二次函数与方程、不等式2023年中考数学考点微

考向3.6二次函数与方程、不等式

例1、（2021•广西贺州•中考真题）如图，已知抛物线丫=以2+。与直线y=h+，〃交于A（-3，x）,

BQ%）两点，则关于x的不等式⑪2+CN-AX+〃7的解集是（）

A.x<-3^x>\B.X<-1^A>3C.-3<X<1D.-1<X<3

解：.y=6+相勺y=-fcr+〃z关于y轴对称

抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，

因此抛物线丫=加+。与直线产区+机的交点和与直线y=-丘+机的交点也关于y轴对

称

设》=-履+机与y=a%2+c交点为A、B,则4（-1，%），B'（3,y）

ax2+c>-kx+m

即在点4、B'之间的函数图像满足题意

.•.以2+,*一丘+%的解集为：一lVx43故选D.

本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此.理

解），=丘+机与丫=-奴+机关于y轴对称是解题的关键.

疏）

0

二次函数

y=ax1+bx+c(a卞0)

的图像

QX1=XX

2I

二次方程

ax2+bx+c=0(a^Q)x=x—x;无实根

x-x\]2

的根2

不等式

2

ax+bx+c>0(。丰0)X<%或X>x2Xw玉。x2;全体实数

的解集

不等式

1

ax+bx+c<0(a丰0)X[<x<x2无解无解

的解集

根的判别式△=〃—4acA>()A=()A<0

例2、(2021•四川乐山•中考真题)已知关于x的一元二次方程—+》-机=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求，〃的取值范围；

(2)二次函数.'—V+x-切的部分图象如图所示，求一元二次方程/+尸机=0的解.

.L

4

(2)由图知/+x-机=0的一个根为1,

I2+1-=0,:・m=2,

即一元二次方程为丁+X_2=(),

解得为=1,工2=-2,

・・・一元二次方程f+x—m=0的解为X=1,马=-2.

本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元

二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键.

例3、（2021•四川乐山•中考真题）已知二次函数丁=以2+云+（•的图象开口向上，且经过点

（1）求人的值（用含。的代数式表示）；

（2）若二次函数二加+bx+c在1W时，的最大值为1,求。的值；

（3）将线段A3向右平移2个单位得到线段A5,若线段Ab与抛物线

y=⑪2+^+C+4Q_]仅有一个交点，求。的取值范围.

解：（1）.・•抛物线丁=52+历C+C过点-

[3

c=—

.2

1，

4a+2〃+c=——

[2

4a+2b+-=--

22f

/.b=-2a一1（。＞0）.

3

（2）由（1）可得y=—（2〃+l）x+万，

在范围内，y的最大值只可能在X=1或无=3处取得.

13

当x=1时，y=—。+万，当％=3时，%=3〃一万.

I31

①若其＜%时，即一〃+万＜3。一]时，得。＞],

35

/.a—=1,得。=一.

26

131

②若/=%，即一。+鼻=3。-5时，得。二万，此时,=丫2=。。1，舍去.

③y＞为，即—aH—＞3。—，时，得0＜。＜!，

222

1I1Al

••一。+二=1,«=舍去.

22

.••综上知，a的值为

O

（3）设直线A8的解析式为y=w+",

・・•直线AB过点《2,-

3

n=—

・2.।

・・<]'•■加=—1，

2m+〃=——

I2

.’3

..y=-x+~.

将线段A8向右平移2个单位得到线段A®,

37

A'B'的解析式满足y=-(x-2)+/,BPy=-%+-.

又•.•抛物线的解析式为^="2+云+。+4“-1,

y=ax2-(2a+l)x+4a+g.

又：线段A'B'与抛物线丫=以2+打+。+4。-1在2V》44范围内仅有一个交点，

17

即方程62—(2。+1)工+4。+[=一工+不在24太44的范围内仅有一个根，

22

整理得0¥2—2分+44—3=0在24%44的范围内仅有一个根，

即抛物线y=ax2-2ax+4。-3在2<x<4的范围内与1轴仅有•个交点.

