高中数学《模拟方法-概率的应用》导学案

渡第三章概率________________________

DISANM§3.3模拟方法——概率的应用

课前新知预习

［航向标•学习目标］

i.了解模拟方法估计概率的实际应用，体会几何概型的意义.

2.会用模拟方法近似计算不规则图形的面积，能够利用几何中的方法计算概

率问题，比如利用面积比、长度比、角度比等.

［读教材•自主学习］

1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的回长度(面积或体积)成

国正比,而与该事件的亶位置和形状无关,则称这样的概率模型为几何概型.

2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式为幽PG4)=

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

3.几何概型的两个特征：(1)圜无限性;(2)国等可能性.

［看名师•疑难剖析］

1.几何概型的特点

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随

机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理

解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这个区域可以是线段、平面图

形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.它具有两个特点：

(1)无限性，即在一次试验中，可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的.

2.几何概型概率求解步骤

(1)利用几何概型的两个特征，判断试验属于几何概型；

(2)计算试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4Q和构成事件A的区

域长度(面积或体积)网；

(3)套用公式尸(4)=仅计算结果.

3.古典概型与几何概型的区别

古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求

基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个.

课堂师生共研

考点一几何概型的概念

例1下面关于几何概型的说法错误的是（）

A.几何概型也是古典概型的一种

B.几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关

C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个

D.几何概型中每个结果的发生具有等可能性

［解析］几何概型基本事件的个数是无限的，而古典概型要求基本事件有有

限个，故几何概型不是古典概型，故选A.

［答案］A

类题通法

解决此类问题，必须掌握几何概型的概念及特点，以及与古典概型的区别.

［变式训练1］下列概率模型中，是几何概型的有（）

①从区间［一10/0］内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间内

任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间［—10,10］内任取出

一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；④向一个边长为4cm的正方形

43co内投一点P,求点尸离中心不超过1cm的概率.（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案B

解析第1个概率模型不是几何概型，虽然区间［—10,10］内的数有无限多个,

但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度.第2个概率模型是几何概型，因为

区间［-10,10］和［-1,1］上有无限多个数可取（满足无限性），且在这两个区间内每

个数被取到的机会是相等的（满足等可能性）.第3个概率模型不是几何概型，因

为区间上的整数只有21个（是有限的），不满足无限性的特征.第4个概

率模型是几何概型，因为在边长为4cm的正方形和半径为1cm的圆内均有无数

多个点，且这两个区域内任何一个点被投到的机会相等，故满足无限性和等可能

性.

考点二与长度有关的几何概型问题

例2在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长度超过圆内接

等边三角形的边长的概率是多少？

［分析］在圆上随机取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，

如右图，可取定8点，当另一点E取在劣弧C。上时，\BE\>\BC\.

［解］记事件A=｛弦长超过圆内接等边三角形的边长｝,取圆内接等边△BCO

的顶点B为弦的一个端点，当另一点在劣弧上时，\BE\>\BC\,而劣弧C。的

弧长是圆周长的/所以由几何概型概率公式得P(A)=g.

所以弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是由

类题通法

解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基

本事件的等可能性.

［变式训练2］取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两

段的长度都不小于1m的概率有多大？

解如下图所示，记人=｛剪得两段绳子长都不小于1m),把绳子三等分，

于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.

1

3

全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3m,事件A包含的结果构成的

区域长度是中间一段的长度为3x1=l(m),故事件A发生的概率P(A)=；.

考点三与面积有关的几何概型问题

例3在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这

个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？

［分析］石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而

40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率.

［解］记。=｛钻到油层面｝,

则在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，属于几何概型.

事件C构成的区域面积是40平方千米，

全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，则

贮藏石油的大陆架面积40

口°二所有海域大陆架的面积=10000

类题通法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概

率称为面积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：

构成事件A的面积

P（A）=全部试验结果构成的面积•

［变式训练3］甲、乙两人约定晚6时到7时之间在某处会面，并约定先到者

应等候另一个人半小时，过时即可离去.求两人能会面的概率.

解

如图，以无轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够

会面当且仅当|x-y|W30.在平面直角坐标系X。），下，（x,y）所有可能结果是边长为

60的正方形，而事件A”两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，则

由几何概率公式得：

,SA602—3（）2.羽1_3

P（A）=y--1一乔一1一厂［

602

3

答：两人能会面的概率是本

考点四与体积有关的几何概型问题

例4有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1

升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.

