初中数学平行四边形单元测试附解析

初中数学平行四边形单元测试附解析

一、选择题

1.如图，正方形ABCD的对角线相交于。点，BE平分NABO交A0于E点，CFLBE于F

点，交B0于G点，连接EG、OF,下列四个结论：①CE=CB；②AE=J^OE；③OF=JcG,

其中正确的结论只有（）

DC

AB

A.①②③B.②③C.①③D.①②

2.如图，在RtAABC中，ZA=30",BC=2,点D,E分别是直角边BC,AC的中点，则DE

3.如图，正方形A8CD的边长为4,点E在边AB上，AE^l,若点P为对角线BD上的一

个动点，则△外£周长的最小值是（）

4.在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平

分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小

正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它

剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）

3非

A.272B.亚rD.V10

2

5.如图，菱形ABCD中，NA8c=60。，48=4,对角线AC、B。交于点。，E是线段80上

一动点，F是射线DC上一动点，若/AEF=120。，则线段EF的长度的整数值的个数有

()

C.3个D.4个

6.如图，在长方形ABCD中，AD=6,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD±,

且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH,

则APEF和△PGH的面积和为（）

C.7D.8

7.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则NCBF为

（）

8.如图，在矩形ABC。中，48=6,BC=8,E是BC边上一点，将矩形沿AE折叠，点B落

在点F处，当AB，EC是直角三角形时，BE的长为（）

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

9.已知四边形ABCD中，对角线BD被AC平分，那么再加上下述中的条件（）可以得

到结论:"四边形ABCD是平行四边形

A.AB=CDB.NBAD=NBCDC.ZABC=ZADCD.AC=BD

10.如图，正方形ABCD中，AB=12,点E在边CD上，且BG=CG,将4ADE沿AE对折至

△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF,下列结论：①△ABG丝AAFG；

72

②/EAG=45°；③CE=2DE；④AG〃CF；⑤Sacc-g.其中正确结论的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题

11.如图，某景区湖中有一段"九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

或BD平行，若AB=100m,/A=/B=60。，则此"九曲桥”的总长度为.

12.如图，在矩形ABCD中，/BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②N£)GR=135°;

325

③BGLOG；@AB=-AD,则58/=彳5和6,正确的有

13.如图，四边形ABCD是菱形，NDAB=48°,对角线AC,BD相交于点。，于

H,连接。贝ljNDHO=度.

14.如图,长方形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm点E是BC边上一点，连接AE并将

△AEB沿AE折叠,得到△AEB」以C,E,B'为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为

cm.

15.如图，在平行四边形ABCD,AD^IAB,F是AD的中点，作CE_LA8,垂足E在线段A8

上，连接EF、CF,则下列结论：①N8CD=2/DCF；②EF=CF；③SACOF=5△由；®ZDFE=

3ZAEF,一定成立的是..（把所有正确结论的序号都填在横线上）

16.在A8C1中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将A8C按如图所示的方

式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF,则OER的周长为.

17.如图，oABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD

的最小值等于

18.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

/EAD=2N-BAE,则下歹U结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正确的是（填

序号）.

19.如图，正方形ABCO面积为1,延长D4至点G,使得AG=AD,以OG为边在正

方形另一侧作菱形DGFE,其中ZEFG=45°，依次延长AB,BC,CD类似以上操作再

作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点fH,M,N,则四边形

FHMN的面积为.

20.如图，在矩形纸片A8CD中，A8=6,8c=10,点E在CO上，将^BCE沿BE折叠，点

C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将8G沿BG折叠，点4恰落在线段BF上的

3

ABGAFGH

点H处,有下列结论：①NEBG=45°；②S&=：S;（3）ADEF^AABG;

④AG+DF=FG.其中正确的是.（把所有正确结论的序号都选上）

21.在四边形ABCD中，ADIIBC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,ZABC=90°.点P从点A

出发，以lcm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，

其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒.

（2）当t=_时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边

形？

（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如

何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度.

22.如图，在矩形ABCO中，点£是AO上的一点（不与点A,。重合），A48E沿

8E折叠，得8E尸，点A的对称点为点F.