只需当x=2对应的函数值小于或等于0,且x=4对应的函数值大于或等于即司;

即x=2时，4a-4a+4a-3<0,彳寻。工之，

4

当％=4时，16。一84+4。-3之0,得aNL

4

综上。的取值范围为;|3

44

本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与X轴的交点与方程的根的情况、

熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键

经典变式练

一、单选题

1.(2020・贵州贵阳•中考真题)已知二次函数y=a?+W+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,

关于x的方程如2+法+。+〃?=0(，〃>())有两个根，其中一个根是3.则关于*的方程

ox。+bx+c+"=O（。<”<〃?）有两个整数根，这两个整数根是（）

A.-2或0B.T或2C.-5或3D.-6或4

2.（2020•山东德州•中考真题）二次函数y=G+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错

误的是（）

A.若（-2,yj,（5,*）是图象上的两点，则

B.3a+c=0

C.方程or2+bx+c=-2有两个不相等的实数根

D.当x20时，y随x的增大而减小

3.（2020•湖北襄阳•中考真题）二次函数y=d+法+c的图象如图所示，下列结论：①心<0；

②3“+c=0；③4碎-/<0;④当x>-l时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）

4.（2020.河北•中考真题）如图，现要在抛物线y=x（4-x）上找点P（“,6）,针对方的不同取

值，所找点P的个数，三人的说法如下，

甲：若。=5,则点尸的个数为0；

乙：若8=4,则点P的个数为1；

丙：若。=3,则点P的个数为1.

下列判断正确的是（）

A.乙错，丙对B.甲和乙都错

C.乙对，丙错D.甲错，丙对

5.（2020・湖南娄底•中考真题）函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数

中存在零点的是（）

A.y=x2+x+2B.y=4x+\C.y=x+—D.y=|x|-l

x

6.（2021.四川泸州•中考真题）直线/过点（0,4）且与y轴垂直，若二次函数

y=（x-«）2+（x-2a）2+（x-3a）2-2a2+a（其中x是自变量）的图像与直线/有两个不同的

交点，且其对称轴在y轴右侧，则〃的取值范围是（）

A.a>4B.a>0C.0<a<4D.0<a<4

7.（2021•贵州铜仁・中考真题）已知抛物线y=a（x-/z）2+%与x轴有两个交点A（-1,0）,

3（3,0）,抛物线y=a（xi-〃?）2+Z与x轴的一个交点是（4,0）,则机的值是（）

A.5B.-1C.5或1D,-5或-1

二、填空题

8.（2021・广东・中考真题）若一元二次方程加+c=0（b,c为常数）的两根和刍满足

-3<X,<-1,1<X2<3,则符合条件的一个方程为.

9.（2020•山东青岛•中考真题）抛物线y=2/+2（Z-l）x-%（女为常数）与x轴交点的个数

是.

一、单选题

1.（2019•浙江杭州•模拟预测）在自变量x的取值范围594x460内，二次函数y=V+x+；

的函数值中整数的个数是（）

A.120B.118C.60D.59

2.（2019•山东烟台•一模）如图,抛物线y="2+fer+c（aH0）的顶点为尸（一1,祖）,与x轴的一

个交点坐标为（一3,0）.下列结论：①4加<%②a+b+c>0；③当—3<x<l时，y>0；④

若则方程af+6x+c=4没有实数根.其中正确的是（）

A.①②®B.②③④C.①②④D.①③④

3.（2019•广东・广州市第二中学二模）如图是抛物线y=ax2+bx+c（axO）图象的一部分.当

A.x<-l或x>2：B.xv-l或x>5

C.-l<x<5D.-1<x<2

4.（2019•山东泰山•一模）二次函数）=加+饭+。（存0）的图象如图所示，给出下列四个结

论：①abc>0；3Z?+2c<0；③4a+c<2b；④当y>0时，其中结论正确的个数

C.4D.1

5.（2019・江苏•一模）已知二次函数>=-/+（a-2）x+3,当x>2时，y随x的增大而减

小，并且关于x的方程加-2x+l=0无实数解.那么符合条件的所有整数。的和是（）

A.120B.20C.0D.无法确定

6.（2019广西玉林•一模）二次函数丫=@0-4）2—4口却）的图象在2。<3这一段位于*轴

的下方，在6VxV7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

二、填空题

7.（2019•江苏•淮安曙光双语学校二模）如图，直线¥=如+"与抛物线二加+云+c交于

A（-1,p）,B（4,q）两点，则关于x的不等式如+〃<♦+fex+c的解集是.

