福建省泉州永春侨中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

福建省泉州永春侨中2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列满足，，则数列的前5项和（）A．15 B．28 C．45 D．662．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg3．已知，则向量与向量的夹角是（）A． B． C． D．4．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A． B．C． D．5．若，则（）A．-4 B．3 C．4 D．-36．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A． B． C． D．7．如图是函数的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是①函数的最小正周期为②函数的振幅为③函数的一条对称轴方程为④函数的单调递增区间是⑤函数的解析式为A．③⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③8．如图，为了测量山坡上灯塔的高度，某人从高为的楼的底部处和楼顶处分别测得仰角为，，若山坡高为，则灯塔高度是（）A． B． C． D．9．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，则10．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知在数列中，，，则数列的通项公式______．12．已知直线，圆O：上到直线的距离等于2的点有________个。13．若在区间（且）上至少含有30个零点，则的最小值为_____．14．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量=．15．已知正数、满足，则的最大值为__________．16．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，平面底面ABCD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：（1）平面BEF；（2）平面平面PCD．18．2013年11月，总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示.2014年1月，中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计，推动了“精准扶贫”思想落地.2015年1月，精准扶贫首个调研地点选择了云南，标志着精准扶贫正式开始实行．某单位立即响应党中央号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：年份2015年2016年2017年2018年年份代码1234收入（百元）25283235（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并估计甲户在2019年能否脱贫；（注：国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）（2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．参考公式：，，其中为数据的平均数．19．设数列,，已知，，（1)求数列的通项公式；（2)设为数列的前项和,对任意.（i）求证：；（ii)若恒成立，求实数的取值范围．20．已知数列的前项和为，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.21．如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据可知数列为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可.【题目详解】因为,故数列是以4为公差,首项的等差数列.故.故选：C【题目点拨】本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.2、D【解题分析】根据y与x的线性回归方程为y=0.85x﹣85.71，则=0.85＞0，y与x具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加1cm，预测其体重约增加0.85kg，C正确；该大学某女生身高为170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．故选D．3、C【解题分析】试题分析：根据已知可得：，所以，所以夹角为，故选择C考点：向量的运算4、D【解题分析】

由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.【题目详解】直线恒过点则，本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.5、A【解题分析】

已知等式左边用诱导公式变形后用正弦和二倍角公式化简，右边用切化弦法变形，再由二倍角公式化简后可得．【题目详解】，，∴，．故选：A．【题目点拨】本题考查诱导公式，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握三角函数恒等变形公式，确定选用公式的顺序是解题关键．6、D【解题分析】

由扇形的弧长公式列方程得解.【题目详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：故选D【题目点拨】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．7、A【解题分析】

根据图象求出函数解析式，根据三角函数型函数的性质逐一判定．【题目详解】由图象可知，，最大值为，，因为图象过点，，由，即可判定错，正确，由得对称轴方程为，，故正确；由，，，函数的单调递增区间是，故错；故选：A【题目点拨】本题主要考查了根据图象求正弦型函数函数的解析式，及正弦型函数的性质，属于中档题．8、B【解题分析】

过点作于点，过点作于点，在中由正弦定理求得，在中求得，从而求得灯塔的高度．【题目详解】过点作于点，过点作于点，如图所示，在中，由正弦定理得，，即，，在中，，又山高为，则灯塔的高度是．故选．【题目点拨】本题考查了解三角形的应用和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．9、D【解题分析】

试题分析：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，在A中：若，，则，相交、平行或异面，故A错误；在B中：若，，，则，相交、平行或异面，故B错误；在C中：若，，则或，故C误；在D中：若，，由面面平行的性质定理知，，故D正确.考点：空间中直线、平面之间的位置关系.10、D【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.【题目详解】解：因为，，所以，，的大小关系为.故选：D.【题目点拨】本题考查三个数的大小比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