（1）当AB=4）时，点尸会落在CE上吗？请说明理由.

（2）设不=加（0＜加＜1）,且点/恰好落在CE上.

AD

①求证：CF=DE.

AP

②若F=〃，用等式表示小，〃的关系―

AD

23.在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结

论：如图1,四边形A6C。的对角线AC与8。相交于点0,ACLBD,则

AB2+CD2=AD2+BC2.

（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2,分别以At的直角边

AC和斜边A5为边向外作正ACFG和正方形A8OE,连结CE、BG、GE.已知

AC=4,A8=5,求GE的长，请你帮助小明解决这一问题.

24.综合与探究

如图1,在MBC中,NACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AO,以AO为一边且在AD

的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：

（1）研究发现:如果=AC,N84c=90。

①如图2,当点。在线段BC上时（与点8不重合），线段CF、8。之间的数量关系为

，位置关系为.

②如图3,当点O在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍成立并说明理由.

（2）拓展发现:如果AB丰AC,点D在线段BC上，点F在AABC的外部，则当

ZACB=HCFLBD.

图1图2图3

25.如图所示，四边形ABC。是正方形，M是A3延长线上一点.直角三角尺的一条直

角边经过点。，且直角顶点E在A8边上滑动（点E不与点4B重合），另一直角边与

NCBM的平分线BF相交于点F.

⑴求证：ZADE=AFEM-,

(2)如图(1),当点£在A8边的中点位置时，猜想OE与EP的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2),当点E在A8边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与£尸有怎样的数

量关系，并证明你的猜想.

26.如图①，已知正方形A8CD的边长为3,点Q是A。边上的一个动点，点A关于直线

8Q的对称点是点P,连接QP、DP、CP、BP,设AQ=x.

(1)8P+DP的最小值是,此时X的值是；

(2)如图②，若QP的延长线交CD边于点M,并且NCPD=90。.

①求证：点M是CD的中点；②求x的值.

(3)若点Q是射线AD上的一个动点，请直接写出当ACDP为等腰三角形时x的值.

27.(解决问题)如图1,在AABC中，AB=AC=10,。6_1_43于点6.点尸是

边上任意一点，过点P作PELAB,PF1AC,垂足分别为点E,点

(1)若尸E=3,PF=5,则A48P的面积是,CG=.

(2)猜想线段PE,PF,CG的数量关系，并说明理由.

(3)(变式探究)如图2,在A48c中，若AB=AC=BC=10,点P是A4BC内任意

一点，且PELBC,PF1AC,PG1AB,垂足分别为点E,点尸，点G,求

PE+Pb+PG的值.

G

BEC

图2

(4)(拓展延伸)如图3,将长方形ABC。沿E/折叠，使点。落在点3上，点。落在

点C'处，点P为折痕EE上的任意一点，过点、P作PGLBE,PHLBC,垂足分别为

点G,点”.若AO=8,CF=3,直接写出PG+P”的值.

28.如图，四边形ABC。为正方形.在边AO上取一点E,连接5E,使NAE8=60。.

(1)利用尺规作图(保留作图痕迹)：分别以点8、。为圆心，长为半径作弧交正

方形内部于点T,连接BT并延长交边AO于点E,则NAEB=60°；

(2)在前面的条件下，取8E中点过点朋的直线分别交边A8、CD于点P、Q.

①当PQLBE时，求证：BP=2AP；

②当=时，延长BE,CD交于N点、,猜想NQ与MQ的数量关系，并说明理由.

29.如图，在四边形A8CD中，AD^BC,AD//BC,连接AC,点P、E分别在48、CD

上，连接PE,PE与AC交于点F,连接PC,ND=NBAC,ZDAE=ZAEP.

(1)判断四边形P8CE的形状，并说明理由；

(2)求证：CP=AE；

(3)当P为AB的中点时，四边形APCE是什么特殊四边形？请说明理由.

AD

30.（问题情境）

在△ABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD_LAB,PE_LAC,垂足

分别为D、E,过点C作CFJ_AB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：

PD+PE=CF.