8.(2019・湖南•长沙市南雅中学二模)如图抛物线y=or2+bx+c的对称轴是x=-1,与x轴

9.(2019•河南・尉氏县十八里镇实验中学三模)如图，是二次函数y=-炉+法+c的部分图象,

则不等式-^+bx+c>0的解集是.

10.(2019•福建・一模)已知函数y=x2-(l+m)x-2m,当-iSx'l时，至少有一个x值使

函数值y>rn成立，则m的取值范围是.

11.(2019•江苏•高邮市卸甲镇卸甲初级中学一模)如图，有两条抛物线y=ax2(a>0),y

=mx2+nx(m<0),抛物线y=mx2+nx的顶点在y=ax?上，且与x轴交于(0,0),(4,0)

12.(2019•浙江•杭州市文澜中学一模)已知如图二次函数yi=ax2+bx+c(a/))与一次函数

y2=kx+m(k/0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2)(如图所示)则能使yi<y2成立的

x的取值范围是.

三、解答题

13.（2019•浙江温州外国语学校二模）已知，点P为二次函数y=-（x-加）2-2,"+1图象的

顶点，直线丫=区+2分别交X轴的负半轴和y轴于点A,点B.

（1）若二次函数图象经过点8,求二次函数的解析式.

⑵如图，若点A坐标为（T，0）,且点尸在AO8内部（不包含边界）.

①求机的取值范围；

②若点都在二次函数图象上，试比较X与内的大小

14.（2019・浙江瓯海•二模）温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/

吨的价格买入杨梅（购买的数量不超过8吨），包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它

的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（单位：吨）之间的函数关系如图所示.

（1）求y与x的函数表达式？

（2）当销售数量为多少时，该公司经营这批杨梅所获得的毛利润（卬）最大？最大毛利润

为多少万元？（毛利润=销售总收入-进价总成本-包装总费用）

（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨.深

加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y=；x+3（0<xV8）

①当该公司销售杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？

②该公司销售杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利

润大些？（直接写出答案）

A）'《万元）

x（吨）

一、单选题

1.（2021•山东日照•中考真题）抛物线+加+《"0）的对称轴是直线仙_1,其图象如

图所示.下列结论：®abc<0；②（4a+c『<（2"2；③若（西方）和（2,%）是抛物线上的两

点，则当归+1|>上+1|时，y<%；④抛物线的顶点坐标为（-1,加），则关于x的方程

火2+法+°=〃?-1无实数根.其中正确结论的个数是（）

2.（2021・湖北天门•中考真题）若抛物线y=V+云+c与x轴两个交点间的距离为4.对称

轴为x=2,P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）

A.（2,4）B.（-2,4）C.（—2,T）D.（2,T）

3.（2021.贵州铜仁.中考真题）已知直线y=^+2过一、二、三象限，则直线y=fcr+2与

抛物线y=f-2x+3的交点个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个

4.（2021.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）如图，二次函数〉=0^+"+式。30）图象的一部分与

x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为x=-1,结合图象给出下列结论：

①a+6+c=0；

@a-2b+c<0；

③关于x的一元二次方程加+%x+c=0（aw0）的两根分别为-3和1；

④若点（-4,乂），（-2,%），（3,%）均在二次函数图象上，则凶。2<%;

@a-b<m（am+b）（〃］为任意实数）.

