广东省2021届高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)

广东省东莞高级中学2021届高考数学模拟试卷（3月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.方程组《-[LI5的解集不可以表示为（）

A.（（x,y）|g^5B.（（“）|疼％

C.{2,1}D.{（2,1））

2.若复数Z=g（i为虚数单位），则W=z2+z，+z6+z8+Z]。的值为（）

A.1B.—1C.iD.—i

3.双曲线/-Q=1的离心率大于0的充分必要条件是（）

A.m>3B.m>1C.m>1D.m>2

4.已知函数f（%）=，sin%—些cos%的图象在点4（%o，yo）处的切线斜率为1,贝=（）

244

A.-V3B.V3C.-立D,更

33

5.质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次,

若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m,n,且两次结果相互独立，互不影响.记m2+彦W

4为事件A,则事件A发生的概率为（）

AA.18nD-—16r-8Dn—16

6.某汽车的使用年数X与所支出的维修费用y的统计数据如表：

使用年数式单位：年）12345

维修总费用y（单位：万

0.51.22.23.34.5

元）

根据上表可得y关于X的线性回归方程J=bx—0.69,若该汽车维修总费用超过10万元就不再

维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

10210

7.已知：x=a0+ax(l—%)+a2(l—%)+…+a10(l—x),其中的，a1，a2>的()为常数,

则劭+0-2+CI4+1"+。10等于()

A.-210B.-29C.210D.29

8.已知函数/(x)=-|x|4-1,若关于x的方程尸(工)+(2m-1)/(%)+4-2m=0有4个不同的

实数解，则实数m的取值范围是()

A.m>-B.m>-C.m>--D.m<--

2222

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是()

A.若五.石=石.落则五=c

B.方=(1,1)花=(2,%)，若互+另与4万一2五平行，贝卜=2

C.非零向量弓和B满足|五|=|b|=\a-b\y则五与苍+方与的夹角为60。

D.点4(1,3),8(4,-1),与向量荏同方向的单位向量为(|,一》

10.已知三个正态分布密度函数Pj(x)―一L

3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.=0*2=

B.—0,2V。3

c.Ml=M2>〃3

D.V〃2=43

11.已知等差数列｛即｝满足CZ3=2,前3项和S3=:

等比数列｛匕｝满足瓦=%,b4=a15,｛bn｝的

前〃项和为7；.则下列命题错误的是()

A.｛an｝的通项公式为Qn=2n-4

B.等差数列｛册｝的前〃项和为&=手

C.等比数列｛g｝的公比为:

D.7；=2n-1

12.给出下列各命题，其中正确的是()

A.存在实数a,使sina+cosa=1

B.要得到y=3s讥(x―》的图象，只需把y=3s讥(x+$向右平移管个单位

C.%?是函数y=sin(2x+?)图象的一条对称轴

o4

D.函数y=loga(x+3)-l(a>0,aH1)的图象恒过定点(-2,-1)

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边

分别为1和&的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为.

14.适合条件|sina|=-sina的角a的取值范围是.

15.若尸为椭圆靠+*=1上任意一点，EF为圆(x-I/+y2=4的任意一条直径，则两.两的取

值范围是.

16.设定义域为R的函数，熊既满足下列条件：对任意富甯奥%真城:，翼-礴=期,且对任意

频遇&度处«阑修密:阻毒，当时海领时，有£蜀球:叫翼商/#⑩.给出下列四个结论：

①舞磁泊庚修②旗等”,懿隔

③费产汴，微矍④联产”/((-4=

其中所有的正确结论的序号是.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.若等差数列｛an｝中，的=3,a4=12,｛bn-an｝为等比数列,且数列｛九｝满足瓦=4,岸=20.

(1)求数列｛an｝和｛匕｝的通项公式;

(2)求数列｛b｝的前〃项和.

18.已知△制的内角A,2,C所对的边分别为“,b,c,△旗0的面积5满足手5=荏.篦

(1)求A；

(2)若ac=bcosA+acosB,求^ABC的周长的最大值.

19.空气质量指数。〃出力友dex,简称AQ/)是定量描述空气质量状况的指数,

5

空气质量按照AQ/大小分为六级，0〜50为优；51〜100为良；101〜150为轻50

754

度污染；151〜200为中度污染；201〜250为重度污染；＞300为严重污染.一930

78

环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图.9

5

(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良G4Q/W100)的天数;

(按这个月总共30天计算)

(2)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为求f的概率分布列和数学

期望.

20.在直三棱柱4BC-&BiCi中，NB4C

。在线段上，且4山：DB=3：

(I)求证：AXBJ"平面ACD-,

(II)求二面角B—AC-D的大小.

21.已知函数f(x)=e*—ln(x+m).