［分析］这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概率.

［解］判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设小水杯中含有这个细菌为

事件A,

则事件A构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，

所以P（A）=¥=0.05.

类题通法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率

称为体积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：

构成事件A的区域体积

伙用=全部试验结果构成的区域体积・

［变式训练4］已知棱长为2的正方体内切球O,若在正方体内任取一点，则

这一点不在球内的概率为多少？

解球的直径就是正方体的棱长2.

47r

.•.球。的体积V«=y,

正方体的体积为V=23=8.

由于在正方体内任取一点时，点的位置等可能地在正方体内每个位置上，由

0-45

V—丫玲037T

几何概型公式，这点不在球0内（事件A）的概率为P（A）=—^=—^=1

所求概率为

规范答题思维

与角度有关的几何概型

［例］（12分）在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在NACB内部作一条

射线CM,与线段A3交于点M,求的概率.

（一）精妙思路点拨

（二）分层规范细解

AM的长度决定于NACM扫过的

度数，故该题型是与角度有关的几何概型①3分

1QAO—45。

在A3上取AO=AC,则NACD=——厂~=67.5。②.7分

设事件”在NACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC"

为A,则所有可能结果的区域角度为90。，事件A的区域角度为67.5。，所以P（A）

（三）来自一线的报告

通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的

①②见分层规范细解）

在解答过程中，在①处由于没有仔细审题，认为该几何概型

失①与线段的长度有关，从而计算相关线段的长度，造成整个解

分题过程完全错误，本题只能得0分.

警在解答过程中，在②处由于不知道如何找到计算此类概率问

示②题的临界点，或者是在此过程中出现失误，从而导致最终计

算结果错误，此题的最终得分也不超过2分.

续表

(1)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域的问题时，常以角的大小

作为区域的度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量

解题启示

手段.

(2)在计算几何概型中有关量的临界点时，要特别注意计算的准确性.

(四)类题练笔掌握

NAO5=60。，0A=2,08=5,在线段08上任取一点C,

试求：(□△AOC为钝角三角形的概率；

⑵△AOC为锐角三角形的概率.

解如图，由平面几何知识：

当AOLO8时，00=1；

当。ALAE时，0E=4,BE=\.

(1)当且仅当点C在线段。。或BE上时，△AOC为钝角三角形，

记“△AOC为钝角三角形”为事件M,则P(M)=0^产=皇=0.4,

即AAOC为钝角三角形的概率为0.4.

(2)当且仅当点C在线段DE上时，△AOC为锐角三角形，

DF3

记△为锐角三角形”为事件则=彳=

“AOCN,P(N)=7u6tsJ0.6,

则△AOC为锐角三角形的概率为06

(五)解题设问

这个概率问题是几何概型还是古典概型？.

答案几何概型

检测学业达标

1.如右图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是

17

--

A.89

C9Dl6

答案C

解析符合面积型几何概型问题.

2.在数轴上的区间［0,3］上任取一点，则此点坐标大于1的概率为（）

32

A-4B3

D.g

答案B

解析符合长度型几何概型问题.

3.一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮

的时间为45秒.当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是（）

A±B3

A.］2D-8

答案C

解析到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限

个，属于几何概型.设看到黄灯亮

为事件A,构成事件A的“长度”等于5,试验的全部结果构成的区域长度

是30+5+45=80,所以P（A）=^==

4.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓

酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.卖油翁的技巧让人叹为观止.若铜钱是直径为

3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油

正好落入孔中的概率是（油滴的大小忽略不计）.

4

答案同

解析因为S正方衫=1cn?,5®=H^2=y（cm2）,所以「=%二=怖.

5.在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫

升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？

解记。=｛取出10毫升含有麦锈病的种子｝,

取出的种子体积__10_

川P（°）一所有种子的体积一面5=0.01.

课后梯度测评

一'选择题

1.1升水中有1只微生物，任取0.1升水化验，则有微生物的概率为（)

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

答案A

解析本题为几何概型题，所有基本事件对应的区域的几何度量为总的水的

体积（1升），事件A=｛任取0.1升水中含有微生物｝包含的基本事件所对应的区域

的几何度量为所取的水的体积（01升），由几何概型概率公式可得”=¥=O.L

2.两根电线杆相距100m,若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆距离为10m

之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为（）

A.0.1B.0.2

C.0.05D.0.5

答案B

解析如下图，两根电线杆相距MN=100m,MP=10m,QN=10m,则当

雷击点在MP或QN上时，设备受损，故所求概率为P=MP：；N=G2.

