的值域；【详解】因为，所以令则当即时，当即时，故所求函数的值域为.18．（2023·江西·校联考模拟预测）函数的最大值为．【答案】/【分析】分子分母同时除以，然后使用基本不等式可得.【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．故答案为：（二）正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．题型2：正切函数的图象及应用21．（2023·全国·高一课堂例题）画出函数在上的简图．【答案】答案见解析【分析】根据五点作图法画图即可.【详解】令，，可得，，又，所以直线是该函数图象的一条渐近线．当时，；当时，；当时，；当时，．描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．

22．（2023下·湖南·高二统考学业考试）函数在一个周期内的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由正切函数的图象与性质判断，【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，故选：A23．（2023上·高一课时练习）函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用函数奇偶性和分析出当时，，即可得到答案.【详解】由，首先其定义域关于原点对称，且所以，即函数是偶函数，故排除A，C，当时，，则，排除D.故选：B24．（2023·全国·高一随堂练习）方程的实数根个数是．【答案】无数【分析】作出函数与的图象，借助数形结合的方法即可得解.【详解】函数的定义域为，在每个区间是都单调递增，并且函数值集合为R，在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象得，函数与的图象有无数个交点，方程的实数根个数是无数个.故答案为：无数25．（2023下·高一课时练习）解不等式.【答案】.【分析】解出正切不等式在一个周期内的解集，由周期性可得不等式的解集.【详解】作出函数，的图像，如图所示．观察图像可得：在内，满足条件的x为，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x的解集为.（三）正切函数的单调性及其应用(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．题型3：正切函数的单调性及其应用31．（2023上·江苏·高一专题练习）求函数的单调区间．【答案】单调递增区间为，无递减区间．【分析】由正切函数的单调性直接求出即可.【详解】令，得，∴函数的单调递增区间为，无递减区间．32．（2023上·江苏·高一专题练习）求函数的单调区间．【答案】递减区间为，无递增区间．【分析】先将函数化为，然后利用整体代入法即可求得单调区间.【详解】，由，得所以，函数的递减区间为，无增区间.33．【多选】（2023下·四川成都·高一统考期中）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由的范围，求出的范围，由题意可得，解方程即可得出答案.【详解】因为，函数，若在区间内单调递增，所以，所以.故选：BC.34．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数在区间上是减函数，则的取值集合为.（用列举法表示）【答案】【分析】由正切函数的单调性结合条件可得，由正切函数的单调区间与周期性可得，再对的值进行逐一验证即可得出答案.【详解】由在区间上是减函数，则，且，解得因为，所以或或或，当时，，当时，，当，即时，函数无意义，故不成立.当时，,当时，，由在上单调递增，所以在区间上是减函数，故满足题意.当时，,当时，，由在上单调递增，所以在区间上是减函数，故满足题意.当时，,当时，，当，即时，函数无意义，故不成立.故答案为:35．（2023下·高一课时练习）已知函数在内是减函数，则的取值范围是．【答案】【分析】由已知得为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可．【详解】∵已知函数在内是减函数,∴函数在内是单调增函数，∴，解得，经检验，满足题意.∴的取值范围是．故答案为：.36．（2023上·江苏·高一专题练习）比较下列正切值的大小：(1)与；(2)tan与tan．【答案】(1)(2)【分析】根据三角函数的诱导公式，以及正切函数的单调性，即可求解.【详解】（1）解：由，因为时，函数为单调递增函数，且，所以，所以.（2）由，因为函数在为单调递增函数，且，所以，即37．（2023上·江苏泰州·高三姜堰中学校考期中）已知函数，若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断的奇偶性，根据在上单调递增的性质即可判断.【详解】因为，所以是偶函数，所以，因为，所以,因为，所以，即，，所以，因为，所以,因为在上单调递增，所以.故选：.38．（2023下·河北衡水·高一校考阶段练习）函数在上的最大值为，最小值为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正切函数的单调性可知函数在上单调递增，即，，解方程即可得出答案.【详解】因为，所以，所以，因为函数在上的最大值为，最小值为，所以，即，所以令，，因为在上单调递增，在定义域内单调递增，由“复合函数”的单调性知，函数在上单调递增，所以，解得：，，解得：，因为，则，所以，解得：.