图①图②图③

证明思路是：如图2,连接AP,由AABP与AACP面积之和等于AABC的面积可以证得：

PD+PE=CF.（不要证明）

（变式探究）

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并

说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）

如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF

上的任一点，过点P作PGJLBE、PH±BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

图④

（迁移拓展）

4

在直角坐标系中.直线/i：y=-§x+4与直线匕：y=2x+4相交于点A,直线鼠/2与x轴分别

交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点P到直线/1的距离为1.求点P的坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.A

解析：A

【分析】

根据正方形对角性质可得NCEB=/CBE,CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证

△ECG^ABCG,可得AE=EG=、/50E；根据直角三角形性质得OF=gBE=；CG.

【详解】

•.•四边形ABCD是正方形，

AZABO=ZACO=ZCBO=45°,AB=BC,OA=OB=OC,BD1AC,

VBE平分NAB。,

1

ZOBE=-ZABO=22.5°,

2

ZCBE=ZCBO+ZEBO=67.5",

在ABCE中，NCEB=180°-ZBCO-/CBE=180--45°-67.5°=67.5°,

，NCEB=/CBE,

，CE=CB；

故①正确；

VOA=OB,AE=BG,

.\OE=OG,

VZAOB=90°,

/.△OEG是等腰直角三角形，

.,.EG=V2OE,

VZECG=ZBCG,EC=BC,CG=CG,

A△ECGBCG,

；.BG=EG,

.\AE=EG=V2OE：

故②正确；

VZAOB=90°,EF=BF,

VBE=CG,

11

，OF=-BE=—CG.

22

故③正确.

故正确的结论有①②③.

故选A.

【点睛】

运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以

及等腰直角三角形的性质.此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.

2.A

解析：A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的性质求出AB,根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】

解：在RtZXABC中，/A=30°,

；.AB=2BC=4,

VD,E分别是直角边BC,AC的中点，

ADE=-AB=2,故选：D.

2

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半.

3.D

解析：D

【分析】

连接AC、CE,CE交BD于P,此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案.

【详解】

解：连接AC、CE,CE交8D于P,连接AP、PE,

D

•・•四边形ABCD是正方形，

，OA=OC,AC1BD,即A和C关于BD对称，

：.AP=CP,

即AP+P£=CE,此时AP+PE的值最小，

所以此时△%£周长的值最小，

:正方形A8C0的边长为4,点E在边A8上，AE=1,

：.ZABC=90°,S£=4-1=3,

由勾股定理得：CE=5,

的周长的最小值是AP+PE+AE=C£+AE=5+1=6,

故选0.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与轴对称一一最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN,利用勾股定

理即可求得.

【详解】

如图，EF为剪痕,过点F作/于G.

；EF将该图形分成了面积相等的两部分，

EF经过正方形ABCO对角线的交点，

AF=CN、BF=DN.

易证kPME/\PDN,

EM=DN,

而AF=MG,

EG=EM+MG=DN+AF=DN+CN=DC=1.

在Rt\FGE中，EF=y]FG2+EG2=A/32+12=V10-

故选：D.

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是

解题的关键.

5.C

解析：C

【解析】

【分析】

连结CE,根据菱形的性质和全等三角形的判定可得ACBE,根据全等三角形的性质

可得AE=CE,设NOCE=a,ZOAE=a,Z4EO=90°-a,可得NECF=4EFC,根据等角对

等边可得C£=EF,从而得到AE=EF,在R3AB。中，根据含30。的直角三角形的性质得到

40=2,可得2JEa,从而得到EF的长的整数值可能是2,3,4.

【详解】

解：如图，连结CE

・•,在菱形ABCD中，AB=BC,NABE=NCBE=30。，BE=BE,

J.AABE^△CBE,

AE=CE,

OCE=a,ZOAE=a,ZAEO=90°-a,

：.ZDEF=120°-(90°-a)=30°+a,

ZEFC=NCDE+ZDEF=30°+30°+a=60°+a,

ZECF=NDCO+ZOCE=60°+a,

ZECF=NEFC,

：.CE=EF,

AE=EF,

AB=4,NAB£=30",

在RtAABO中，40=2,

OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

的长的整数值可能是2,3,4,即EF的长的整数值可能是2,3,4.