(1)当m=0时，求曲线y=/(x)在点(Lf(l))处的切线方程；

(2)当mW2时，证明：/(x)>

O

22.求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程并求出其离心率.

(1)焦点在x轴上，长轴长是10,短轴长8的椭圆方程；

(2)与椭圆三+1=1有相同焦点，且过点(反,4)的双曲线方程.

2736

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题主要考查了方程组解集的集合表示方法，是基础题.

先解出方程组的解集，方程组的解集是X,y的一对值，所以用集合表示的话应该是点集，所以选项

A,B,。是正确的，选项C是数集，不正确.

解:解方程组隹1tls得：仁：,

•••方程组的解集是x,y的一对值，

•••用集合表示的话应该是点集，

选项A,B,。是正确的；选项C是数集，不正确，

故选：C.

2.答案：B

解析：解：•.,复数z=三=d=-i,z2=-1,则W=z2+z4+z6+z8+z10=z"I)=

2

故选b

化简复数Z为—i,可得z2=-1,再利用等比数列的前n项和公式求得W=z2+z4+z6+z8+zi0的

值.

本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幕运算性质，等比数列的前"项和公式的应用，

属于基础题.

3.答案：C

解析：依题意，e=区，e?=叵|>2,得l+m>2,所以m>1.

4.答案：A

解析：解：f(x)=-x--sinx——cosx,

・•・/⑶=cosx+Ysinx=g+£sin(%一凯

•.・函数/(%)=。-%口%—在cos%的图象在点4(%o，M))处的切线斜率为1，

244

­•.1+|sin(x0=1,

•1•x0=Y+2kn(k6Z),

•••tanx0=tan弓+2/CTT)=­V3

故选：A.

先求函数/(x)的导数，然后令/(x0)=l,求出出的值后再求其正切值即可.

本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于在该点处切线的斜率.

5.答案：A

解析：解：质地均匀的正四面体表面分别印有0,1,2,3四个数字，

某同学随机的抛掷次正四面体2次，

正四面体与地面重合的表面数字分别记为加，”，

且两次结果相互独立，互不影响.

基本事件总数N=42=16,

记Tn?+n2<4为事件A,

则事件A包含的基本事件有：

(0,0),(1,1),(0,1),(1,0),(0,2),(2,0)共6个,

・••事件A发生的概率为p=白="

1Oo

故选：A.

先求出基本事件总数N=42=16,再利用列举法求出m2+小式4包含的基本事件个数，由此能求

出事件A发生的概率.

本题考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，

是基础题.

6.答案：D

解析：

本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，属于中档题.

计算Iy,求出回归系数，写出回归方程，据此模型预测该汽车最多可使用年限.

解：计算工=^x(1+2+34-4+5)=3,

y="(0.5+1.2+2.2+3.3+4.5)=2.34；

代入回归方程；=近一0,69得

2.34=6x3-0.69)

解得b=1.01;

•••回归方程为丁=i.oix-0.69，

令y=l.Olx-0.69>10，

解得x>10.6«11,

据此模型预测该汽车最多可使用11年.

故选：D.

7.答案：D

解析:

本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了用特殊值代入求值计算的问题，是基础题目.

解：令％=0得：Qo+Q1+---Q1O=0，

令X=2得：CLQ—%+g—@3+…+。10=21°,

两式相加即得2(。0+。2+。4+…+。10)=21。,

故劭+@2+04---F^10=29.

故选

8.答案：B

解析：解：函数/(%)的图象如图，设t=f(X)£(—8,l],

则关于X的方程/2(%)+(2m-l)f(x)+4-2m=0有4个不同的实数解,

等价于方程产+(2m-l)t+4-2m=。有2个不同的实数解，

设g(t)=d+(2m-l)t+4—2m,则

(△=(2m-I)2-4(4-2m)>0

卜等<1，

U(l)=4>0

<m>|或m<—|

解得m>~-，；.m>|.

2

、m€R

故选8.

题中原方程/'2(%)+(2m-l)f(x)+4-2m-0有4个不同的实数解，设t=f(x),等价于方程严+

(2m-l)t+4-2m=0有2个不同的实数解，再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案.

本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使

本题变得易于理解.数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于

把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.

9.答案：BD

解析：解：若五-b=b则有b"(a—c)=0>所以b=6或W—c—6或方JL(a—c)>故选项A错误；

因为五=(1,1)1=(2,x)，若胃+1与4另一2方平行,则有3(4x-2)=6Q+1),解得x=2,故选项

B正确；

因为非零向量五和方满足|五|=|K|=|五-31，则以向量五和石为边对应的四边形为一个角是60。的菱

形，

则为与N+3的夹角为30。，故选项C错误；

因为点4(1,3),B(4,-1),则荏=(3,-4),可得与向量也同方向的单位向量为儡=(|,一3,故选

项。正确.

故选：BD.

