基于知识 超越知识

基于知识超越知识《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出，数学课程的基本理念是“人人都能获得良好的数学教育”。在此理念的指导下，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”，“四基”的获得是学生受到良好数学教育的集中体现。因为四基中，知识与技能相对而言是有形可感的，而思想与经验是隐性无形的。所以，即使广大教师在理念上确立了“四基”的意识，但在实践中，如何组织学生感悟数学思想还是一筹莫展——思想到底在哪里？在知识形成运用的过程里。我们常说思想方法是数学的精髓，它和数学知识间到底什么关系？让历史来回答这个问题。远古时代，原始人为了生存最关心的问题是今天“有”还是“没有（无）”果实或野兽，在进一步认识“有”的过程中，逐渐分辨出了“多”与“少”，以及学会了数（shǔ）数（shù）。因为计数数目的不断增多，人类开始借助石子、树枝、泥丸、结绳、兽骨刻痕等器物（或办法）来帮助计数。有时候，为了不丢失这些计数工具，就把果核等串在小棒或细绳上（这怕是最原始的计数器了）。也有时候，凑巧没有这些实物计数工具，就利用自己的手指来计数。手指计数的障碍在于“手仅十指”，所以人类最初借用其他人的手指一起来计数，比如用“3人4指”来表示用完了3个人的手指还多4个手指。渐渐地，人们意识到当用完了自己的全部手指后，可以在旁摆一块石子或一根树枝，这样就能“解放”自己的手指继续开始计数了！这便是十进制计数法的雏形。“手指计数”促成了进位制计数方法的出现，进而进一步促成了数的表达和记录符号的出现，数字符号的出现标志着数概念的形成。人类的历史约有680万年，在前500万年，人类基本上还只有单音节语言，近200万年以来，产生了多音节语言，而现在我们普遍使用的阿拉伯数字，实际上源自印度，这个历史仅有千余年。人类认识数的过程细分为“基本数觉→数数阶段→实物计数→手指计数→生成计数符号”等多个阶段，每一次的进步都无比艰辛。考察人类形成数概念的过程，离不开观察分类、比较异同、剥离具体实物、符号概括等思维活动。我们的教科书非常简练地呈现了这个过程。即便是要认识数“1”，也必须从情境中的实物出发，剥离各种无关紧要的东西，只保留它量方面的特性，以一粒算珠（在量的特征上，它和1个小朋友拉手风琴是等价的，但更为抽象）为桥梁，逐步抽象成符号“1”。正因为是抽象来的，所以便具有了广泛的代表性，具有模型的意义，“1还能代表什么”的追问正是这个意思的体现。大家看，即便是最简单的数学知识，也是人类思维抽象概括的结果。没有那一系列的思维过程，也就不可能有数学的知识。因此，静态看，知识表现为定义、定理等确定性的结论；动态看，知识表现为分类、比较、抽象、概括、类比、归纳等不确定的思维过程，之所以不确定，其因为人类的认识过程是螺旋式上升的，其中还可能包含着曲折、错误等成分。分类、抽象、归纳等思维活动，不仅仅出现在某一个知识的形成过程中，还广泛出现在其他知识的形成过程中，把这些东西沉淀提炼就是数学的思想方法。也正是这个缘故，课程标准明确指出，基本的数学思想指抽象思想、推理思想、模型思想。抽象思想主要内化在知识的形成过程中，推理思想主要内化在知识的发展丰富过程中，模型思想主要内化在知识的运用过程中。剖析了知识形成的过程，显然有知识在，就必然有思想方法在。但思想方法却是知识的“暗香”，需要教师有意识地去敞亮和揭示。也就是说，数学教育的目标从“双基”提升为“四基”，不是在原先知识技能教学的基础上，外加“思想方法”的内容，而只不过把原先就内化在知识形成运用过程中的思想方法，明确地凸显固化下来，这样就把重视学生数学素养培养的“软任务”提升为了“硬任务”。所以，为了“四基”目标的数学教育，无须额外增加教学内容，只需要组织学生充分经历知识形成运用的过程，与此同时，理解和掌握知识技能本身，并回顾总结经历的过程中有什么体会和感触，这些东西点点滴滴积淀下来，就是数学活动的基本经验和数学的思想方法。在知识本源“为什么”的追问里。前段时间，笔者做案例“比的意义”。