2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市克东县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.如果2是方程x2−x+c=0的一个根，则常数c的值是(

)A.1 B.2 C.−1 D.−23.下列事件中，是必然事件的为(

)A.明天会下雨 B.打开电视机，正在播放动画片

C.三角形内角和为180° D.经过一个路口，信号灯刚好是红灯4.抛物线y=ax2−bx−5经过点(2,3)，则2a−b+1的值是A.6 B.5 C.4 D.35.已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则⊙O的半径可能为(

)A.11cm B.10cm C.9cm D.8cm6.设A(−2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−(x+1)A.y1>y2>y3 B.7.下列命题正确的有(

)

(1)相等的圆心角所对的弧相等；

(2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(3)直径所对的圆周角是直角；

(4)圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8.一个圆锥的底面半径是5cm，其侧面展开图是圆心角是150°的扇形，则圆锥的母线长为(

)A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm9.如图，AB是⊙O的直径，AB的长为8cm，点D在圆上，且∠ADC=30°，则弦AC的长为(

)A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm10.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A(3,0)，二次函数图象对称轴为直线x=1，给出四个结论：①b2>4ac；②bc<0；③2a+b=0；

A.②④ B.①③ C.②③ D.①④二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。11.若点P(m,−2)与点Q(3,n)关于原点对称，则(m+n)2022=______12.若关于x的方程(a−1)x1+a2=1是一元二次方程，则a13.众友药店的某药品原价每盒25元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______．14.已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是______．15.已知一元二次方程x2−7x+10=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为______．16.如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=14x2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______

17.如图，一部分抛物线：y=x2−2x(0≤x≤2).记为图象Q1.与x轴交于点O和A1，将图象Q1绕点A1旋转180°，得到图象Q2，交x轴于点A2，将图象Q2绕点A2旋转180°，得到图象Q3，交x轴于点A三、计算题：本大题共1小题，共10分。18.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．

(1)以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为(−3,1)，则点A的坐标为______；

(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

(1)用适当方法解一元二次方程：2x2−1=4x．

(2)已知一元二次方程(k−2)x2−4x+2=0有两个不相等的实数根．

①求k的取值范围；

②如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x220.(本小题10分)

一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、−2、−3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片．

(1)求小芳抽到负数的概率；

(2)若小明再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请你用树状图或列表法，求小明和小芳两人均抽到负数的概率．21.(本小题10分)

如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若BF=4，DF=10，求⊙O的半径．22.(本小题10分)

在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．

(1)直接写出小明销售该类型口罩销售量y(袋)与销售单价x(元)之间的函数关系式______；每天所得销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式______．

(2)若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？

(3)求当销售单价定为多少元时，利润最大，最大利润是多少？23.(本小题10分)

【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们一起探索旋转的奥秘．老师出示了一个问题：如图①所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC上一点(0<BD<12BC)，连接AD，将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，得到△ACE．

【操作探究】

(1)试判断△ADE的形状，并说明理由；

【深入探究】

(2)希望小组受此启发，如图②，在线段CD上取一点F，使得∠DAF=45°，连接EF，发现EF和DF有一定的关系，猜想两者的数量关系，并说明理由；

(3)智慧小组在图②的基础上继续探究，发现CF，FD，DB24.(本小题11分)

如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是线段MB上一个动点，且点P的横坐标为m，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点E，求线段PE的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，若在线段MB上存在点P，使得△PCD为直角三角形，请直接写出点P

