人教版七年级数学上册常考提分精练 专题03 绝对值的几何意义（原卷版+解析版）

专题03绝对值的几何意义类型一求两个绝对值和的最小值1．数学实验室：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是______.（1+1分，注意写出最后结果）（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a和b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x和﹣5的两点A、B之间的距离是，如果|AB|＝3，那么x的值为；(3)当代数式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的取值范围是多少？最小值是多少？(4)已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+(b﹣1)2＝0，设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．3．“数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示和5两点之间的距离是__________．（2）若，则______．（3）若x表示一个有理数，的最小值为_________．（4）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，8，现在点A、点B分别以3个单位长度/秒和2单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点A所对应的数是多少？4．认真阅读下面的材料，完成问题．在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．（1）利用上面的知识回答：点A、B在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A到B的距离可表示为，这个距离的计算结果是；（2）利用上面的知识回答：若|x－1|=2，则x=；（3）利用上面的知识回答：|x－2|+|x+1|的最小值是．5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．（3）数轴上点用数表示：①若，那么的值是________．②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．③有最小值，最小值是___________．类型二求多个绝对值和的最小值6．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；（4）的最小值_____．7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．8．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（4）结合数轴求的最小值为，此时符合条件的整数x为．（5）结合数轴求的最小值为，此时符合条件的整数x为．（6）结合数轴求的最小值为，最大值为．9．阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝．（2）若，则的值是．（3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值；（4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？10．我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______；（3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值．11．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为；（3）直接写出的最小值为；（4）直接写出的最小值为；（5）简要求出的最小值．类型三利用绝对值的几何意义解方程12．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x=3或x=-1．知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解（1）方程|x|=5的解（2）方程|x-2|=3的解13．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．例1解方程．解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．例2解不等式．解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为______；（2）解不等式；（3）若，则的取值范围是_______；（4）若，则的取值范围是_______．14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x|=5的解是_______________．（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．15．阅读材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示数轴上与对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为和．例2：已知，求的值．解：在数轴上与的距离为的点的对应数为和，即的值为和．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）（2）（3）由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．类型四利用绝对值的几何意义解不等式16．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x＋3|＝4的解为________．(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．17．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|+2|=3的解为；（2）解不等式：|－2|＜6；（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；（4）解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.18．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1．解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2．解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．