其中正确的结论有（)

5.（2021•湖北鄂州•中考真题）二次函数）="+版+,•（”（））的图象的一部分如图所示.已知

图象经过点（T,0）,其对称轴为直线x=l.下列结论：①而c<0；②4a+»+c<0；

③8“+c<0；④若抛物线经过点（-3,〃），则关于x的一元二次方程4+bx+c—〃=0（"0）

的两根分别为-3,5,上述结论中正确结论的个数为（）

6.（2021•四川遂宁・中考真题）已知二次函数>=加+阮+。3♦0）的图象如图所示，有下列

5个结论：①必c>0；②/<4℃；③2c<36；®a+2b>m（am+b）⑤若方程

|⑪2+法+/=1有四个根，则这四个根的和为2,其中正确的结论有（）

7.（2021・四川广元•中考真题）将二次函数丫=-/+2犬+3的图象在x轴上方的部分沿x轴

翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+。与新函数的图象恰有3个公共点时,

b的值为（）

21132113

A.---或-3B.----或-3C.一或—3D.一或—3

4444

8.（2021•天津・中考真题）已知抛物线产加+云+c（”,b,c是常数，经过点

（-1,7）,（0,1）,当x=-2时，与其对应的函数值）>1.有下列结论：®abc>0-,②关于x的

方程℃?+笈+c-3=0有两个不等的实数根；③a+6+c>7.其中，正确结论的个数是

（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

9.（2021•贵州遵义•中考真题）抛物线丫=加+次+c（a,b,c为常数,«>0）经过（0,0）,

（4,0）两点.则下列四个结论正确的有一（填写序号）.

①4a+6=0；

②5a+36+2c>0；

3

③若该抛物线y=aP+法+c与直线y=-3有交点，则。的取值范围是“2；；

4

④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程以为常数，出0）的根为整数,

则f的值只有3个.

10.（2021•四川成都・中考真题）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x、2x+k与x轴只

有一个交点，贝必=.

11.（2021•山东泰安・中考真题）如图是抛物线丫=狈2+区+。的部分图象，图象过点（3,0）,

对称轴为直线x=l,有下列四个结论：①a/?c>0；②a-6+c=0；③y的最大值为3；④方

程奴2+云+C+1=0有实数根.其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入）.

三、解答题

12.(2021.贵州遵义中考真题)如图，抛物线y=a(x-2)2+3(a为常数且存0)与y轴交

于点A(0,1).

(1)求该抛物线的解析式；

..2........

(2)若直线(原0)与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为处,工2,当为2+忿2

=10时，求k的值；

4/77

(3)当-4〈烂加时，y有最大值？，求机的值.

一参考答案

1.B

【分析】

由题意可得方程⑪2+bx+c=0的两个根是-3,1,方程在y的基础上加m,可以理解为二

次函数的图象沿着y轴平移m个单位，由此判断加m后的两个根，即可判断选项.

【详解】

二次函数y=a?+W+c的图象经过(-3,0)与(L0)两点,即方程以2+公+。=0的两个根是-

3和1,

以2+hx+c+m=o可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位，得到一个根3,

由1到3移动2个单位，可得另一个根为-5.由于0<n<m,

可知方程++bx+c+〃=O的两根范围在-5—3和1~3,

由此判断B符合该范围.

故选B.

【点拨】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解

为在图像上进行平移.

2.D

【分析】

根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断

即可得.

【详解】

由函数的图象可知，二次函数y=++法+c的对称轴为x=-g=l

则当时，y随x的增大而增大；当x>l时，y随x的增大而减小，选项D错误

由对称性可知，x=4时的函数值与x=-2时的函数值相等

则当x=4时，函数值为乂

­.'4<5

.•.%>名，则选项A正确

b.

-----=1

2a

:.b=-2a

又.,当元二一1时，a-b+c=O

「•a-（-2a）+c=。，即3a+c=0,选项B正:确

由函数的图象可知，二次函数>=以2+法+。的图象与x轴有两个交点

则将二次函数》=以2+法+c的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数

y=ax1+fer+c+2与x轴也有两个交点

因此，关于x的一元二次方程依2+-+。+2=0有两个不相等的实数根

即方程以2+云+。=_2有两个不相等的实数根，选项C正确

故选：D.

【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程

的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键.