通过变形可知，累乘计算即得结论．【题目详解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案为：an＝n．【题目点拨】本题考查数列的通项公式的求法，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12、3；【解题分析】

根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可通过图形确定所求点的个数.【题目详解】由圆的方程可知，圆心坐标为，半径圆心到直线的距离：如上图所示，此时，则到直线距离为的点有：，共个本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据圆与直线的位置关系求解圆上点到直线距离为定值的点的个数，关键是能够根据圆心到直线的距离确定直线的大致位置，从而根据半径长度确定点的个数.13、【解题分析】

首先求出在上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时的值即可【题目详解】根据，即，故，或，∵在区间（且）上至少含有30个零点，∴不妨假设（此时，），则此时的最小值为，（此时，），∴的最小值为，故答案为：【题目点拨】本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。属于难题。14、【解题分析】试题分析：由题意得，解得，故答案为．考点：分层抽样．15、【解题分析】

直接利用均值不等式得到答案.【题目详解】，当即时等号成立.故答案为：【题目点拨】本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力.16、【解题分析】

直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于或等于半径.【题目详解】直线即，圆的圆心为，半径为，若直线与圆有交点，则，解得,故实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式是常用方法.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（2）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】

（1）连接，交于，结合平行四边形的性质可得，再由线面平行的判定定理，即可得证（2）运用面面垂直的性质定理可得平面，推得，，，再由线面垂直的判定定理和吗垂直的判定定理，即可得证．【题目详解】证明：（1）连接，交于，可得四边形为平行四边形，且为的中点，可得为的中位线，可得，平面，面，可得面；（2）平面底面，，可得平面，即有，，可得，由，，可得四边形为矩形，即有，又，，可得，且所以有平面，而平面，则平面平面．【题目点拨】本题考查线面平行和面面垂直的判定，注意运用线线平行和线面垂直的判定定理，考查推理能力，属于中档题．18、(1)；甲户在2019年能够脱贫；(2)【解题分析】

（1）由已知数据求得与的值，得到线性回归方程，取求得值，说明甲户在2019年能否脱贫；（2）列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况，利用随机事件的概率计算公式求解．【题目详解】（1）根据表格中数据可得，，由，，可得．∴关于的线性回归方程，当时，（百元），∵3850＞3747，∴甲户在2019年能够脱贫；（2）设没有脱贫的2户为，另3户为，所有可能的情况为：共有10种可能．其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．∴至少有一户没有脱贫的概率为．【题目点拨】本题主要考查线性回归方程的求法，考查随机事件概率的求法，是中档题．19、(1)；(2)（i）见证明；（ii)【解题分析】

（1)计算可知数列为等比数列；（2）（i）要证即证{}恒为0；（ii)由前两问求出再求出，带入式子，再解不等式.【题目详解】(1)，又，是以2为首项，为公比的等比数列，；（2）（i），又恒成立，即（ii)由,，两式相加即得：，，，，当n为奇数时，随n的增大而递增，且；当n为偶数时，随n的增大而递减，且；的最大值为，的最小值为2，解得，所以实数p的取值范围为．【题目点拨】本类试题，注意看问题，一般情况，问题都会指明解题方向20、（1）（2）【解题分析】试题分析：解：（1）当时，，解得；当时，，∴，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，故．4分（2）由（1）得，，∴5分令，则，两式相减得∴，7分故，8分又由（1）得，，9分不等式即为，即为对任意恒成立，10分设，则，∵，∴，故实数t的取值范围是．12分考点：等比数列点评：主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用，属于基础题．21、（1）或；（2）.【解题分析】

（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.【题目详解】（1）由得圆心，∵圆的半径为1，∴圆的方程为：，显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．∴，∴，∴或．∴所求圆的切线方程为或．（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，则圆的方程为．又∵，∴设为，则，整理得，设为圆．所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，∴，由，得，由，得．综上所述，的取值范围为．考点：1、圆的标准方程及切线的方