I___L.।____।

MPQN

3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为;的正方形A3CD,在半圆内任取

一点，落在正方形内的概率为（）

A-2B4

C—-

J4兀D.T2兀

答案D

jr|

解析如右图，半圆的面积为全正方形的面积为;，所求概率为

nS正方形14、生c

P=^~=F，故选D.

。半圆N几

4.四边形A3CO为长方形，AB=2,BC=l,0为AB的中点.在长方形ABC。

内随机取一点，取到的点到。的距离大于1的概率为（）

.冗

A-4B-1-f

答案B

解析如图，根据几何概型概率公式得概率为

2

阴影部分面积2—T71-1

P=----2----=1寸故选B.

S女为炒ABCD

5.为了测算如右图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，

并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可

估计阴影部分的面积是（）

A.12B.9

C.8D.6

答案B

解析正方形面积为36,阴影部分面积为1^X36=9.

oUU

6.已知46[—2,2],则人的值使得过41,1)可以作两条直线与圆d+y2+日

—2y一20相切的概率等于()

113

A，2B[C]D.不确定

答案B

解析圆的方程化为1+专)+&-1)2=芋+与+i,.FZ+d+QO,4

或%＞一1二•过A(l,l)可以作两条直线与圆(x+§2+(y-l)2号+号+1相切，

A(l,l)在圆外，得(1+.2+(1-1)2蹲+苧+1,」＜0,故咐一1,0),区间长度

为1,因为攵金1一2,2],则长度为4,...P=/

二'填空题

7.在区间[—1,2]上随机取一个数x,则|x|Wl的概率为.

答案I

解析由|x|Wl得，一1«,故易知所求概率为;二;二;;=|.故填|.

8.在面积为S的△ABC的内部任取一点尸，则APBC的面积大于j的概率是

9

答案

16

解析设AB,AC上分别有点。，E满足且AE=14C,贝IMADE

33

s△ABC,DE//BC1.DE=0C.,:点、A到。E的距离等于点A到BC的距离的不

到BC的距离等于△ABC高的"当动点P在内时，P到8c的距离大

q

于OE到BC的距离，，当P在△AOE内部运动时，△P8C的面积大于布・••所

SMDE(3卜=2

求概率为S^ABC⑷⑹

9.函数兀0=数一元一2,5,5],那么任取一点元（）£[—5,5],使«x（））W0

的概率是.

3

答案10

解析画出函数人犬）的图像，由图像得当x（）e[—1,2]时，/（xo）WO.任取一点xo

£[—5,5]的结果有无限个，属于几何概型.设使/Uo）WO为事件A,则事件A构

成的区域长度是2—（-1）=3,全部结果构成的区域长度是5—（-5）=10,则P（A）

=w,

三、解答题

10.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成20

个相等的扇形），如图，并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘

的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红，黄或绿色区域顾客就可以分别获得

100元，50元，20元的购物券.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？

他得到100元，50元，20元购物券的概率分别是多少？

解转盘被等分成20个扇形，并且每一个顾客自由转动转盘，说明指针落在

每个区域的概率相同，对于参加转动转盘的顾客来说，每转动一次转盘，获得购

物券的概率相同，获得100元，50元，20元购物券的概率也相同，因此游戏是公

平的，这是一个几何概型问题.根据题意，甲顾客的消费额超过100元，因此可

以获得一次转动转盘的机会.由于转盘被等分成20个扇形，其中1个红色，2个

黄色，4个绿色，因此对于甲顾客来说P（获得购物券）=』一=4；P（获得100

12141

元购物券）=与；P（获得50元购物券）=而=而；P（获得20元购物券）=而=卬

11.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的圆环，从外向内为白色、黑色、蓝色、

红色，靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶

心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一

点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？

解把射中靶面看成一次试验，其结果可以是靶面直径为122cm的大圆内的

任意一点，有无限个，属于几何概型.设射中黄心为事件A,

全部结果构成的区域面积是(XTTX1222

1

-

4

事件A的结果构成的区域面积是(义兀*12.22cn?,则p(A)=1

-

4

0.01,即射中黄心的概率为0.01