3.B

【分析】

根据抛物线的开口向上，得到a>0,由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c<0,于是得到

b

ac<0,故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x=-丁=1,于是得到2a+b=0,当x=・l

2a

时，得到3a+c=0故②正确：把x=2代入函数解析式得到4a+2b+cV0,故③错误；抛物

线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据

二次函数的性质当x>1时，y随着x的增大而增大，故④错误.

【详解】

解：①•••抛物线开口向上与y轴交于负半轴，

•,.a>0,c<0

ac<0

故①正确；

②••.抛物线的对称轴是x=l,

2a

b=-2a

当x=-l时，y=0

/.0=a-b+c

3a+c=0

故②正确；

③•••抛物线与X轴有两个交点，即一元二次方程0=G2+法+,有两个不相等的实数解

b2—4ac>0

4ac-b2<0

故③正确；

④当时，y随x的增大而减小，当x>l时y随x的增大而增大.

故④错误

所以正确的答案有①、②、③共3个

故选：B

【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交

点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键.

4.C

【分析】

分别令x(4-x)的值为5,4.3,得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几

个，即可得到点。的个数.

【详解】

当b=5时，令x(4-x)=5,整理得：x2-4x+5=0,△=(-4)2-4x5=-6<0,因此点P的个数为0,

甲的说法正确；

当匕=4时，令x(4.)=4,整理得：X2-4X+4=0,△=(-4)2-4X4=0,因此点P有1个，乙的说

法正确：

当b=3时，令x(4-x)=3,整理得:x2-4x+3=0,A=(-4/4<3=4>0,因此点尸有2个,丙的

说法不正确；

故选：C.

【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转

化成一元二次方程根的判别式.

5.D

【分析】

把N=0代入四个函数解析式，解方程即可得到答案.

【详解】

解：当y=/+x+2=0,

a=\,b=l,c=2,

.•.x=/?2-4izc=l-4xlx2=-7<0,

原方程没有实数解，

y=Y+x+2没有零点，故A不符合题意，

当y=6+1=0,

yj~X=-1,

显然，方程没有解，

所以y=6+l没有零点，故3不符合题意，

当y=x+’=0,

x

x2+l=0,

显然方程无解，

所以y=x+1没有零点，故C不符合题意，

X

当y=|x|-l=0,

二凶=1,

x=±l,

所以y=|x|-1有两个零点，故。符合题意，

故选。

【点拨】本题考查的是函数的零点，即函数与x轴的交点的情况，掌握令y=o,再解方程是

解题的关键.

6.D

【分析】

由直线/;产4,化简抛物线y=3x2-12ax+12/+a,令3/-12分+12片+a=4,利用判别

式/=-12Z7+48〉0,解出a<4,由对称轴在y轴右侧可求a>0即可.

【详解】

解：・・,直线/过点(0,4)且与y轴垂直，

直线I：)=4,

y=(x-a)2+(x-2a)2+(x-3a)2-2a2+«=3x2-12cix+12a2+a,

•*«3x2—\2ax+\2a2+a=4,

;二次函数〉=。-4)2+@-2。)2+。―3。)2-24+。(其中不是自变量)的图像与直线/有

两个不同的交点，

・・・△=(-⑵丫-4x3x02/+々-4),

=—12。+48>0,

a<4,

又•对称轴在y轴右侧，

tz>0,

.•.0<tz<4.

故选择D

【点拨】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根,

根的判别式，掌握二次函数与宜线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式,

抛物线对称轴公式是解题关键.

7.C

【分析】

将y=a(x-/z)2+A往右平移m个单位后得到y=a(x—/?-〃"+A,由此即可求解.

【详解】

解：比较抛物线丫=4(犬一/7『+%与抛物线y=a(x-/z-/n)：：+%,

发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，

y=+Z与x轴的一个交点是(4,0),y=a(x-〃y+%与x轴有两个交点

A(-l,0),8(3,0),

当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与％轴的一个交点是(4,0),故/"=1,

当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与x轴的一个交点是(4,0),故加=5,

故选：C.

【点拨】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求

解.