故选：C.

【点睛】

考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30。的直角三角形的

性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE△CBE.

6.C

解析：c

【分析】

连接EG、FH,根据题意可知△AEF与△CGH全等，故EF=GH,同理EG=FH,再证四边形

EGHF为平行四边形，所以△PEF和小PGH的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形

EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.

【详解】

连接EG、FH,如图所示，

在矩形ABCD中,AD=6,AB=4,AF=CG=2,BE=DH=1,

.".AE=AB-BE=4-1=3,CH=CD-DH=3,

，AE=CH,

在小AEF和4CGH中，AE=CH,/A=NC=90°,AF=CG,

；.△AEF^ACGH,

，EF=GH,

同理可得4BGE^ADFH,

/.EG=FH,

四边形EGHF为平行四边形，

VAPEFaiAPGH的高的和等于点H到直线EF的距离,

PEF和小PGH的面积和=,、平行四边形EGHF的面积，

2

求得平行四边形EGHF的面积=4x6-'x2x3」xlx(6-2)--X2X3--X1X(6-2)=14,

2222

PEF和^PGH的面积和='xl4=7.

2

【点睛】

此题主要考察矩形的综合利用.

7.A

解析：A

【分析】

根据正方形的性质及等边三角形的性质求出NABE=15。，/BAC=45。，再求/BFC,进而得出

ZCBF.

【详解】

解：•••四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,

又「△ADE是等边三角形，

，AE=AD=DE,/DAE=60°,

；.AB=AE,

AZABE=ZAEB,ZBAE=900+60,,=150°,

AZABE=(180o-150°)+2=15°,

XVZBAC=45",

/.ZBFC=450+15°=60°.

AZBFA=180°-60°=120o,

，ZCBF=1800-ZBCA-ZBFC=180--45°-60=75°,

故选：A.

【点睛】

本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出/ABE=15。.

8.C

解析：C

【分析】

分以下两种情况求解：①当点夕落在矩形内部时，连接AC,先利用勾股定理计算出AC

=10,根据折叠的性质得/AB'E=/B=90°,而当EC为直角三角形时，只能得到

ZEB'C=90°,所以点A、B1、C共线，即NB沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的

点8'处，则EB=EB',AB=AB'=6,可计算出CB'=4,设BE=x,则EB'=x,CE=

8-x,然后在RtaCEB'中运用勾股定理可计算出x.

②当点8,落在AD边上时.此时四边形A8EB，为正方形，求出BE的长即可.

【详解】

解：当AB'EC为直角三角形时，有两种情况：

①当点夕落在矩形内部时，如图1所示.连结AC,

在RtZSABC中，48=6,8c=8,

-'-AC=^2+62=10>

•••NB沿AE折叠，使点8落在点8,处，

ZAB'E=NB=90°,

当AB'EC为直角三角形时，得到/EB'C=90°,

...点A、B'、C共线，即/8沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的点夕处，如图,

：.EB=EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

设BE=x,贝ljEB'=x,CE=8-x,

在RtABzEC中,

'：EB'2+CB'2=CE2,

,'.x2+42—(8-x)2,

解得x—3,

；.BE=3；

②当点8'落在A。边上时，如图2所示.

此时4BEB'为正方形,

，BE=AB=6.

综上所述，BE的长为3或6.

故选：C.

【点睛】

本题考查了折叠变换的性质、直角三角形的性质、矩形的性质，正方形的判定等知识；熟

练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

9.B

解析：B

【分析】

设BD与AC交于。点，已知条件为BO=D。，NAOB=/COD,结合选项条件应证出能判断平

行四边形的条件，或举出反例证明不成立.

【详解】

解：A、BO=DO,NAOB=NCOD,AB=CD不能证出四边形ABCD是平行四边形，反例如图，

故本选项错误：

B、如图，在直线AC上任取一点C',使OA=OC',

；BODO,.•.四边形ABC'D是平行四边形，

...AD〃BC',AB〃C'D,

/BC'A=/C'AD,ZAC'D=ZBAC',

NBC'A+NAC'D=NC'AD+NBAC',

即NBC'D=/BAD,

VZBAD=ZBCD

.•.ZBC'D=ZBCD,

.,.点C与点C'重合，

四边形ABCD是平行四边形.