故.故选：D.（四）正切函数的奇偶性与周期性与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝eq\f(π,|ω|)，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．题型4：正切函数的周期性41．（2023上·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考期中）已知函数，则函数的最小正周期是.【答案】【分析】利用正切函数最小正周期公式即可得解.【详解】因为，所以的最小正周期为.故答案为：.42．（2023上·天津滨海新·高三校考阶段练习）函数的定义域是；最小正周期是．【答案】【分析】根据题意，由正切型函数的定义域以及周期公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，，所以，，所以函数定义域为；最小正周期为；故答案为：；.43．（2023上·北京大兴·高三统考期中）设函数，则；若满足对于定义域内的每一个都有，，则的最小值是.【答案】【分析】根据诱导公式直接计算，根据最小正周期的概念求解即可；【详解】函数，则，若满足对于定义域内的每一个都有，，则为函数的一个正周期，又函数的最小正周期为，所以的最小值是.故答案为：；44．（2023下·安徽六安·高一毛坦厂中学校考期中）函数的最小正周期为，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得的值.【详解】依题意，解得.故选：C45．（2023下·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期末）已知函数的最小正周期为，则函数的定义域为．【答案】【分析】根据正切型函数的周期可得，再令，结合正切函数求定义域.【详解】由题意可得：，且，解得，对于函数，令，即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.46．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）若，（），则（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】是周期为3的周期函数，计算的值，由此能求出的值．【详解】是周期为3的周期函数，，，，．故选：B．47．（2023下·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考期中）对于函数，其中．若，则．【答案】【分析】代入计算得到，再计算，得到答案.【详解】，故，.故答案为：题型5：正切函数的奇偶性51．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)偶函数(2)偶函数(3)奇函数(4)既不是奇函数，也不是偶函数【分析】利用三角函数的性质与诱导公式，结合函数奇偶性的定义，即可得解.【详解】（1）因为的定义域为，又，所以是偶函数.（2）因为的定义域为，又，所以是偶函数.（3）因为的定义域为，又，所以是奇函数.（4）因为，而所以既不是奇函数，也不是偶函数.52．（2023·高一课时练习）函数、、在上的大致图像依次是．（选填序号）【答案】①③②【分析】借助正切函数的图象和性质，因为函数，所以在轴下方无图像；与的图像关于轴对称；是一个偶函数，图象关于y轴对称.【详解】，在轴下方无图像，对应①；与关于y轴对称，对应③，是偶函数，图象关于y轴对称，对应②；故三个图象依次是①③②.故答案为：①③②.53．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数，且，则（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根据函数解析式的特点，结合奇函数的性质进行求解即可.【详解】设，定义域为，关于原点对称，则，故是奇函数，从而，即，即.故选：A54．（2023·广西玉林·统考三模）函数，若，则．【答案】3【分析】根据题意可得，结合计算即可求解.【详解】由题得，∴，所以．故答案为：3.55．（2023上·高一课时练习）已知（其中为常数且），如果，则的值为（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】构造函数，则函数是奇函数且周期为，先求得，进而得到的值.【详解】设，则，则函数是奇函数；，则函数是周期为的周期函数；由，可得，则，所以，则故选：B.56．（2023上·河南开封·高三阶段练习）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求出函数的图象关于轴对称所满足的条件，和进行比较【详解】关于轴对称，则关于原点对称，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件故选：B（五）正切函数的对称性正切曲线的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型6：正切函数的对称性61．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）以点为对称中心的函数是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的对称性依次判定.