8.9-4=0（答案不唯一）

【分析】

设y=x?+bx+c与N=O交点为Xi"2,根据题意-3<X]<-1,1<工2<3关于y轴对称和二次函

数的对称性，可找到为、々的值（为，々只需满足互为相反数且满足l<|x|<3即可）即可写

出一个符合条件的方程

【详解】

igy=x2+bx+c与N=。交点为x”x2，

根据题意-3<占<一1,1<々<3

则1vxl<3

y=x2+fev+c的对称轴为x=0

故设玉=-2,々=2

则方程为：X2-4=0

故答案为：x2-4=0

【点拨】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的

性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键

9.2

【分析】

求出△的值，根据△的值判断即可.

【详解】

解：,.,A=4（k-l）2+8k=4k2+4>0,

...抛物线与x轴有2个交点.

故答案为：2.

【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数产/+fec+c（a,6,c为常数,

”和）的图象与x轴的交点横坐标是一元：次方程，*+bx+r=0的根.当△=（）时，二次函数与

x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当△>（）时，二次函数与x轴有两个交

点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△«）时，二次函数与x轴没有交点，一元二次

方程没有实数根.

1.A

【分析】

先求出二次函数图象的对称轴和开口方向，判断出对称轴右侧的增减性，从而求出当

594x460时，y的取值范围，从而求出结论.

【详解】

解：二次函数y=f+无+!的图象开口向上，对称轴为直线

22x12

当x>-；,y随x的增大而增大

...当594x460时一，y的最小值为592+59+-=3540.5；y的最大值为602+60+-=3660.5

22

3540.5<y<3660.5

，y的整数值有3541、3542.............3660,共有3660—3541+1=120个整数

故选A.

【点拨】此题考查的是根据自变量的取值范围求二次函数的函数值的取值范围，掌握抛物线

的开口方向和对称轴两侧的增减性是解题关键.

2.D

【分析】

根据抛物线与x轴的交点可知对应方程的判别式△>0,即可判断①；根据抛物线的对称性可

判断抛物线与x轴另一交点为(1,0),进而可判断②；根据抛物线与X轴的两个交点结合抛

物线的开口方向即可判断③;根据抛物线的顶点以及二次函数与一元二次方程的关系可判断

④，于是可得答案.

【详解】

解：①•••抛物线与*轴有2个交点，.•"2-4“C>0,即4ac<层，所以①正确;

②•••抛物线的对称轴为直线x=-l，且与x轴交于点(-3,0),.•.抛物线与x轴另一交点为

(1,0)....当x=I时，y=a+b+c=0,所以②错误；

③•••抛物线的对称轴为直线x=-l,而点(TO)关于直线x=-l的对称点的坐标为(1,0),

抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(-3,0),且抛物线开口向下，，当-3<x<l时，>>0,

所以③正确；

④,：加〈3,，加+版+°43.，方程以2+版+'=4没有实数根，所以④正确.

综上，正确的结论是：①③④.

故选：D.

【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程及不等式的关系，属

于常见题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键.

3.C

【分析】

先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论.

【详解】

解：由函数图象可知，函数图象与x轴的•个交点坐标为（-1,0）,对称轴为直线x=2,

.,・抛物线与x轴的另一个交点坐标为（5,0）,

.•.当y<0时，-1<%<5.

故选：C.

【点拨】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式组的解是解答此题

的关键.

4.A

【解析】

【分析】

根据抛物线开口方向、对称轴、与）,轴交点可判断①；根据x=l时，y<0,且对称轴为x

=-1②；根据x=0与x=-2关于对称轴X--1对称，且x=0时y>0,可判断③；根据

时，y=0,且对称轴为x=-1可判断④.

【详解】

①由抛物线图象得：开口向下，即“VO；c>0,即b=2a<0,

.\abc>0,选项①正确；

②•.•抛物线对称轴x=-1,即-3=-1,

3

由图象可知，当x=l时，y=a+b+c=—b+c<0,

故3。+2c<0,选项②正确；

③\,抛物线对称轴为x=-1,且x=0时，y>0,

.,.当x=-2时，y—4a-2h+c>0,BP4a+c>2b,选项③错误；

④•..抛物线对称轴为x=-1,开口向下，交点不能确定，

...当y>0时，不能确定x的取值，选项④错误；

故正确的有：①②，

故选A.