故本选项正确；

C、当BO=DO,ZABC=ZADC不能证出四边形ABCD是平行四边形,反例如图,

故本选项错误；

D、当BO=DO,AC=BD,不能证出四边形ABCD是平行四边形,反例如图,

故本选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定，根据已知条件证出判定平行四边形的条件及举出反例图形是

解答此题的关键.

10.D

解析：D

【分析】

根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtA4BG^RtA4FG；根据角的和差关系求得

/GAF=45。；在直角AECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明

3

ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,由平行线的判定可得AG〃CF；求出SAfC6,由SAFCG=-5ACC£

即可得出结论.

【详解】

①正确.理由：

"：AB=AD=AF,AG=AG,N8=N4FG=90°,；.Rt"8G岭Rt/WG(HL)；

②正确.理由：

NBAG=NFAG,NDAE=NFAE.

又：ZBAD=90°,二/EAG=45°；

③正确.理由：

设DE=x,则EF=x,EC=12-x.在直角^ECG中，根据勾股定理，

得：(12-x)2+62=(x+6)2,解得：x=4,；.DE=x=4,CE=12-x=8,/.CE=2DE；

④正确.理由：

"：CG=BG,BG=GF,：.CG=GF,：.NGFC=NGCF.

又

VM/\ABG^Rt/\AFG,：.ZAGB=ZAGF,ZAGB+ZAGF=2ZAGB=ZGFC+ZGCF=2ZGFC=2Z

GCF,：.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,：.AG//CF；

•；S"CG=§SAGCE=WX24=彳.

故选D.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行

线的判定，三角形的面积计算等知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数

形结合思想与方程思想的应用.

二、填空题

11.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，4ABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

VZA=ZB=60°

•••ZE=180-ZA-ZB=60

."1△ABC是等边三角形

；.ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=_IN+KG+DH

二“九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为:200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

12.①③④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得/BGE=/DGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GH_LCD于H,设

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH='x,DG=GB=£1X,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：•••四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=NBCD=NADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

.••ZBAE=ZDAE=45°,

.,.ZF=ZFAD,

，AD=DF,

；.BC=DF,故①正确；

VZEAB=ZBEA=45",

，AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,NECF=90°,

.•.△CEF是等腰直角三角形，

;点G为EF的中点，

；.CG=EG,ZFCG=45°,CG±AG,

AZBEG=ZDCG=135°,

在4DCG和aBEG中，

BE=CD

-NBEG=NDCG,

CG=EG

/.△DCG^ABEG(SAS).

ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

AZDGC=ZBGE<45",

VZCGF=90°,

.,.ZDGF<135",故②错误；

VZBGE=ZDGC,

ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

AZCGA=ZDGB=90°,

BG±DG,故③正确；

过点G作GH±CD于H,

3

AB=-AD,

4

，设AD=4x=DF,AB=3x,

；.CF=CE=x,BD=JAB?+AC>2=5%，

VACFG,4GBD是等腰直角三角形，

]5/?

.,.HG=CH=FH=—x,DG=GB=1^—x,

22

1,125,

・・SADGF=—xDFxHG=x2,SABDG="DGxGB=----x2

•*-SBDG=7~SFDG，故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

13.24

【分析】

由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可

得OH=LBD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性质可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【详解】

【解答】解：•••四边形ABC。是菱形，

AOD=OB,ZCOD=90°,ZDAB=ZDCB=48°,

；DH1AB,

1

：.OH=-BD=OB,

2

:.NOHB=NOBH,

又TAB〃CD,

：.ZOBH=ZODC,

在RtZ\COD中，ZODC+ZDCO=90°,

在RSDHB中，ZDHO+ZOHB=90Q,

/OHO=NDCO」/DCB=24。，

2

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断

出0H是BD的一半，和NDHO=ZDCO是解决本题的关键.