运用向量数量积的定义可判断选项A,利用向量共线的坐标表示列出方程，解方程即可判断选项8,

利用向量加法的平行四边形法则，结合向量的夹角即可判断选项C,运用向量的坐标表示以及单位

向量的求法，即可判断选项D

本题考查了平面向量的理解和应用，涉及了向量共线和垂直的应用、平面向量数量积的性质、单位

向量的求解，解题的关键是熟练掌握平面向量中的相关概念.

10.答案：BD

解析：解：因为x=〃是对称轴，观察图象可知：%<42=〃3，

而y=与y=82。)的图象可以相互平移得到，且y=03(x)的图象显得更“矮胖”，

故久=•

故选：BD.

根据正态分布曲线的性质，即对称轴为x=〃；。表示的是标准差,反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，

由此作出选择.

本题是一个识图问题，主要考查正态分布曲线的性质.属于基础题.

11.答案：AC

解析：解：设等差数列｛。"的公差为“，

因为=2,S3=所以％+2d=2,3a】+3d=[,解得%=1,d=：,

所以an=l+“7i—1)=等，故A错误；

n

Sn=九+1n(n—1)x1=故B正确；

设等比数列｛bn｝的公比为由瓦=%=1,b4=a15=8,

可得q3=8,解得q=2,故C错误；

n

Tn==2-1,故。正确.

故选：AC.

设等差数列｛aj的公差为d,运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断

A；由等差数列的求和公式，可判断8；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，可判断C；由等

比数列的求和公式，可判断D

本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础

题.

12.答案：ABCD

解析：解：对于A,存在实数a=^，sina=1,cosa=0,使sina+cosa=1,所以4对；

对于B,把y=3sin(x+》向右平移等个单位，得y=3s讥((X-争+0=3sin(x所以B对；

对于C,把4=]代入y=sin(2x+争，得、=sing)=-1,所以C对；

对于。，把x=-2,代入y=loga(x+3)-1,得y=-l,所以。对.

故选：ABCD.

A用特值法判断；B求出平移后的函数图象；C根据正弦函数性质，用特值法判断；。求出函数值验

证即可.

本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数对称性及图象平移问题，考查了对数函数性质，属

基础题.

13.答案：37r

解析：解：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥U-ABC,

其中IM=AB=BC=1,VB=AC=V2.

其外接球即为正方体的外接球，

故外接球的半径即为正方体体对角线的一半，

设三棱锥的外接球的半径为R,

所以/?=更，

2

所以该四面体的外接球的表面积为4兀x（日）2=37r.

故答案为：37r.

把三棱锥放到正方体里面，故故外接球的半径即为正方体体对角线的一半，进而求得外接球的半径，

从而利用球的表面积公式求得答案.

本题考查三棱锥的外接球，考查球的表面积公式，将三棱锥外接球转化为正方体的外接球是解题的

关键，属于中档题.

14.答案：[2/C7T—n,2kn],kEZ

解析：解：•・,|sina|=-sina,

・•・-sina>0,

:.sina<0,

由正弦曲线可以得到—匹2ATT],keZ,

故答案为:\2kn-nf2kn]fkeZ

由绝对值的特点得到-s勿a和0的关系，由正弦曲线和角的正弦值可以得到角的范围，写出角的范围

后注意加上火的取值.

本题主要考查三角函数不等式，解题时最关键的是要掌握三角函数的图象，通过数形结合得到要求

的角的范围，这个知识点应用非常广泛，可以和其他知识结合来考查.

15.答案：[5,21]

解析：解：因为而•而=(而—而)•(而一而)

=WE-l^F-~NP-(NE+柄+沛2

=-|/VE|•\NF\■cosn-0+|NP|

=-4+|NP/.

又因为椭喔+9]的a=4,b=V15,c=1,

N(l,0)为椭圆的右焦点,

\NP\e[a—c,a+c]=[3,5]

PE-PF&[5,21].

故答案为:[5,21].

先把而•方转化为=(而—而)•(而—而)=而.而—而•(而+而)+而2=一|NE|•|NF|,

COSTT-0+\NP\2=一4+|NP『.再结合|NP|的范围即可求出结论.

本题主要考查椭圆的基本性质.解决本题的关键在于知道N为椭圆的右焦点并且会把所求问题转化.

16.答案：①②④

解析：试题分析：•・•对任意％6R,/(%)+/(-%)=0,.,・函数f(x)是奇函数，,・,对任意卬x2£

当%2>%i时，有/(孙)>/(%i)>0，・,・函数f(%)在区间[l,a]上是单调增函数.,・,a>1，故①/(a)>

/(0)一定成立.三三*5*3故②，负性二E触硒一定成立.