答案和解析1.【答案】B

解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．

故选：B．

根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念即可，属于基础题．2.【答案】D

解：把x=2代入x2−x+c=0得4−2+c=0，解得x=−2．

故选：D．

把x=2代入x2−x+c=0得关于3.【答案】C

解：A、明天可能下雨也可能不下雨，是随机事件；

B、打开电视机可能播动画片也可能不是，是随机事件；

C、三角形的内角和为180°，是必然事件；

D、经过一个路口，可能是红灯也可能不是，是随机事件，

故选：C．

必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．

考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.【答案】B

解：∵抛物线y=ax2−bx−5经过点(2,3)，

∴3=4a−2b−5，

∴4a−2b=8，

∴2a−b=4，

∴2a−b+1=5，

故选：B．

将点(2,3)代入y=ax25.【答案】A

解：∵⊙O和直线l相交

∴d<r

又∵圆心到直线l的距离为10cm

∴r>10cm

故选：A．

根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解．

本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

①直线l和⊙O相交⇔d<r

②直线l和⊙O相切⇔d=r

③直线l和⊙O相离⇔d>r．6.【答案】A

解：∵抛物线y=−(x+1)2+5的开口向下，对称轴为直线x=−1，

而C(2,y3)离直线x=−1的距离最远，A(−2,y1)点离直线x=−1最近，

∴y1>y7.【答案】D

解：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故(1)错误；

(2)平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故(2)错误；

(3)直径(或半圆)所对的圆周角是直角，故(3)正确；

(4)圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故(4)错误；

所以正确的结论只有一个，故选D．

根据圆心角与弧的关系，圆周角定理，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案．

牢记圆心角、弧的关系，圆周角定理，垂径定理等相关知识是解答此题的关键；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线．8.【答案】B

解：设圆锥的母线长为R，

根据题意得2π×5=150⋅π⋅R180，

解得R=12．

即圆锥的母线长为12cm．

故选：B．

设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，由弧长公式得到2π⋅9.【答案】C

解：如图所示，连接OC，

∵∠ADC=30°，

∴∠AOC=2∠ADC=60°，

∵OA=OC=12AB=4cm，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC=OA=4cm，

故选：C．

如图所示，连接OC，利用圆周角定理得到∠AOC=60°，由此证明△AOC是等边三角形，即可得到AC=OA=4cm．10.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题主要从二次函数与坐标轴的交点，开口方向，对称轴及特殊点等方面进行判断．

首先观察图形，可知a<0，c>0，由−b2a=1，b2−4ac>0，可判断出①②③正确与否，由x=1时，y=a+b+c，利用图象即可得出④正确与否．

【解答】

解：①∵图象与x轴有两个交点，

∴b2−4ac>0，

即b2>4ac，

∴①正确；

②因为开口向下，故a<0，

由−b2a=1>0，

则b>0，

又c>0，

故bc>0，

∴②错误；

③由对称轴为直线x=−b2a=1，得b=−2a，故2a+b=0，

∴③正确；

④11.【答案】1

解：∵点P(m,−2)与点Q(3,n)关于原点对称，

∴m=−3，n=2，

则(m+n)2022=(−3+2)2022=1．

故答案为：1．

根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出12.【答案】−1

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

本题根据一元二次方程的定义解答．

【解答】

解：由关于x的方程(a−1)x1+a2=1是一元二次方程，得

1+a213.【答案】20%

解：设该药品平均每次降价的百分率为x，

由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，

故25(1−x)2=16，

解得x=0.2或1.8(不合题意，舍去)，

故该药品平均每次降价的百分率为20%．

故答案为：20%．

设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是25(1−x)，第二次后的价格是25(1−x)2，据此即可列方程求解．

此题考查了一元二次方程的应用中数量平均变化率问题．原来的数量(价格)为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a(1±x)，再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a(1±x14.【答案】2或8

解：如图所示，连接OC，

∵直径AB⊥CD，

∴根据垂径定理，CE=DE=12CD=12×8=4．

在Rt△OCE中，根据勾股定理得OE=OC2−CE2=3．

当点E在半径OB上时，BE=OB−OE=5−3=2；

当点E在半径OA上时，BE=OB+OE=5+3=8．

∴BE的长为2或8．

故答案为：2或8．

连接OC15.【答案】12

【解析】【分析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.求出方程的解确定出等腰三角形的底边与腰长，求出三角形周长即可．【解答】解：方程x2−7x+10=0，

分解得：(x−2)(x−5)=0，

解得：x=2或x=5，

若2为底边，5为腰，此时△ABC周长为2+5+5=12；

若2为腰，5为底，2+2<5，不能构成三角形，舍去，

则△ABC周长为12．

故答案为16.【答案】(−2,1)，(2,1)

