2024届广西钦州港经济技术开发区中学数学高一下期末联考试题含解析

2024届广西钦州港经济技术开发区中学数学高一下期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设公差为－2的等差数列，如果，那么等于()A．－182 B．－78 C．－148 D．－822．下列各角中与角终边相同的角是A． B． C． D．3．在中，是的中点，，，相交于点，若，，则（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2018年天津卷文）设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A．6 B．19 C．21 D．455．设变量、满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．96．已知是的边上的中点，若向量，，则向量等于（）A． B． C． D．7．函数的最小值和最大值分别为()A． B． C． D．8．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（）A．5 B．10 C．15 D．209．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（）A．1 B．2 C． D．10．若函数有零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若、分别是方程的两个根，则______.12．若数列满足，，则数列的通项公式______．13．若为的最小内角，则函数的值域为_____．14．若是等比数列，，，且公比为整数，则______.15．已知数列是等比数列，公比为，且，，则_________．16．已知等差数列的前三项为，则此数列的通项公式为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知（1）化简；（2）若，求的值.19．已知函数满足且.（1）当时，求的表达式；（2）设，求证：；20．已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为.（1）若向量与向量共线，求；（2）若与垂直，求.21．如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB//平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）当为何值时，PB⊥AC？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

根据利用等差数列通项公式及性质求得答案．【题目详解】∵{an}是公差为﹣2的等差数列，∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．故选D．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题．2、B【解题分析】

根据终边相同角的概念，即可判断出结果.【题目详解】因为，所以与是终边相同的角.故选B【题目点拨】本题主要考查终边相同的角，熟记有关概念即可，属于基础题型.3、D【解题分析】由题意知，所以，解得，所以，故选D.4、C【解题分析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.5、D【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【题目详解】画出满足约束条件的可行域，如图，画出可行域，，，，平移直线，由图可知，直线经过时目标函数有最大值，的最大值为9.故选D.【题目点拨】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6、C【解题分析】

根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，，解出向量．【题目详解】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选．【题目点拨】本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解题分析】2.∴当时，，当时，，故选C.8、B【解题分析】

利用分层抽样的定义和方法求解即可.【题目详解】设应抽取的女生人数为，则，解得．故选B【题目点拨】本题主要考查分层抽样的定义及方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、C【解题分析】

先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得，化简整理，即可得出结果.【题目详解】因为，所以可化为，即，可得，所以.又由正弦定理得，，所以，当且仅当时，取得最大值.故选C【题目点拨】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.10、D【解题分析】

令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．【题目详解】令，得，，令，则，所以，，构造函数，其中，由于，，，所以，当时，直线与函数在区间有交点，因此，实数的取值范围是，故选D．【题目点拨】本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用韦达定理可求出和的值，然后利用两角和的正切公式可计算出的值.【题目详解】由韦达定理得，，因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用两角和的正切公式求值，同时也考查了一元二次方程根与系数的关系，考查计算能力，属于基础题.12、【解题分析】

在等式两边取倒数，可得出，然后利用等差数列的通项公式求出的通项公式，即可求出.【题目详解】，等式两边同时取倒数得，.所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，.因此，.故答案为：.【题目点拨】本题考查利用倒数法求数列通项，同时也考查了等差数列的定义，考查计算能力，属于中等题.13、【解题分析】

依题意，，利用辅助角公式得，利用正弦函数的单调性即可求得的取值范围，在利用换元法以及同角三角函数基本关系式把所求问题转化结合基本不等式即可求解．【题目详解】∵为的最小内角，故，又，因为，故，∴取值范围是．令，则且∴，令，由双勾函数可知在上为增函数，故，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查同角的三角函数的基本关系、辅助角公式以及正弦型函数的值域，注意根据代数式的结构特点换元后将三角函数的问题转化为双勾函数的问题，本题属于中档题．14、512【解题分析】

由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到.【题目详解】是等比数列，

，，

，，

和是方程的两个实数根，

解方程，

得，，

公比q为整数，

，，

，解得，

.故答案为：512【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.15、.【解题分析】

先利用等比中项的性质计算出的值，然后由可求出的值.【题目详解】由等比中项的性质可得，得，所以，，，故答案为.【题目点拨】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.16、【解题分析】由题意可得，解得．

∴等差数列的前三项为-1，1，1．

则1．

故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【解题分析】

（Ⅰ）转化为证明；（Ⅱ）转化为证明，；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理.【题目详解】（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以，由于平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为四边形为正方形，所以.平面平面，平面平面，所以平面.所以.取中点，连接.由，，，可得四边形为正方形.所以.所以.所以.因为，所以平面.（Ⅲ）存在，当为的中点时，平面，此时.证明如下：连接交于点，由于四边形为正方形，所以是的中点，同时也是的中点.因为，又四边形为正方形，所以，连接，所以四边形为平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.【题目点拨】本题考查空间线面的关系.线面关系的证明要紧扣判定定理，转化为线线关系的证明.18、(1)；(2)【解题分析】

（1）直接利用诱导公式化简求解即可；（2）由（1）可求出，然后利用同角三角函数的基本关系式将化成只含有的表达式，代入即可求解．【题目详解】（1）（2）因为，所以，由于将代入，得【题目点拨】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，意在考查学生的数学建模能力和运算能力．19、（1）；（2）详见解析.【解题分析】

（1）令，将函数表示为等比数列，根据等比数列公式得到答案.（2）将表示出来，利用错位相减法得到前N项和，最后证明不等式.【题目详解】（1）令，得，∴，即（2），设，则，①，②来①-②得，【题目点拨】本题考查了函数与数列的关系，错位相减法，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、（1）（2）【解题分析】

（1）共线向量夹角为0°或180°，由此根据定义可求得两向量数量积．（2）由向量垂直转化为向量的当量积为0，从而求得，也就求得，再由余弦的二倍角公式可得．【题目详解】法一（1），故或向量，向量法二（1），设即或或（2）法一：依题意，，故法二：设即，又或【题目点拨】本题考查向量共线，向量垂直与数量积的关系，考查平面向量的数量积运算．解题时按向量数量积的定义计算即可．21、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

1）连结BD交AC于O，连结EO,由EO//PB可证PB//平面EA．（2）由侧面PAD⊥底面ABCD，，可证，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）设N为AD中点，连接PN，则，可证PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【题目详解】（1）连结BD交AC于O，连结EO,因为O，E分别为BD.PD的中点,所以EO//PB,