【点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数），="小+法+。系数符号由

抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键.

5.B

【解析】

【分析】

由二次函数的增减性与对称轴位置，可求得a的取值范围，方程or2-2x+1=0无实数，根据

判别式△<（）,。知，求得。的取值范围，合并即可得出结论.

【详解】

解：y=-/+3-2）x+3,

抛物线开口向下，对称轴为》=等，

•・•当x>2时，，y随x的增大而减小，

67<6,

・・•关于X的方程-2r+l=0无实数解，

Ja工0

」14-4。<0'

，a>1,

1<6Z<6,

・・力为整数，

/.=2,3,4,5,6.

・•・和为2+3+4+5+6=20,

故答案为B.

【点拨】本题考查了二次函数的性质和根的判别式.当x>2时，y随x的增大而减小，得到

n—2

三42是解题的关键.

6.A

【详解】

试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4,利用抛物线对称性得到抛物线在1

<x<2这段位于x轴的上方，而抛物线在2Vx<3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线

过点（2,0）然后把（2,0）代入y=a（x—4-一4（存0）可求出a=L

故选A

7.-l<x<4

【分析】

观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.

【详解】

观察函数图象可知：当-l<x<4时，直线旷=侬+"在抛物线丫=如2+法+。的下方，

，不等式znx+〃<♦+fex+c的解集为-1<x<4.

故答案为：—l<x<4.

【点拨】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集

是解题的关键.

8.-5Vx<3

【分析】

先根据抛物线的对称性得到4点坐标（3,0）,山.丫=谓+尿+00得函数值为正数，即抛物

线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式以2+版+°>0的解集.

【详解】

解：根据图示知，抛物线ynd+bx+c图象的对称轴是》=-1,与X轴的一个交点坐标为（-

5,0）,

根据抛物线的对称性知，抛物线丫=加+云+。图象与x轴的两个交点关于直线》=-1对称,

即

抛物线y=ox2+〃x+c图象与x轴的另一个交点与（-5,0）关于直线》=-1对称，

另一个交点的坐标为（3,0）,

：不等式a^+bx+cX）,即y=ajr+bx+c>0,

.••抛物线y^ax2+hx+c的图形在x轴上方，

•,•不等式cvc2+bx+c>0的解集是-5<x<3.

故答案为-5Vx<3.

【点拨】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然

后由图象找出当y>0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法.

9.—l<x<9

【分析】

由对称轴x=4,抛物线与x轴的交点（9,0）,根据二次函数的时称性求得另一个与x轴交

点的坐标根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式-x2+bx+c>0的解集.

【详解】

解：；对称轴x=4,抛物线与x轴的交点（9,0）,

，另一个与X轴交点的坐标（-1,0）,

...二次函数y=-x2+2x+c的图象与x轴交点坐标为（-1,0）、（9,0）,

lfij-x2+bx+c>0,

即y>0,

.,.-l<x<9.

故答案为-1<XV9.

【点拨】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系，利用图象以及二次函数的

性质解决问题.

10.m<-3或-3WmW-7+4后.

【解析】

【分析】

将对称轴分三种情况进行讨论:①字<7时，②¥>1时，③-啜白署1时，要使至少有

222

一个x值使函数值y2m成立，只需在每种情况下，y的最小值都大于等于m即可.

【详解】

解：y=x2-(1+m)x-2m的对称轴为x=与"，

1-1-W7

①;一<-1时，即mV-3,函数在有最小值，

当x=-1时，y最小值2-m,

要使至少有一个x值使函数值yNm成立，

.*.2-m>m,

m<l,

/.m<-3,

1_1_177

②《一>1时，即m>l,函数在-IWXWI有最小值，

当x=l时，y有最小值-3m,

要使至少有一个x值使函数值y>m成立，

・二-3m>m,

/.m<0,

・•・此时不成立；

③-微J等1时，即-3WmR,函数在-IWxWl有最小值，

、吐l+公且［/±+10A??4-1

当x=F一时，y有最小值------------，

24

要使至少有一个x值使函数值y>m成立，

.m2+10/n+l

..--------->nt

4

；.-7-4麴版-7+46，

二-3釉/-7+46

综上所述：m<-3或-3领-7+4>/3.