14.3或6

【详解】

△ABE是等腰直角三角形,

BE=AB=6cm；

②NEBt=90°时,如图2,

由翻折的性质NAB，E=NB=90°r

」.A、B\C在同一直线上，

AB=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=7AB2+BC2=V62+82=10cm,

B'C=10-6=4cm,

设BE=B'E=x,则EC=8-x,

在RtAB'EC中,B'E2+B(2=EC2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

综上所述，BE的长为3或6cm.

故答案为3或6.

15.①②④

【分析】

①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；

②延长EF,交CD延长线于点M,首先根据平行四边形的性质证明△AMMZ\OFM，得

出FE=MF,AAEF=NM,进而得出ZECD=ZAEC=90°,从而利用直角三角形斜

边中线的性质即可判断；

③由=得出SVEFC=SVCF”，从而可判断正误；

④设NFEC=X,利用三角形内角和定理分别表示出NDFE和从而判断正误.

【详解】

①•..点F是AD的中点，

AF=FD.

♦.•在平行四边形ABCD中，AD=2AB,

AD//BC,AF=FD=CD,

ZDFC=NFCB,ZDFC=NDCF,

Z.FCB=ZDCF,

AZBCD=2ZDCF,故①正确;

②延长EF,交CD延长线于点M,

•.•四边形ABCD是平行四边形,

ABHCD,

:.ZA=ZMDF,

•.•点F是AD的中点,

AF=FD.

NA=NFDM

在AEF和DFM中，<AF=DF

NAFE=NDFM

AA£F=^DFM(ASA)

:.FE=MF,ZAEF=ZM.

CE1AB,

ZAEC^90°,

/.NECO=NAEC=90。，

:.CF=LEM=EF,故②正确；

2

©'：FE=MF,

'•SvEFC=S^cFM•

S&CFM=SMDF+SjlDF

'''S&CDF<S^EFC，故③错误：

④设NFEC=x,则"CE=x,

:.ZDCF=ZDFC=90P-x,

:.ZEFC=\W-2x,

.•.ZEro=90O-x+180°-2r=270o-3x.

QZAEF=90P-x,

.-.ZDFE=3ZAEF,故④正确；

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这

些性质和定理是解题的关键.

16.15.5

【分析】

先根据折叠的性质可得4石=。£/创力=/£：94,再根据垂直的定义、直角三角形的性

质可得=又根据等腰三角形的性质可得BE=Z)E,从而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出OF=AE=CF=5,然后根据三角形中位线定理可得

EF=-BC=4.5,最后根据三角形的周长公式即可得.

2

【详解】

由折叠的性质得：AE=DE,ZEAD=ZEDA

AD是BC边上的高，BPAD1BC

・・.NB+NE4O=90。，/BDE+/EDA=9b。

/.NB=/BDE

BE=DE

.-.£>£=A£=B£=-AB=-xl2=6

22

同理可得：£>F=AF=CF=-AC=-xlO=5

22

又AE=BE,AF=CF

.•.点E是AB的中点，点F是AC的中点

:.EF是ABC的中位线

.-.£F=-5C=-x9=4.5

22

则OEF的周长为OE+£)F+EF=6+5+4.5=15.5

故答案为：15.5.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知

识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE=DE是解题关键.

17.6

【分析】

过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得至l」AB〃CD,

推出PE=^PD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条

直线上，利用NDAB=30°,/AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=JAB=3,得到2PB+

PD的最小值等于6.

【详解】

过点P作PE±AD交AD的延长线于点E,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

，NEDC=NDAB=30°,

1

，PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+gpD)=2(PB+PE),

...当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一-条直线上，

VZDAB=30°,/AEP=90°,AB=6,

.,PB+PE的最小值=1AB=3,

.♦.2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化

为三点共线的形式是解题的关键.

18.②③

【分析】

根据菱形的性质可知AC_LBD,所以在Rt^AFP中，AF一定大于AP,从而判断①；设

NBAE=x,然后根据等腰三角形两底角相等表示出/ABE,再根据菱形的邻角互补求出

ZABE,根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度数，从而

判断②③.

