高斯小学奥数四年级上册含答案第09讲统筹规划

第九讲统筹规划

快说！师父被

你们抓到哪儿去了

我们

碧水大王q

在水下洞

里.

G2>

唐僧被妖怪抓走了।三个

徒弟抓住了一个没有来得及逃

走的小妖.

I'D

◎

八戒还是没想清楚诙从

哪儿下水，从哪儿上来.为

了让猪八戒走的总距离最短,

你能帮他找到适宜的人口和

出口吗？

统筹方法,是一种研究如何安排工作进程的方法.为什么要合理安排工作进程

呢？我们举一个例子.

比方,想泡壶茶喝.茶叶有，但还没有烧水，而且水壶、茶壶、茶杯都没有洗

过.怎么办？

方法一：洗水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶

杯、拿茶叶；等水烧开了,泡茶.

方法二：洗水壶、茶壶、茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；等水烧开了，泡

茶.

方法三：洗水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，洗茶壶、茶杯,

拿茶叶,再泡茶.

我们很容易看出第一种方法最好，后两种方法多多少少都浪费了时间.

在这个简单的例子中，有些工作可以同时做，比方烧水时可以洗茶壶、拿茶

叶.有些工作有先后顺序的要求，比方洗水壶要安排在烧开水之前，而不能水烧开

了再去洗水壶.如何根据实际情况,合理地安排工作顺序，使得总时间或总花费最

少，正是统筹法研究的问题.

例题1

萱萱中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2

分钟,切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟,烧热锅2分

钟,烧热油2分钟，炒菜4分钟.请问萱萱烧好这道菜最短需要多少分

钟？

「分析」有哪些工序能同时做？哪些工序必须考虑先后顺序？

练习1

妈妈让冬冬给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟，洗茶

壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟.冬冬估算了一下，完成这

些工作要花20分钟.为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少

分钟？

有很多工作需要做时，我们把能同时做的工作同时做，可以节约时间.如果都

不能同时做,就要合理安排工作的顺序.

小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了尔B、CD、后五个顾客.4买

糖果需要2分钟；5买大米需要6分钟；。买香烟和啤酒需要4分

钟；〃买水果需要3分钟；月买蔬菜需要5分钟.请问：售货员应该如

何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候所用时间的总和最少？

最少是多少？（只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间〕

「分析」如果只有48两个顾客,为了让等候时间最少，应该安排谁先买？如果只

有4、B、。三个顾客呢？五个顾客呢？

练习2

理发店里只有一位理发师,但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客

理发.由于顾客要求的发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、12、16、

20、25分钟.怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人排队等候所用时间的总和最

少？最少是多少？

在统筹规划问题中，我们往往需要找到最短时间、最短距离、最少花费等最优

方案.在这类问题中，比拟和调整是常用技巧.当我们不能直接得到最优方案时，可

以从一个可行的方案出发，通过适当的调整让方案更优.如果任何调整都不能使方

案更优,此时的方案就是最优方案.

例题3

下列图是一张道路图,每段路旁标注的数字

表示小山羊走完这段路所需的分钟数.请

问：小山羊从力出发走到8最快需要多少

分钟？

「分析」走完右下角的两条路各需要3分钟和4分

钟,这两条路的途中没有其他岔路可以走,能否把这两条路看成一条用时7分钟的

路呢？小山羊走不走这条路呢？

练习3

下列图是某城市的道路图,每段路旁标注的数字表

示走完这段路所需用的分钟数（单位：分钟）.邮递

员从4点沿道路到达8点至少要经过多长时间？

如图,一条路上从西向东有4、B、aD、£五所学校,分别有200人、300人、

400人、500人、600人.任意相邻的两所学校之间的距离都是100米.现在要

在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，

车站应该建在什么地方？这时距离之和是多少？

ABCDE

「分析」4B、C、〃、夕五所学校，把车站建在位于中间的。学校门口时总距离

是最小的吗？用不用把车站向左调整到戌或者向右调整到〃呢？

练习4

有八个村庄44,44,444,4分布在公路两侧，由一些小路与公路相连.现

要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小,车站应设

在哪里？

例题5

北京和上海分别制成同样型号的车床10台和

台.这些车床准备分配给武汉11台、西安5台

每台车床的运费如下列图所示,单位为百元.那

么总运费最少是多少元？

「分析」无论是北京还是上海,把设备运到武汉都比运西安更廉价，但又不

能不给西安运.从北京或上海运往西安的运费分别是每台900元和1000元，是不

是西安的5台都由北京提供呢？这样会使总运费最少吗？

西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的,不拆开零售.5个一袋

的售价是8元,3个一袋的售价是5元,要给47位同学每人发1个面

包最少要花多少钱？

「分析」买东西要想花钱少,必然是东西越廉价越好.5个一袋的售价是8元,3个

一袋的售价是5元,这两种哪一种更廉价呢？能否全买廉价的这种呢？

课堂内外

丁谓施工

宋代沈括的?梦溪笔谈?记载有这样一个故事：祥符中，禁火.时丁晋公主营复宫室，患

取土远，公乃令凿通衢取土，不日皆成巨堑.乃决汴水入堑中，引诸道竹木排筏及船运杂材,

尽自堑中入至宫门.事毕，却以斥弃瓦砾灰尘壤实於堑中，复为街衢.一举而三役济,计省费

以亿万计.

描述的是中国古代有一个丁谓施工的故事,蕴含着运筹学的思想.