例3．解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|+3|=4的解为；（2）解不等式：|－3|≥5；（3）解不等式：|－3|+|+4|≥919．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1.解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为.例2.解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为________；（2）解不等式：；（3）解不等式：．20．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为的点对应的数为，所以方程的解为．例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到对应的点的距离等于的点对应的数为或，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为；（2）解不等式：；（3）解不等式：．专题03绝对值的几何意义类型一求两个绝对值和的最小值1．数学实验室：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义.进一步地，数轴上的两个点A、B，分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离AB=|a－b|.利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和－5的两点之间的距离是______.（1+1分，注意写出最后结果）（2）式子|x+2|可以看做数轴上表示x和______的两点之间的距离.（3）式子|x+2|＋|x－3|的最小值是______.（4）当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是______.【答案】（1）4，（2）6；（3）-2；（4）5．（5）-2x3.【解析】【分析】根据绝对值的定义进行填空即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和5的两点的距离是=4，数轴上表示1和-5的两点之间的距离是6；故答案为4，6；（2）∵|x+2|=，∴式子|x+2|可以看做数轴上表示x和-2的两点之间的距离;故答案为-2；（3）当x在数轴上表示-2和3之间时，此时|x+2|＋|x－3|的最小值为5;故答案为5．(4)当x在数轴上表示-2和3之间时，此时|x+2|＋|x－3|的最小值为5;即当|x+2|＋|x－3|取得最小值时，数x的取值范围是-2x3.故答案为-2x3.2．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a和b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是，数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；(2)数轴上表示x和﹣5的两点A、B之间的距离是，如果|AB|＝3，那么x的值为；(3)当代数式|x﹣1|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的取值范围是多少？最小值是多少？(4)已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+(b﹣1)2＝0，设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|﹣|PB|＝2时，求x的值．【答案】(1)4；4；5；(2)；-8或-2；(3)x的范围是；最小值是4；(4)x的值为.【解析】【分析】（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到1和3距离的和，当x在1和3之间时有最小值．（4）应考虑到A、B、P三点之间的位置关系的多种可能解题．【详解】（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是|7﹣3|=4，数轴上表示﹣3和﹣7的两点之间的距离是|﹣7﹣（﹣3）|=4．数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是|2﹣（﹣3）|=5．（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣5）|=|x+5|，如果|AB|=3，那么x为﹣8或﹣2．（3）代数式|x﹣1|+|x+3|表示在数轴上到1和﹣3两点的距离的和，当x在﹣3和1之间时，代数式取得最小值，最小值是﹣3和1之间的距离4．故当﹣3≤x≤1时，代数式取得最小值，最小值是4．（4）①当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣5≠2．②当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=5≠2，∴上述两种情况的点P不存在．③当P在A、B之间时，|PA|=|x﹣（﹣4）|=x+4，|PB|=|x﹣1|=1﹣x．∵|PA|﹣|PB|=2，∴x+4﹣（1﹣x）=2，∴x，即x的值为．故答案为（1）4；4；5．（2）|x+5|；﹣8或﹣2．（3）x的范围是﹣3≤x≤1；最小值是4．（4）x的值为-.【点睛】本题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．3．“数形结合”是重要的数学思想．如：表示3与差的绝对值，实际上也可以理解为3与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B，所对应的数分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示和5两点之间的距离是__________．（2）若，则______．（3）若x表示一个有理数，的最小值为_________．（4）已知数轴上两点A、B对应的数分别为，8，现在点A、点B分别以3个单位长度/秒和2单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点A所对应的数是多少？【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4）或【解析】【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式：，代入计算即可得到答案；（2）由可得或再解方程即可得到答案；（3）先画好数轴，如图，表示表示当对应的点在线段上时，则此时而且利用两点之间线段最短，可得此时可得最小值；（4）如图，向右移动后对应的数为：向右移动后对应的数为：再利用两点之间的距离公式表示再利用建立绝对值方程，解方程可得答案.【详解】解：（1）数轴上表示和5两点之间的距离是：故答案为：7（2）或解得：或故答案为：或（3）如图，表示表示当对应的点在线段上时，则此时：的值最小，为故答案为：（4）如图，向右移动后对应的数为：向右移动后对应的数为：而移动后：或解得：或当时，向右移动后对应的数为：当时，向右移动后对应的数为：【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，建立绝对值方程，一元一次方程的解法，掌握数形结合的方法解题是解本题的关键.4．认真阅读下面的材料，完成问题．在学习绝对值时，我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如|5|意义为表示5的点到原点的距离，实际上可理解为，|5|=|5－0|，即5到0点的距离．又如|5－3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离，容易知道|5－（－3）|=|5+3|=8．即5与－3相距8个单位长度．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．（1）利用上面的知识回答：点A、B在数轴上分别表示有理数－5、1，那么A到B的距离可表示为，这个距离的计算结果是；（2）利用上面的知识回答：若|x－1|=2，则x=；（3）利用上面的知识回答：|x－2|+|x+1|的最小值是．【答案】（1）|1-（-5）|，6；（2）-1或3；（3）3．【解析】【分析】（1）根据数轴上两点距离公式表示和计算即可；（2）根据点到1的距离等于2，即可找出x=-1或3即可；（3）根据条件化去绝对值当x≥2时，|x－2|+|x+1|=2x-1≥3，-1≤x＜2时，|x－2|+|x+1|=3，当x＜-1时，|x－2|+|x+1|=1-2x＞3即可．【详解】解：（1）|1-（-5）|=|1+5|=6；故答案为：|1-（-5）|，6；（2）∵|3－1|=2，∴x=3，∵|-1-1|=2，∴x=－1，∴|x－1|=2，x=-1或3，故答案为-1或3；（3）当x≥2时，|x－2|+|x+1|=x-2+x+1=2x-1≥3，-1≤x＜2时，|x－2|+|x+1|=2-x+x+1=3，当x＜-1时，|x－2|+|x+1|=2-x-x-1=1-2x＞3，|x－2|+|x+1|的最小值是3．故答案为：3．