5.1.1变化率问题（2）课件高二上学期数学人教A版选择性

5.1.1变化率问题（2）第五章一元函数的导数及其应用2024/1/10高二数学备课组引

入平均速度瞬时速度2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：平均变化率瞬时变化率1.物体运动的瞬时速度的本质是平均速度的极限.无限逼近取极限无限逼近取极限3.数学思想、方法：特殊到一般、极限思想几何意义？探究新知问题1：

如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢?

追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？不一定因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切了.不一定xyOf(x)＝sinx－11探究新知探究你认为应该如何确定抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线?

下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.问题2

抛物线的切线的斜率追问3：斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线的斜率呢？几何意义：函数图象上过点

(1,h(1))和点(1+Δt,h(1+Δt))的直线斜率类比上节课的研究思路，例如研究运动员在t=1s的瞬时速度几何意义是什么？探究新知我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.T观察如图，在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，当点P沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?1.切线：探究新知

追问3：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢?由切线定义知，xy121234OP•P0•T•割线P0P的斜率为切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系.记∆x＝x－1，P(1+∆x,(1+∆x)2)，割线位置切线位置无限逼近割线斜率切线斜率无限逼近取极限注：∆x可以是正值，也可以是负值，但不为0.让横坐标变化量Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况.探究新知∆x<0∆x>0∆x∆x

通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.

我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：探究新知当点P无限靠近点P0，即∆x无限趋近于0时，割线P0P无限趋近于切线P0T，因此切线P0T的斜率为∆x无限趋近于0无限趋近于2

记为2.切线的斜率：探究新知xyO121234P0记点P横坐标为

x=2+Δx，则点P的坐标为

(2+Δx,(2+Δx)2).故抛物线f(x)=x2在点P0(2,4)处的切线P0T的斜率为4.P问题2：你能用上述方法求抛物线f(x)=x2在点P0(2,4)处的切线P0T的斜率吗？于是割线P0P的斜率探究新知xyO121234P0记点P的横坐标x=

x0+Δx，则点P的坐标即为

(x0+Δx,(x0+Δx)2).于是割线P0P的斜率故抛物线f(x)=x2在点P0(x0,x02)处的切线P0T的斜率为2x0.问题3：一般地，如何求抛物线f(x)=x2在点P0(x0,x02)处的切线P0T的斜率呢？P切线斜率的本质是瞬时变化率例题讲解例1求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处切线的斜率.变式求抛物线f(x)=x2+2x在点P

(1,3)处的切线方程.例题讲解例2求抛物线f(x)=2x2+4x在点(3,30)处的切线方程.Δy＝f(3＋Δx)－f(3)=2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx

＝2(Δx)2＋16Δx解：在点(3,30)附近任取一点(3＋Δx，f(3＋Δx))，则探究新知方法归纳：求在某点处的切线方程3.切线方程课堂练习课堂练习2.求抛物线f(x)=x2+1在点(0,1)处的切线方程.课堂练习1.你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线?试求抛物线f(x)=x2在点(－1,1)处切线的斜率.探究新知

思考观察问题1中的函数的图象，平均速度的几何意义是什么?瞬时速度v(1)呢?th1O•(1,h(1))•(1+∆t,h(1+∆t))课堂练习课堂练习作业：教材P70页习题第7题.1.求抛物线y＝x2－1在点A(2,3)处切线的斜率．2.求