【详解】对于A选项，对称中心为，故不选A；对于B选项，对称中心为，故不选B;对于C选项，对称中心为，故C选项正确；对于D选项，不是中心对称图形，故不选D.故选：C.62．【多选】（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）下列坐标所表示的点中，是函数图像的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】令，求出对称中心横坐标，对四个选项一一进行判断.【详解】令，解得，A选项，当时，，故对称中心为，A正确；B选项，当时，，故对称中心为，B正确；C选项，令，解得，不合要求，舍去，C错误；D选项，当时，，故对称中心为，D正确；故选：ABD63．（2023下·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是.【答案】1【分析】根据正切型函数的对称中心与周期的关系即可求解.【详解】由于的周期为,由于相邻两个对称中心距离是,所以,则,故答案为：164．（2023下·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）已知函数的图象关于点对称，则.【答案】/【分析】由正切函数的图象关于点对称求解．【详解】因为的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以.故答案为：．65．【多选】（2023上·江苏苏州·高三统考期中）函数，则（

）A．的一个周期为B．是增函数C．的图象关于点对称D．将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象【答案】AC【分析】根据的周期性，单调区间，对称中心，及平移逐项判断.【详解】对A：的最小正周期为，故A正确；对B：的递增应满足：，即增区间为，故B错误.对C：的对称中心满足：，即中心为，，故C正确；对D：将函数的图象向右平移个单位长度可得到，故D错误.故选：AC66．【多选】（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数是奇函数B．函数的最小正周期是C．函数在上单调递增D．函数图象的对称中心是【答案】ACD【分析】对于A，利用函数奇偶性的定义判断，对于B，利用周期公式判断，对于C，利用正切函数的性质分析判断，对于D，由分析判断.【详解】对于A，的定义域为，定义域关于原点对称，因为，所以是奇函数，所以A正确，对于B，的最小正周期为，所以B错误，对于C，由，得，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以C正确，对于D，由，得，所以图象的对称中心是，所以D正确，故选：ACD67．【多选】（2023上·高一单元测试）下列关于函数的说法正确的是（）A．在区间上单调递减B．最小正周期是C．图象关于点成中心对称D．图象关于直线成轴对称【答案】AC【分析】代入正切函数的结论求解判断A选项；由正切函数周期公式求解判断B，利用正切函数对称性判断C、D选项.【详解】对于A，令，，解得，当时，，所以在上单调递减，又，故函数在区间上单调递减，正确；对于B，最小正周期为，错误；对于C，令得，，所以对称中心为，当时，是对称中心，正确；对于D，函数不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC.68．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）已知函数图象上相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图象与函数（，且）的图象所有交点的横坐标之和为【答案】12【分析】先已知求函数解析式，然后作图，利用对称性求解可得.【详解】解：由已知得的最小正周期为3，即，，则．又，即，，，，，，又，的图象关于点中心对称，作出和（，且）的图象如图所示，可知两函数图象共有6个交点，且关于点中心对称，故这6个交点的横坐标之和为．故答案为：12

一、单选题1．（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为.故选:D．2．（2023上·北京丰台·高三统考期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A，指数函数是非奇非偶函数，故A错误；对于选项B，函数是偶函数，故B错误；对于选项C，幂函数既是奇函数，又是定义域上的增函数，故C正确；对于选项D，正切函数在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D错误.故选：C.3．（2023上·甘肃酒泉·高三甘肃省酒泉中学校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式以及正弦函数的单调性可比较的大小，再结合正切函数的性质判断c的范围，即可得答案.【详解】因为，，,而在上单调递增，所以，即.又由，所以，故选：C.4．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）如图，函数的部分图象与轴相交于两点，与轴相交于点，且的面积为，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由三角形面积求得函数的周期，由周期得参数值．【详解】根据题意，当时，，又的面积为，函数的周期为，可得周期，故选：B.5．