【点睛】本题考查数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项，掌握数轴上两个点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值的方法，整式的加减法，同类项是解题关键．5．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．（3）数轴上点用数表示：①若，那么的值是________．②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．③有最小值，最小值是___________．【答案】（1）5；2；（2）5或；（3）①或8；②，6；③2020．【解析】【分析】（1）根据两点之间的距离公式进一步计算即可；（2）根据绝对值的定义求解即可；（3）①利用绝对值的定义可知或，然后进一步计算即可；②的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此进一步求解即可；③是表示数轴上表示3与表示的点的距离之和，然后进一步求解即可.【详解】（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是：；数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是：，故答案为：5，2；（2）若，则或，故答案为：5或；（3）①若，则或，∴或，故答案为：或8；②∵的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，∴，其中整数有、、0、1、2、3共6个，故答案为：，6；③∵是表示数轴上表示3与表示的点的距离之和，∴当时，有最小值，此时最小值为：，故答案为：2020.【点睛】本题主要考查了绝对值意义的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.类型二求多个绝对值和的最小值6．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、分别表示数、，那么．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是____；（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是____，如果=2，那么的值为_____；（3）写出表示的几何意义：_____，该式的最小值为______；（4）的最小值_____．【答案】（1）3，3，4；（2），1或-3；（3）点x到的距离与点x到的距离之和，2；（4）2【解析】【分析】（1）结合题意，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案；（2）根据数轴、绝对值的性质计算，即可得到答案；（3）根据数轴、绝对值的性质，对x的取值分类计算，即可完成求解；（4）结合（3）的结论，根据数轴和绝对值的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：；数轴上表示和的两点之间的距离是：；数轴上表示1和的两点之间的距离是：；故答案是：3，3，4；（2）数轴上表示和-1的两点、之间的距离是：；∵=2∴∴或故答案为：，1或-3（3）表示的几何意义：点x到的距离与点x到的距离之和；当时，当时，当时，∴的最小值为：2故答案为：点x到的距离与点x到的距离之和，2；（4）结合（3）的结论，当时，的最小值为：2∴当时，取最小值，即∴∴的最小值为：2故答案为：2．【点睛】本题考查了数轴、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值的性质，从而完成求解．7．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．回答下列问题：(1)几何意义是数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是________；式子的几何意义是_______________________；(2)根据绝对值的几何意义，当时，________；(3)探究：的最小值为_________，此时m满足的条件是________；(4)的最小值为________，此时m满足的条件是__________．【答案】(1)或；数轴上表示数a的点与数2的点之间的距离．(2)或5(3)10，(4)17，【解析】【分析】（1）根据距离公式及定义表示即可；（2）分点在2表示的数的点的左边和右边两种情形求解；（3）利用数形结合思想，画数轴求解即可；（4）利用数形结合思想，画数轴求解即可．(1)解：①在数轴上的意义是表示数的点与表示数的点之间的距离的式子是，故答案为：；②∵=|a-(-5)|，∴在数轴上的意义是表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．故答案为：表示数a的点与表示数-5的点之间的距离．(2)解：∵表示数m到2的距离，画数轴如下：当数在2的右边时，右数3个单个单位长，得到对应数是5，符合题意；当数在2的左边时，左数3个单个单位长，得到对应数是-1，符合题意；故答案为：-1或5；(3)解：∵表示数m与-1，9的距离之和，画数轴如下：根据两点之间线段最短，-1表示点与9表示点的最短距离为9-（-1）=10，此时动点m在-1表示点与9表示点构成的线段上，∴；故答案为：10、；(4)解：根据题意，画图如下，根据两点之间线段最短，-1表示点与16表示点的最短距离为16-（-1）=17，此时动点m在-1表示点与16表示点构成的线段上，且到9表示的点的距离为0，∴；故答案为：17、．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段最短原理，数轴的意义，解题的关键是利用数形结合思想，分类思想，结合数轴，运用数学思想解题．8．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．（4）结合数轴求的最小值为，此时符合条件的整数x为．（5）结合数轴求的最小值为，此时符合条件的整数x为．（6）结合数轴求的最小值为，最大值为．【答案】（1）15；（2）|x+1|；（3）4；（4）7；0,1；（5）16；1；（6）-2；2．【解析】【分析】（1）利用两点距离公式-5-（-20）计算即可；（2）利用两点距离公式|x-(-1)|计算即可；（3）分当x≤-1当-1＜x≤2，当2＜x≤3，当x≥3区间化去绝对值，合并同类项即可；（4）分当x≤-2，当-2≤x≤0，当0≤x≤1，当1≤x≤4，当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（5）分当x≤-2，当-2≤x≤0，当0≤x≤1，当1≤x≤4，当x≥4区间化去绝对值，合并同类项，再确定区间的代数式最小值即可；（6）分区间化去绝对值当x≤1，，当1≤x≤3，，当x≥3，即可．【详解】解：（1）-5-（-20）=-5+20=15，故答案为15；（2）|x-(-1)|=|x+1|，故答案为：|x+1|；（3）当x≤-1，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=-x-1–x+2-x+3=-3x+4≥7，当-1＜x≤2，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1–x+2-x+3=-x+6≥4，当2＜x≤3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x-2-x+3=x+2＞4，当x＞3，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x-2+x-3=3x-4＞5，式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是4，故答案为4；（4）当x≤-2，，当-2≤x≤0，当0≤x≤1，当1≤x≤4，当x≥4，|∴的最小值为7，符合条件的整数x为0，1，故答案为：7；0,1；（5）当x≤-2，，当-2≤x≤0，当0≤x≤1，当1≤x≤4，当x≥4，|∴的最小值为16，符合条件的整数x为1，故答案为16；1；（6）当x≤1，，当1≤x≤3，，当x≥3，，的最小值为-2，最大值为2．