【详解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

二在RtZ\AFP中，AF一定大于AP,故①错误；

•.•四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

设NBAE=x。,

则/EAD=2x°,ZABE=180°-x°-2x",

VAB=AE,ZBAE=x0,

ZABE=ZAEB=180°-x0-2x<<,

由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

即NBAE=36°,

ZBAE=180--36°-2x36°=70°,

:四边形ABCD是菱形，

1

NBAD=NCBD=—NABE=36°,

2

ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36°=72°,

/BEF=180°-36°-72°=72°,

；.BE=BF=AF.故③正确

VZAFD=ZBFE=72",ZEAD=2x°=72°

NAFD=NEAD

，AD=FD

又：AD=AB=AE

，AE=FD,故②正确

正确的有②③

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于NBAE的方程是解题

的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角.

19.13+8近

【分析】

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后进一步根据菱形性质得出

DE=EF=DG=2,再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=及，进一步可得

FN?MFR1+N片=13+8叵，再延长NS交ML于点Z,利用全等三角形性质与判定证

明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.

【详解】

H匕-----------

如图所示，延长CD交FN于点P,过N作NK_LCD于点K,延长FE交CD于点Q,交NS于

点R,

VABCD为正方形，

AZCDG=ZGDK=90°,

•.•正方形ABCD面积为1,

.*.AD=CD=AG=DQ=1,

.,.DG=CT=2,

•.•四边形DEFG为菱形，

，DE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

；NEFG=45°,

AZEDG=ZSCT=ZNTK=45°,

VFE/7DG,CT〃SN,DG1CT,

AZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°，

，DQ=EQ=TK=NK=72，FQ=FE+EQ=2+夜，

VZNKT=ZKQR=ZFRN=900,

四边形NKQR是矩形，

.•.QR=NK=V^,

；.FR=FQ+QR=2+2&，NR=KQ=DK-DQ=V2+1-V2=1-

•••FN2=FR1+NR2=13+8旅，

再延长NS交ML于点Z,易证得：△NMZ三△FNR(SAS),

；.FN=MN,ZNFR=ZMNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

.,.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：NNFH=NFHM=90°,

，四边形FHMN为正方形，

正方形FHMN的面积=FN?=13+8&，

故答案为：13+8，L

【点睛】

本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练学

握相关方法是解题关键.

20.①②④.

【分析】

利用折叠性质得NCBE=NFBE,ZABG=ZFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,则可得到

ZEBG=yZABC,于是可对①进行判断；在RtZ\ABF中利用勾股定理计算出AF=8,则

DF=AD-AF=2,设AG=x,则GH=x,GF=8-X,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到x?+42=(8-x)

2,解得x=3,所以AG=3,GF=5,于是可对②④进行判断；接着证明△ABFS/\DFE,利用

相似比得到g盘=22=:,而——=—=2,所以"TGH'TT二，所以^DEF与aABG不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可对③进行判断.

【详解】

解：「△BCE沿BE折叠，点C恰落在边A。上的点F处；点G在AF上，

将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段8F上的点H处，

；.NCBE=NFBE,ZABG^ZFBG,BF=8C=10,BH=BA=6,AG=GH,

，NEBG=NEBF+NFBG=；NCBF+]NABF=]NABC=45°,所以①正确;

在RtzMBF中，AF=飞BF?-AB。=V102-62=8，

：.DF=AD-AF=10-8=2,

设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=4,

在RtAGFH中，

GH2+HF2=GF2,

.,.x2+42—(8-x)2,解得x=3,

GF=5,

.♦.AG+DF=FG=5,所以④正确；

「△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处,

；.NBFE=NC=90°,

/EFD+/AFB=90°,

而NAFB+NA8F=90°,

，NABF=NEFD,

：.Z\ABF^/\DFE,

AB_AF

DF-DE'

DE_AF_8_4

DFAB-6-I

ABDE

*.------W-------,

AGDF

•二△DEF与AABG不相似；所以③错误.

..11

•SAABG=77X6X3=9,SAGHF="X3X4=6,

22

3

•*SAABG——SAFGH»所以②正确.

故答案是：①②④.

本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有

的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质

时，主要利用相似比计算线段的长.也考查了折叠和矩形的性质.

三、解答题

(1)—;(2)°或4；(3)四边形PBQD不能成为菱形

21.

22

【分析】

(