2024届浙江省普通高校数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届浙江省普通高校数学高一第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．32．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（）A． B． C． D．3．若，则的概率为（）A． B． C． D．4．已知是平面内两个互相垂直的向量，且，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B． C．3 D．5．在等差数列中，已知，则数列的前9项之和等于（）A．9 B．18 C．36 D．526．化简：（）A． B． C． D．7．若三棱锥中，，，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知直线x+ay+4=0与直线ax+4y-3=0互相平行，则实数a的值为（）A．±2 B．2 C．-2 D．09．等比数列的前n项和为，且，，成等差数列．若，则（）A．15 B．7 C．8 D．1610．等差数列的前项和为.若,则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．12．某餐厅的原料支出与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程，则表中的值为_________.245682535557513．在四面体中，平面ABC，，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则四面体ABCD的体积为_______．14．已知数列满足，则__________.15．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的弧长为______.16．等比数列满足其公比_________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，．（I）若，共线，求的值．（II）若，求的值；（III）当时，求与夹角的余弦值．18．（1）设，直接用任意角的三角比定义证明：.（2）给出两个公式：①；②.请仅以上述两个公式为已知条件证明：.19．在中,角所对的边分别为,且.(1)求;(2)若,求的周长.20．在平面直角坐标系中，已知点与两个定点，的距离之比为.（1）求点的坐标所满足的关系式；（2）求面积的最大值；（3）若恒成立，求实数的取值范围.21．在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2、B【解题分析】试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．考点：几何概型．3、C【解题分析】

由，得，当时，即可求出的范围，根据几何概型的公式，即可求解．【题目详解】由，得，当，即当时，，所以的概率为.【题目点拨】本题考查几何概型的公式，属基础题4、D【解题分析】

设出平面向量的夹角，求出的夹角，最后利用平面向量数量积的运算公式进行化简等式，最后利用辅助角公式求出的最大值.【题目详解】设平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以平面向量的夹角为，因为是平面内两个互相垂直的向量，所以.，，，其中，显然当时，有最大值，即.故选：D【题目点拨】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属于中档题.5、B【解题分析】

利用等差数列的下标性质，可得出，再由等差数列的前项和公式求出的值.【题目详解】在等差数列中，故选：B【题目点拨】本题考查了等差数列的下标性质、以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.6、A【解题分析】

.故选A．【题目点拨】考查向量数乘和加法的几何意义，向量加法的运算．7、B【解题分析】

将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果.【题目详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处。设球的半径为R，则表面积为故答案为：B.【题目点拨】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.8、A【解题分析】

根据两直线平性的必要条件可得4-a【题目详解】∵直线x+ay+4=0与直线ax+4y-3=0互相平行；∴4×1-a⋅a=0，即4-a2=0当a=2时，直线分别为x+2y+4=0和2x+4y-3=0，平行，满足条件当a=-2时，直线分别为x-2y+4=0和-2x+4y-3=0，平行，满足条件；所以a=±2；故答案选A【题目点拨】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题。9、B【解题分析】

通过，，成等差数列,计算出，再计算【题目详解】等比数列的前n项和为，且，，成等差数列即故答案选B【题目点拨】本题考查了等比数列通项公式，等差中项，前N项和，属于常考题型.10、D【解题分析】

根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.【题目详解】由等差数列性质知：，，，成等差数列，即：本题正确选项：【题目点拨】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径

∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.12、60【解题分析】

由样本中心过线性回归方程，求得，，代入即可求得【题目详解】由题知：，，将代入得故答案为：60【题目点拨】本题考查样本中心与最小二乘法公式的关系，易错点为将直接代入求解，属于中档题13、【解题分析】

设,再根据外接球的直径与和底面外接圆的一条直径构成直角三角形求解进而求得体积即可.【题目详解】设,底面外接圆直径为.易得底面是边长为3的等边三角形.则由正弦定理得.又外接球的直径与和底面外接圆的一条直径构成直角三角形有.又外接球的表面积为,即.解得.故四面体体积为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了侧棱垂直于底面的四面体的外接球问题.需要根据题意建立底面三角形外接圆的直径和三棱锥的高与外接球直径的关系再求解.属于中档题.14、【解题分析】

数列为以为首项，1为公差的等差数列。【题目详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列。所以所以故填【题目点拨】本题考查等差数列，属于基础题。15、【解题分析】

先将角度化为弧度，再根据弧长公式求解.【题目详解】因为圆心角，所以弧长.故答案为：【题目点拨】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，属于基础题．16、【解题分析】

观察式子，将两式相除即可得到答案.【题目详解】根据题意，可知，于是.【题目点拨】本题主要考查等比数列公比的相关计算，难度很小.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）;（II）;（III）【解题分析】

（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得﹣2x=4，解可得x的值，即可得答案；（2）若，则有，结合向量数量积的坐标可得，即4x﹣2=0，解可得x的值，即可得答案；（3）根据题意，由x的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得、和的值，结合，计算可得答案．解：（I）∵与共线，∴，（II）∵，∴，∴（III）∵，∵，，∴，又∵，∴．18、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】

（1）直接利用任意角的三角函数的定义证得．（2）由已知条件利用诱导公式，证明．【题目详解】解：（1）将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，设角终边一点（非原点），其坐标为.∵，∴，.（2）由于，将换成后，就有即，.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．19、（1）；（2）【解题分析】

分析：（1）利用正弦定理，求得，即可求出A，根据已知条件算出，再由大边对大角，即可求出C；（2）易得，根据两角和正弦公式求出，再由正弦定理求出和，即可得到答案.详解：解：(1)由正弦定理得,又,所以，从而,因为,所以.又因为，，所以.(2)由(1)得由正弦定理得，可得,.所以的周长为.点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）已知两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）已知两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20、（1）（2）3；（3）【解题分析】

（1）根据题意，结合两点间距离公式，可以得到等式，化简后得到点的坐标所满足的关系式；（2）设是曲线上任一点，求出的表达式，结合的取值范围，可以求出面积的最大值；（3）恒成立，则恒成立.设，当它与圆相切时，取得最大和最小值，利用点到直线距离公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出实数的取值范围.【题目详解】（1）设的坐标是，由，得，化简得.（2）由（1）得，点在以为圆心，为半径的圆上.设是曲线上任一点，则，又，故的最大值为：.（3）由（1）得：圆的方程是若恒成立，则恒成立.设，当它与圆相切时，取得最大和最小值，由得：，，故当时，原不等式恒成立.【题目点拨】本题考查了求点的轨迹方程，