【点拨】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，解题的关键是根据题

意得到一元一次不等式组.

11.0<x<2

【分析】

根据抛物线y=mx2+nx的顶点在y=ax2上，且与x轴交于(0,0),(4,0)两点，得出

图象的对称轴为直线x=2,再利用不等式(a-m)x2-nx<0进而得出ax2Vmx2+nx的解

集即可.

【详解】

解：；两条抛物线y=ax2(a>0),y=mx2+nx(m<0),抛物线y=mx2+nx的顶点在y=ax?

上，且与x轴交于(0,0),(4,0)两点，

；.y=mx2+nx的对称轴是：直线x=2,

;不等式(a-m)X?-nx<0可以变形为ax2<mx2+nx,

...利用图象可以得出不等式的解集为：0<x<2.

故答案为0Vx<2.

【点拨】此题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用图象得出不等式的解集是解题关键.

12.-2<x<8

【分析】

根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可.

【详解】

解：由图可知，-2VxV8时,yi<y2.

故答案为-2Vx<8.

【点拨】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问

题更是如此，同学们要引起重视.

2

13.(1)y=—(x+1)-+3；(2)①一二<机<0,②y<%.

【分析】

(1)求出点B的坐标，代入二次函数解析式求出b的值，确定出二次函数解析式，进而求出

m的值：

(2)①根据抛物线的顶点在4AOB的内部，确定b的取值范围；

②二次函数开口朝下，对称轴为1=%再根据点C(-1,yi),D(1,")的横坐标与对称轴的

距离和抛物线的增减性进行判断.

【详解】

(1),•,直线y=丘+2与y轴交于点B,

令x=0,则y=2,

点B的坐标为(0,2),

将B(0,2)代入二次函数得:-m2-2m+l=2,

解得叫=吗=-1,

：次函数的解析式为y=-(x+iy+3；

(2)①•.•点A坐标为(-4,0),

将A(-4,0)代入>=京+2得：Y/+2=0,

・.•k,1=一,

2

一次函数的解析式为y=gx+2,

:二次函数y=—(XT")2—2〃7+1图象的顶点为P(m,-2m+l),点P在AAOB内部，

-4<m<0

2

*'•i1»解得-工<加<°；

-2/w+l<—m+25

2

(2)Va=-l<0,

2

・•・二次函数开口朝下，对称轴为“%且<0,

又•••点c(-g,州)，zxg,丫2)都在二次函数图象上，

6J

点C和点D的横坐标中点为一？十二12,

------=——〈——

225

•••点C离对称轴比点D离对称轴远，开口朝下的抛物线上的点离对称轴越远的点对应的函

数值越小，

【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，数形结合有利于对

知识的理解，根据抛物线的增减性和点与对称轴的距离确定纵坐标的大小是解题的关键.

14.(I)y=-gx+13；(2)当销售数量为8吨时，该公司经营这批杨梅所获得的毛利润(w)

最大，最大毛利润为40万元；(3)①该公司销售杨梅3吨；②3〈烂8.

【分析】

(1)根据待定系数法解答即可；

(2)根据毛利润=销售总收入-进价总成本-包装总费用可得卬与x的函数关系式，然后

根据二次函数的性质解答即可；

(3)①根据题意可得：>v=(12—3)x—y=9x-y,代入后可得关于x的方程，解方程即可求出

结果；

②设z=9x-y-w,则z可用x的代数式表示，然后利用二次函数的性质即可求出z>0时对

应的x的范围，进而可得答案.

【详解】

解：⑴设y与x的函数表达式为：y^kx+b,

[b-13k=——

把(0,13),(8,9)代入，得：。，八八，解得：2,

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