V---------F—僦=-———轴0，二.------冷一期，=------=3---------四工二,一跖•<------，由

工开演1升诩1外淘?什诩R哥谢

奇函数的对称性知：附匚士”，代献，④对.1嗯*与，驰龈但嵬兰一是否在口⑷上不

能确定，故意，底焉和.典理当的大小不能确定，③不对，故正确的为①②④.

』普砌

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性

17.答案：解：(1)设等差数列｛斯｝的公差为d,=3,。4=12,二12=3+3d,解得d=3.

:.an=%+(九—l)d=3+3(n—1)=3n.

••・(bn~即｝为等比数列，设公比为q,

又数列｛%｝满足瓦=4,b4=20.

3

・•.b4—a4=(bi—Qi)q3,即(20—12)=(4—3)q,解得q=2.

n

bn-an=2t,

n

:.bn=3n+2t.

(2)由(1)可得数列｛b九｝的刖〃项和=3(1+2+…+?1)+1+2++…+2n1

_3如+1)2n-1

—22-1

=3n(n±l)+2n_1.

2

解析：(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

(2)利用等差数列与等比数列的前〃项和公式即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、前"项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

18.答案：解：(1)由已知等x[bcsizM=bccos",得CQTL4=

因为0。<A<180°,所以/=60°.

(2)由题设及正弦定理得as讥C=sinBcosA+sinAcosB,

所以as讥C=sin(8+4),即as讥C=sinC.

由于0。<C<120°,sinCH0,

所以a=1.

22

由余弦定理得Q2=b+c-be,

所以(b+c)2_1=3bcW3x(等)2,当且仅当b=C=1时取等号.

解得b+cW2.

即△ABC的周长的最大值为3.

解析：(1)由向量的数量积可得，x|besinA=bccosA,解得tanA,进而解得A.

2

(2)由正弦定理得asinC=sinBcosA+sinAcosB,=asinC=sinC.=>a=1.由余弦定理得Q2=b+

c2一be,

所以(b+c)2—l=3bcW3x(等)2,当且仅当b=c=l时取等号.解得b+c最大值，进而得出4

4BC的周长的最大值.

本题考查正余弦定理，向量的数量积，基本不等式，属于中档题.

19.答案：解：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,

空气质量良的天数为4,

故该样本中空气质量优良的频率为卷=|,

从而估计该月空气质量优良的天数为30x|=18天.

(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为：，

f的所有可能取值为0,1,2,3,且f〜8(3,|),

P(f=0)=(|)3=言P(f=1)=玛|(|)2=整,pg=2)=或(|)2|=哉,

%=3)=守=急，

f的分布列为:

0123

8365427

P

125125125125

E(f)=0x嘎+1X段+2X我+3X急=18

解析：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,从而求出该

样本中空气质量优良的频率，由此能估计该月空气质量优良的天数.

(2)估计某天空气质量优良的概率为|,f的所有可能取值为0,1,2,3.且《〜B(3,|),由此能求出结

果.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真

审题，注意二项分布的性质的合理运用.

20.答案：解：(I)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得4(0,0,0),8(0,2,0),C(2,0,0),4式0,0,2回8式0,2,

2次),Ci(2,0,2百),。(0,|净，

AC=(2,0,0),AD=(0,|,y)-A^B=(0,2,-2百)，

因为项•前:=0,花百•而=0，所以花首1就，A^BLAD,

又ACn4。=4,所以4$J_平面ACD

(口)由(I)知平面ACD的法向量为沆=A^B=(0,2,一2b)，

平面A8C的法向量为元=(0,0,1),

设二面角B—4C—D的大小为。，皿”剧=普/，所以

故二面角B-AC-。的大小为？

6

解析：(I)用向量数量积为零，证明直线4/垂直平面ACO内两相交直线AC、4。即可；

(口)直接用空间向量计算二面角的余弦值即可.

本题考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题.

21.答案：解：(1)当m=0时，/(x)=-Lnx,f'(x)=ex又/"(1)=e,f(1)=e-l

・••切线方程为：y-e=(e-1)(%-1),即(e-l)x-y+1=0,

(2)当m<2时,f(x)—ex—ln(x+m)>ex—In(x+2)(%>—2)(%>—2)

令g(x)=ex-ln(x+2)(%>-2),则g'(x)=ex-点，g\x)=ex+>0

y=g'(x)在(-2,+8)上单调递增一

又“(0)=1>0,9'(一}=专一|<o

•••Xoe(-30),使得g'(Xo)=exo---=0,

2XQ+Z

两边同时取以为底的对数，即得与

eln(+2)=-x0

当xe(-2,xo),g'(x)<0,y=g(久)单调递减，

当单调递增

xe(%0>+°°)>g'(x)>0,y=g(x)g'(x)>0,y=g(x)

11

g^min=g(&)=ex°-ln(x+2)=---+x,xG(--,0)

0尢0i乙00乙

1,3

•・.xQe(--,0)