传说宋真宗在位时,皇宫曾起火.一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟.为

了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁谓主持修缮工程.当时.，要完成这项重大的建筑

工程,面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二,要运来大批木材和石

料；第三,要运来大量新土.不管是运走垃圾还是运来建筑材料和新土,都涉及到大量的运

输问题.如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会受到严重影响.

丁谓研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先,从施工现场向外挖了假设干条大

深沟,把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题.第二步,从城外把汴

水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料,解决了木材石料的运输问

题.最后,等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填入沟内，使沟

重新变为平地.

简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟（取土）一引水入沟（水道运输）一填沟（处

理垃圾）.

根据这个施工方案,不仅节约了许多时间和经费,而且使工地秩序井然，使城内的交通

和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案.

实可谓“丁渭施工，一举三得"，成为中国古代工程治理实践中非常典型的进行统筹

规划的案例.

作业

1.早晨,妈妈起来准备早饭.她烧开水需要8分钟,灌开水需要1分钟,擦桌子需要5分钟,

下楼拿牛奶需要6分钟，煮牛奶需要6分钟.如果灶台上只有一个灶头，请问妈妈准备

早饭最少需要多少分钟？

2.四个人各拿一个大小不同的水壶在饮水机前打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、

2分钟、3分钟和5分钟.由于饮水机只有一个出水口，请你适当安排他们打水的顺序,

使所有人排队和打水所用时间的总和最少.这个总时间最少是多少？

3.下列图是萱萱家附近的道路图,其中A地是萱萱家,6地是学校.各段路的路况不同，萱萱

走每段路所用的时间都已经标在图中（单位：分钟）.请问萱萱从家走到学校最少需

4.一条直街上有五栋楼,相邻两栋楼的距离都是50米.这五栋楼从左到右编号为1、2、3、

4、5,楼里分别有1名、2名、3名、4名、5名职工在力工厂上班.4厂方案在直街上建

一个班车站接送这五栋楼的职工上下班，为使这些职工到班车站所走的路程之和最小，

车站应建在距1号楼多少米处？

5,中国和美国分别制成了同一型号的大型电子计算机假设干台.除本国外，中国可以支援外

国100台，美国可以支援外国40台.现在决定给日本80台，印度60台.假设每台大型

计算机的运费如下表所示（单位：万元），应该如何调运才能使总运费最省？请算出最

少的运费.

日本印度

中国36

美国914

第九讲统筹规划

1.例题1

答案：12分钟

详解：炒菜这道工序必须要等前面六道完成后才能去做，所以要放到最后；切豆腐、切肉片、准备葱

姜蒜和准备佐料这四道工序都需要萱萱亲自完成，不可能一次同时做其中的两项；烧热锅和烧热油这

两道工序比拟特别,可以在做的时候同时去做其它事情，故最少需要

2+2+3+1+4=12分钟.

2.例题2

答案：根据A、D、C、E.6的顺序购置：30分钟

详解：第一个人买东西时，有4个人等着；第二个人买东西时，有3个人等着……因此尽可能

让用时较少的人先买，即根据A、。、C、E、B的顺序购置.，这样共需要等待

2x4+3x3+4x24-5x1=30分钟.

3.例题3

答案：18分钟

详解：先将左上角和右下角没有岔路的拐弯看成•条路，如图1.观察发现，如果要从C到力，经过E

的路线比直接走更省时间.因此C。之间的路实际上没有用，可以将它去掉.类似的，我们也可以去掉右

下角长为7的路.得到图2.这样容易看此沿着5—1—10—2的路线前进，是最省时间的，用时为

答案：。校；220千米

详解：由于C校处在所有学校的中间,我们以C校为起点开始调整.

如果车站从。校搬到0校,A、B、。三所学校的200+300+400=900名学生每人要多走100米，而。、七两

所学校的500+600=11(X)名学生每人要少走1()0米.这样受益者更多,所以我们先把车站搬到。校.

如果继续搬到E校的话,4、B、C、。四所学校的200+300+400+500=1400名学生每人多走100米，而只

有七校的600名学生每人少走100米，所以不再向E校搬，车站就修在。校门口.以千米为单位算出总路程为

0.3x200+0.2x300+0.1x400+0.1x600=220千米.

5.例题5

答案：10700元

详解：把一台设备从运到武汉改为运到西安,北京的厂家要多付400元运费,而上海的厂家要

多付300元运费，所以西安的设备都由上海提供时，能节省更多的运费.这时上海需要给西安提供5台设备，

给武汉提供1台设备，北京给武汉提供10台设备，最少运费为10x5x100+1x7x100+5x10x1(X)=1070()

元.

6.例题6

答案：76元

详解：5个一袋的（后用⑤表示〕共8元，平均每个1元6毛；3个一袋的〔后用3表示〕共5元，平均

每个要超过I元6毛，所以要尽置多的买⑤；

共要给47个同学买,所以可以买9袋⑤,另外买1袋③,共花费8x9+5x1=77元；

但是,这个时候会多出一个,还是有点浪费,如果少买1袋⑤,那么需要买3袋③,共花费

8x8+5x3=79元,且浪费2个,更不划算；

如果少买2袋⑤,那么需要买4袋③,此时,共花费8x7+5x4=76元,此时,花费最少，而且没有浪

费.

再减少⑤,那么不再划算了.

7.练习1

答案：16分钟

详解：先洗开水壶，接下来烧开水的同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，共用时1+15=16分钟.

8.练习2

答案：根据10-12-16-20-25的顺序；128分钟

详解：与例题2方法相同，最少需要10x4+12x3+16x2+2