2024届湖南省邵阳市邵东县邵东一中高一数学第二学期期末达标检测试题含解析

2024届湖南省邵阳市邵东县邵东一中高一数学第二学期期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在的汽车辆数为()A．8 B．80 C．65 D．702．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④3．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的周长为（）A． B． C． D．4．在某次测量中得到样本数据如下：，若样本数据恰好是样本每个数都增加得到，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数5．一组数据0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．46．在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（）A． B． C． D．7．已知平面向量，，且，则等于（）A． B． C． D．8．已知：，则（）A． B． C． D．9．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则A． B．C． D．10．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝，＝(cosA，sinA)，若与夹角为，则acosB＋bcosA＝csinC，则角B等于()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若集合，，则集合________.12．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为__________里．13．在△中，三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则________14．已知向量，，若与共线，则实数________．15．等差数列中，，则其前12项之和的值为______16．已知，，若，则实数的值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，矩形所在平面与以为直径的圆所在平面垂直，为中点，是圆周上一点，且，，．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）设点是线段上的点，且满足，若直线平面，求实数的值．18．在中，角所对的边分别为，满足（1）求的值；（2）若，求b的取值范围.19．如图所示，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中点，求证：（1）平面；（2）.20．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.21．如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，于，于，且，.现要在长方形材料中裁剪出四边形材料，满足，点、分别在边，上.（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

先计算时速在的汽车频率，再乘200,。【题目详解】由图知：时速在的汽车频率为所以时速在的汽车辆数为，选B.【题目点拨】本题考查频率分布直方图，属于基础题。2、D【解题分析】

作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【题目详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,与为互相垂直的异面直线,故①不正确;,故②正确;与为异面直线,故③正确;由正方体性质可知平面,故,故④正确.故选:D【题目点拨】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.3、C【解题分析】

根据斜二测画法以及正余弦定理求解各边长再求周长即可.【题目详解】由斜二测画法可知,,,.所以.故..故.所以的周长为.故选：C【题目点拨】本题主要考查了斜二测画法的性质以及余弦定理在求解三角形中线段长度的运用.属于基础题.4、C【解题分析】

分别计算出、两个样本数据的众数、中位数、方差和平均数，再进行判断。【题目详解】样本的数据为：、、、、，没有众数，中位数为，平均数为，方差为，样本的数据为：、、、、，没有众数，中位数为，平均数为，方差为，因此，两个样本数据的方差没变，故选：D。【题目点拨】本题考查样本的数据特征，考查对样本数据的众数、中位数、平均数以及方差概念的理解，熟练利用相关公式计算这些数据，是解本题的关键，属于中等题。5、C【解题分析】

先求得平均数，再根据方差公式计算。【题目详解】数据的平均数为：方差是＝2，选C。【题目点拨】方差公式，代入计算即可。6、D【解题分析】

根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.【题目详解】由题意得：，解得：由余弦定理得：由正弦定理得外接圆的直径为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.7、B【解题分析】

先由求出，然后按照向量的坐标运算法则算出答案即可【题目详解】因为，，且所以，即，所以所以故选：B【题目点拨】若，则8、A【解题分析】

观察已知角与待求的角之间的特殊关系，运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【题目详解】令，则，所以，所以，故选A.【题目点拨】本题关键在于观察出已知角与待求的角之间的特殊关系，属于中档题.9、B【解题分析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念10、B【解题分析】

根据向量夹角求得角的度数，再利用正弦定理求得即得解.【题目详解】由已知得：所以所以由正弦定理得：所以又因为所以因为所以所以故选B.【题目点拨】本题考查向量的数量积和正弦定理，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题意，得，，则.12、192【解题分析】设每天走的路程里数为由题意知是公比为的等比数列∵∴∴故答案为13、【解题分析】

利用正弦定理求解角,再利用面积公式求解即可.【题目详解】由,因为,故,.故.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了解三角形的运用,根据题中所给的边角关系选择正弦定理与面积公式等.属于基础题型.14、【解题分析】

根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出x的值．【题目详解】向量（3，﹣1），（x，2），若与共线，则3×2﹣（﹣1）•x＝0，解得x＝﹣1．故答案为﹣1．【题目点拨】本题考查了平面向量的共线定理与坐标表示的应用问题，是基础题．15、【解题分析】

利用等差数列的通项公式、前n项和公式直接求解．【题目详解】∵等差数列{an}中，a3+a10＝25，∴其前12项之和S126（a3+a10）＝6×25＝1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的性质的应用，考查运算求解能力，是基础题．16、【解题分析】

利用共线向量等价条件列等式求出实数的值.【题目详解】，，且，，因此，，故答案为.【题目点拨】本题考查利用共线向量来求参数，解题时要充分利用共线向量坐标表示列等式求解，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）1【解题分析】

（1）取中点，连接，即为所求角。在中，易得MC，NC的长，MN可在直角三角形中求得。再用余弦定理易求得夹角。（2）连接，连接和交于点，连接，易得，所以为的中位线，所以为中点，所以的值为1。【题目详解】（1）取中点，连接因为为矩形，分别为中点，所以所以异面直线与所成角就是与所成的锐角或直角因为平面平面，平面平面矩形中，，平面所以平面又平面，所以中，，所以又是圆周上点，且，所以中，，由余弦定理可求得所以异面直线与所成角的余弦值为（2）连接，连接和交于点，连接因为直线平面，直线平面，平面平面所以矩形的对角线交点为中点所以为的中位线，所以为中点又，所以的值为1【题目点拨】（1）异面直线所成夹角一般是要平移到一个平面。（2）通过几何关系确定未知点的位置，再求解线段长即可。18、(1)(2)【解题分析】

（1）代入条件化简得，再由同角三角函数基本关系求出；（2）利用余弦定理、，把表示成关于的二次函数.【题目详解】（1），，即，，，又，解得：.（2），可得，由余弦定理可得：，，所以b的取值范围为.【题目点拨】对于运动变化问题，常用函数与方程的思想进行研究，所以自然而然想到构造以是关于或的函数.19、(1)见解析.(2)见解析.【解题分析】

（1）先取的中点，连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据线面垂直的判定定理先证明平面，再由线面垂直的性质，即可得到.【题目详解】（1）取的中点，连接，可得，且.平面，平面，.又，，且，∴四边形是平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）在中，，为的中点，.是正三角形，为的中点，，.平面，∴四边形是矩形，，又，平面.又平面，.，平面.又平面，.【题目点拨】本题主要考查线面平行以及线面垂直，熟记线面平行与垂线的判定定理以及性质定理即可，属于常考题型.20、（1）证明见解析（2）【解题分析】试题分析：（1）做辅助线，先证及四边形为平行四边形平面；（2）利用勾股定理求得.试题解析：（1）证明：取中点,连接，则∵是的中点，∴；∵是的中点，∴,∴四边形为平行四边形，∴,∵平面,平面,∴平面；（2）∵,∴,∴21、(1)见解析;(2)当时，四边形材料的面积最小，最小值为.【解题分析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出和，进而得出四边形材料的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点在上的位置.详解：解：（1）在直角中，因为，，所以，所以，在直角中，因为，，所以，所以，所以，.（2）因为，令，由，得，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，，，答：当时，四边形材料的面积最小，最小