解：∵⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y=14x2上运动，

∴当⊙P与x轴相切时，

∴PA=1，即纵坐标为：1，

∴代入二次函数解析式：y=14x2=1，

解得：x=±2，

∴圆心P的坐标为：(−2,1)，(2,1)，

故答案为：(−2,1)，(2,1)．

根据⊙P与x轴相切时，⊙P的半径为1，可以得出PA=117.【答案】(4043,1)

解：∵y=x(x−2)=(x−1)²−1，

∴Q1的顶点坐标为(1,−1)，点A1的坐标为(2,0)，

由题意可得，Q2的顶点坐标为(3,−1)，Q3的顶点坐标为(5,−1)，Q4的顶点坐标为(7,1)，

∴Q2022的横坐标为：1+2×(2022−1)=4043，纵坐标为1，

∴Q2022的顶点坐标是(4043,1)．

故答案为：(4043,1)．

根据题目中的函数解析式可以得到Q1的顶点坐标，再根据题意，可以得到Q18.【答案】(−2,3)

解：(1)如图1，点A的坐标为(−2,3)；

(2)如图2，△OA1B1为所作；

OA=22+32=13，OB=12+32=10

线段AB扫过的面积=S扇形OAA1−S扇形BOB1

=90⋅π⋅(13)219.【答案】解：(1)∵2x2−1=4x，

∴2x2−4x=1，

∴x2−2x=12，

∴x2−2x+1=32，即(x−1)2=32，

∴x−1=±62，

解得x1=1+62，x2=1−62；

(2)①∵一元二次方程(k−2)x2−4x+2=0有两个不相等的实数根，

∴k−2≠0(−4)2−4×(k−2)×2>0，

解得：k<4且k≠2．

【解析】(1)利用配方法解方程即可；

(2)①利用一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行求解即可；②根据①可得k=3，进而求出方程x2−4x+k=0的两根，再分别讨论方程x2−4x+k=0的两根是方程x220.【答案】解：(1)∵一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、−2、−3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，

∴小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，

∴P(小芳抽到负数)=12；

(2)画树状图如下：

∵共有12种机会均等的结果，其中两人均抽到负数的有2种；

∴P(两人均抽到负数)=2【解析】(1)由一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、−2、−3、4，它们除了标有的数字不同之外再也没有其它区别，小芳从盒子中随机抽取一张卡片，抽到负数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小芳两人均抽到负数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】证明：(1)连接AO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AC=FC，

∴∠CAF=∠CFA=∠OFD，

∵D为BE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BE，

∴∠ODA+∠OFD=90°，

∴∠CFA+∠DAO=90°，

∴∠OAC=90°，且OA是半径，

∴AC是⊙O的切线；

(2)在Rt△ODF中，DF2=OD2+OF2，

∴10=OD2+(4−OD)2，

【解析】(1)由等腰三角形的性质和垂径定理可求∠OAC=90°，可得结论；

(2)由勾股定理可求解．

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．也考查了垂径定理．22.【答案】y=−10x+500

w=−10x解：(1)根据题意得，y=250−10(x−25)=−10x+500；

则w=(x−20)(−10x+500)=−10x2+700x−10000，

故答案为：y=−10x+500；w=−10x2+700x−10000；

(2)∵w=2000，

∴−10x2+700x−10000=2000，

解得：x1=30，x2=40，

答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；

(3)根据(1)知，w=−10x2+700x−10000=−10(x−35)2+2250，

∵−10<0，

∴当x=35时，w最大，最大值为2250，

答：当销售单价定为35元时，利润最大，最大利润是2250元．

1)根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式，然后再根据题意得到销售利润w(元)与销售单价x(元)23.【答案】解：(1)结论：△ADE为等腰直角三角形．

理由：由旋转得∠DAE=∠BAC，AD=AE，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAE=90°，

∴△ADE为等腰直角三角形；

(2)结论：EF=DF．

理由：∵∠DAE=90°，∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠DAE−∠DAF=45°．

∴∠EAF=∠DAF，

又∵AF=AF，AD=AE，

∴△AFE≌△AFD(SAS)，

∴EF=DF；

(3)结论：DF2=CF2+DB2．

理由：∵AB=AC，∠BAC