故答案为-2；2．【点睛】本题考查数轴上两点距离，绝对值化简，最值，掌握数轴上两点距离，分区间绝对值化简方法是解题关键．9．阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：（1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝．（2）若，则的值是．（3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值；（4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）当时，最小值为；（5）当时，最小值为【解析】【分析】（1）根据题目中的方法确定出的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出的值；（3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案．【详解】解：（1），则；（2）∵，∴，故或，故答案为：或；（3）∵数轴上表示数的点位于－4和2之间，∴；（4）∵，代表点到和到之间的距离之和，当时，取得最小值，最小值为；（5）当时，有最小值，最小值为====20．【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．10．我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么AB=|a-b|．(思考一下，为什么？)，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是_______；（2）数轴上表示x和－1的两点A、B之间的距离是_______，如果|AB|=2，那么x的值为_______；（3）当x取何值时，式子|x－1|+|x－2|+|x－3|+|x－4|+|x－5|的值最小，并求出这个最小值．【答案】（1）3，3，4；（2）|x+1|，1或-3；（3）x=3，最小值为6【解析】【分析】（1）根据两点间的距离的求法列式计算即可得解；（2）根据绝对值的几何意义列式计算即可得解；（3）根据数轴上两点间的距离公式得到式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的意义，从而分析出x=3时，式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值最小．【详解】解：（1）表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3，表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-3）|=4；（2）表示x和-1的两点A、B之间的距离是|x+1|，∵|AB|=2，∴|x+1|=2，∴x+1=2或x+1=-2，解得x=1或-3；（3）式子|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|表示x到数轴上1，2，3，4，5五个数的距离之和，∴当x与3重合时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|有最小值，最小值为6，此时x=3．【点睛】本题主要考查了数轴以及数轴上两点间的距离公式的综合应用，解决问题的关键是掌握：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．解题时注意：数轴上任意两点分别表示的数是a、b，则这两点间的距离可表示为|a-b|．11．我们知道，表示数对应的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，如果数轴上两个点分别表示数，那么两点之间的距离为．利用此结论，回答下列问题：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示和－1的两点之间的距离为2，那么的值为；（3）直接写出的最小值为；（4）直接写出的最小值为；（5）简要求出的最小值．【答案】（1）6；（2）-3或1；（3）6；（4）6；（5）2450【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式求解可得；（2）根据绝对值的定义可得；（3）得出的几何意义，从而得到最小值；（4）得出的几何意义，从而得到最小值；（5）根据绝对值的几何意义可知：当x=50时值最小，然后去掉绝对值符号，再利用求和公式列式计算即可得解．【详解】解：（1）数轴上表示3和－3的两点之间的距离是，故答案为：6；（2）由题意可得：，则x的值为：-3或1；（3）∵表示数轴上表示点x到-2和4两点的距离和，∴当x在-2到4之间时，有最小值，最小值为6；（4）表示数轴上表示点x到-2和1和4三点的距离和，∴当x与1重合时，的值最小，最小值为6；（5）的中间一项是|x-50|，当x=50时，有最小值，∴==49+48+47+…+1+0+1+2+…+49=2×（1+2+…+49）=2450．【点睛】本题主要考查的是绝对值的意义的应用，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键．类型三利用绝对值的几何意义解方程12．阅读理解；我们知道」x丨的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即丨x丨=丨x-0丨，也就是说丨x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：丨x-y丨表示在数轴上数x、y对应点之间的距离．在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程丨x-1丨=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，所以该方程的解是x=3或x=-1．知识运用：根据上面的阅读材料，求下列方程的解（1）方程|x|=5的解（2）方程|x-2|=3的解【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出x的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出x的值即可；【详解】（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为∴方程的解是（2）∵在方程中，数轴上到2的距离为3的点对应的数．∴方程的解是或．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．13．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．例1解方程．解：∵，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为．例2解不等式．解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为______；（2）解不等式；（3）若，则的取值范围是_______；（4）若，则的取值范围是_______．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可；（2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可；（3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案；（4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可．【详解】解：（1），，解得：，故答案为：；（2），首先找的解，即到-2距离为4的点对应的数为-6和2，表示到-2的距离小于4的点对应的所有数，不等式解集为；（3），表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，；故答案为：；（4），表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数x到1的距离减去数x到-2的距离，当x在点1右边时，，当x在点-2左边时，，当x在-2到1之间时，，；故答案为：．