（2023上·广西贵港·高二校联考开学考试）在，，这3个函数中，奇函数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】直接由幂函数与正切函数的性质判断与的奇偶性，再利用奇函数的定义判断的奇偶性，从而得解.【详解】易知幂函数与正切函数是奇函数，而的定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数，所以奇函数的个数为3．故选：D.6．（2023上·高一课时练习）函数的最小正周期是（）A． B．C． D．π【答案】B【分析】根据正切型三角函数的周期性求解即可.【详解】函数的最小正周期是.故选：B.7．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【分析】由正切函数的定义域以及被开方数大于零求解结果.【详解】由已知可得且，解得且，所以函数的定义域是.故选：C.8．（2023下·湖南·高二校联考阶段练习）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，，则，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：D二、多选题9．（2023上·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（

）A．为偶函数B．是的一个单调递增区间C．D．当时，【答案】ACD【分析】根据正弦函数、正切函数奇偶性判断A，取特值判断B，根据诱导公式判断C，分类讨论判断D.【详解】因为的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，故A正确；因为，所以，且，所以不是函数的递增区间，故B不正确；，故C正确；因为当时，，所以，同理，当时，，即时，，故D正确.故选：ACD.10．（2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）如图，函数的图象与轴相交于，两点，与轴相交于点，且满足的面积为，则下列结论正确的是（

）A．B．是的一个单调递增区间C．函数图象的对称中心为点，D．函数的图象可由函数的图象先向右平移个单位长度，各点的横坐标再伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的得到【答案】AD【分析】由三角形面积求出，即可得到函数的最小正周期，从而求出得到函数解析式，再根据正切函数的性质判断B、C，根据三角函数的变换规则判断D.【详解】根据题意，当时，，又因为的面积为，所以，则，所以函数的最小正周期为，可得，则，可得，故A正确；由，，则，，所以当时，，所以是的一个单调递增区间，故B不正确；由，，则，，所以函数图象的对称中心为点，，故C不正确；将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可得的图象，故D正确．故选：AD．11．（2023上·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期是，则B．当时，的对称中心的坐标为C．当时，D．若在区间上单调递增，则【答案】ACD【分析】对于利用函数周期公式求解即可；对于，求出当时，函数的对称中心，即可判定；对于，，求出，利用函数的单调性即可比较大小；对于，求出函数的单调递增区间，结合题中条件列出不等式组，解出结果，再结合周期范围及，即可求出的范围.【详解】对于当的最小正周期是，即则，故正确；对于,当时，，所以令,解得，所以函数的对称中心的坐标为，故错误；对于，当时，，，，由于正切函数在单调递增，故，故正确；对于,令解得：，所以函数的单调递增区间为，又因为在区间上单调递增，所以解得:，另一方面，所以又因为所以故，故正确.故选：12．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）已知是函数的图象与直线的两个交点，则下列结论正确的是（

）A．B．的定义域为C．在区间单调递增D．的图象的对称中心为点【答案】AD【分析】A选项，根据的周期性判断即可；BD选项利用整体代入的方法求定义域和对称中心即可；C选项，利用代入检验法判断单调性.【详解】因为是函数的图象与直线的交点，所以的最小值为函数的最小正周期，，所以，故A正确；令，解得，所以的定义域为，故B错；因为，所以，因为函数在上不单调，所以函数在上不单调，故C错；令，解得，所以的对称中心为点，，故D正确.故选：AD.三、填空题13．（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）函数的定义域为.（用区间表示结果）【答案】【分析】根据对数函数的真数大于零，偶次方根下大于等于零及正切函数的定义域列式求解即可.【详解】要使函数有意义，只需，所以，，即，，所以或，所以函数的定义域为.故答案为：.14．（2023下·广东阳江·高一广东两阳中学校考期末）已知，请写出一个满足条件的角．【答案】（答案不唯一）【分析】根据特殊角的正切函数值进行求解即可.【详解】，所以，则，故满足条件的一个角为.故答案为：（答案不唯一）.15．（2023·全国·高三专题练习）的单调递减区间为.【答案】【分析】化简函数为，由正切函数的性质可求得函数的单调递减区间.【详解】函数，由正切函数的性质知，解得所以函数的单调递减区间为故答案为：16．（2023上·高一课时练习）比较大小：.【答案】>【分析】根据给定条件，利用正切函数的性质比较大小作答.【详解】依题意，，所以，