【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键．14．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|=|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|=2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x=±2．②在方程|x﹣1|=2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x=3或x=﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|=5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x=2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3，所以原方程的解是x=2或x=﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x|=5的解是_______________．（2）方程|x﹣2|=3的解是_________________．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|=9．【答案】（1）x=5或-5

；（2）x=5或-1；（3）x=5或-4.【解析】【详解】试题分析：（1）由于|x|=5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x=±5；（2）由于|x-2|=3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x=5或-1；（3）方程|x-3|+|x+2|=9表示数轴上与3和-2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和-2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或-2的左边，画图即可解答．试题解析：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，∴方程|x|=5的解为x=±5；（2）∵在方程|x-2|=3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，∴方程|x-2|=3的解是x=5或-1；（3）∵在数轴上3和-2的距离为5，5＜9，∴满足方程|x-3|+|x+2|=9的x的对应点在3的右边或-2的左边．若x的对应点在3的右边，由图示可知，x=5；若x的对应点在-2的左边，由图示可知，x=-4，所以原方程的解是x=5或x=-4．点睛：本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．15．阅读材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说表示在数轴上数与数对应的点之间的距离，这个结论可以推广为表示数轴上与对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：容易看出，在数轴上与原点距离为的点的对应数为和，即的值为和．例2：已知，求的值．解：在数轴上与的距离为的点的对应数为和，即的值为和．仿照阅读材料的解法，求下列各式中的值．（1）（2）（3）由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由．【答案】（1）-3和3；（2）-6和2；（3）有最小值，最小值为3【解析】【分析】（1）由阅读材料中的方法求出的值即可；（2）由阅读材料中的方法求出的值即可；（3）根据题意得出原式最小时的范围，并求出最小值即可．【详解】（1），在数轴上与原点距离为3的点的对应数为-3和3，即的值为-3和3；（2），在数轴上与-2距离为4的点的对应数为-6和2，即的值为-6和2；（3）有最小值，最小值为3，理由是：∵理解为：在数轴上表示到3和6的距离之和，∴当在3与6之间的线段上（即）时：即的值有最小值，最小值为．【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示方法是解题的关键．类型四利用绝对值的几何意义解不等式16．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|x＋3|＝4的解为________．(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．【答案】(1)1和－7；(2)x≥4或x≤－5(3)a≤7【解析】【分析】(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；(3)|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．【详解】(1)方程|x＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值．在数轴上，３和－４的距离为７，满足方程的x对应点在３的右边或－４的左边，若x对应点在３的右边，由图可以看出x≥４；同理，若x对应点在－４的左边，可得x≤－５，即可求得x≥4或x≤－5．(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的点到数轴上与3和－4的距离之和，当表示对应x的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7．故a≤7．【点睛】此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.17．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|+2|=3的解为；（2）解不等式：|－2|＜6；（3）解不等式：|－3|+|+4|≥9；（4）解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【答案】（1）或x=－5；（2）－4＜x＜8；（3）x≥或x≤－5；（4）或

.【解析】【分析】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3；（2）在数轴上找出|－2|=6的解；即在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数；（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．再根据数轴上的位置分析出不等式的解集;（4）由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．【详解】（1）由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=－5．（2）在数轴上找出|－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，∴方程|－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集为－4＜x＜8．（3）在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集为x≥或x≤－5．（4）在数轴上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或

.【点睛】考核知识点：绝对值的几何意义的运用.根据材料，理解绝对值的几何意义是解题关键.18．阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1．解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2．解不等式|－1|＞2．在数轴