关于“比”，逐一琢磨它的相关要点，可以发现与学生已掌握的旧知联系紧密。它的意义和分数、除法相关，它的性质相当于分数基本性质、商不变规律，它的相关运算也不复杂。掌握了分数、除法的那些知识，再来学习“比”，无难可言。不过，这并不表示没有任何问题。你去询问学生：还有什么疑惑？多数学生都会问：已经有了分数、除法，为什么还要有“比”呢？对呀！旧词足以表达一切”（德国哲学家雅斯贝尔斯语），为什么还要引入“比”的概念呢？原来两个事物之间的比较，有时可以拿人数、时间、重量的多少直接比。比如“哪个班参见植树活动的人多”，两量间的相差关系、倍数关系都可以说明问题。物体间除了可以度量直接比较的属性外，还有不可度量的属性，比如房间的拥挤程度、饮料的浓度、图形的形状等等，这些属性无法直接用某个量进行刻画。我们既不能用纯粹的人多人少来说明房间的拥挤，也不能用纯粹的面积大小来说明房间的拥挤，必须综合考虑房间的面积大小和房间里的人数多少。而且，这两个量的相除关系才是有效的途径，把这两个量进行相加、相减、相乘的处理都没有意义。在刻画“哪个班植树活动的出勤情况更好”时，纯粹的参加活动人数多少也不能说明问题，还必须同时考虑其全班的人数多少。这时，出现了两个同类量，虽然这两个同类量可以进行相减，但得到的“没有参加植树活动的人数”同样不能说明问题，还得把“参加人数”和“全班人数”进行相除的处理。由此，物体间不可度量的属性，都可以通过把相关的两“数”相除变成“率”的方法进行数学刻画。“比”，赋予了物体不可度量属性的可比性！“比”的定义说清楚了“比”是什么，但没有呈现“由数成率”的方法和缘由。若没有概念的定义，我们就不知道这个概念到底是什么。不过，若只有概念的定义，割裂了概念的形成过程，学生无疑会失去更多——概念定义背后的数学方法、学生对概念的深度理解等等。有学者提出，每一个知识都兼具事实性、概念性、方法性、价值性四个侧面。知识的事实性，指人们在日常生活中对此的感悟和总结，没有概念去概括，客观的事实或现象只能是经验；没有方法去运用，概念或原理只能是词语符号；没有价值取向的揭示，方法只能是机械的步骤。由事实性到价值性，理解层层被递进，知识不断地变得越来越“有意义”。可惜的是，一般教师都只关注一个知识“是什么”、“怎么办”，也就是只关注知识的概念性和方法性，很少有意识地去追问“为什么”。几千年来，人类创造的数学知识浩瀚无边，为什么偏偏是那些数学知识进入小学数学的课堂？虽然数学一直在发展，为什么有些数学的概念和方法没有被边缘化，一直需要儿童们学习？“为什么”要创造这个概念，恰恰揭示数学知识体系中这个知识存在的必要性和合理性。教学重视“为什么“，甚至假设没有这个概念或方法又会怎样，也就凸显了一个知识的价值性，也就直抵了知识的最核心。在知识独到部分的放大里。数学思想是对数学知识和数学方法更精华的概括，因此，一个数学思想必然会蕴涵在不同知识的学习过程中。这便自然产生了一个问题，即在不同阶段面对不同学习内容，对同一个数学思想的渗透和感悟是否有不同的侧重？换言之，我们组织学生感悟数学思想、积淀数学学习经验，恐怕主要用“有机渗透、反复感悟”的办法，这里的“反复感悟”是否意味着不同情境下同一要点的简单重复呈现？答案是显而易见的，如果不同阶段都是一个要点毫无变化的反复呈现，那后续的渗透对于学生只是“重复识记”，除外也就没有价值。一个数学思想犹如一个万花筒，即便还是它，但稍一变化，就能呈现不一样的要点与价值。因此，我们需要结合数学思想在不同知识技能形成与运用过程中展示出的独到价值，把它挖掘并放大呈现，这样，得得相积，不同侧重点的聚集，对数学思想和数学经验的感悟便丰满起来。例如学习交换律、结合律、分配律，都是运用归纳推理学习新知，当猜想提出后，验证猜想都用“举例”的办法。但在不同的阶段，作为教师心中要有谋划，不能每次讲验证都只是“举例”这简单的两个字。最初的学习中，可以着重体现举的例子不能同质，设法囊括各种不同的情况，这样的举例才有验证的意义。再次的学习中，可以着重体会能不能举反例，因为许多个正面的例子不能保证猜想的成立，但一个反例足以说明猜想的不成立。如果举不出反例，就可以验证猜想。后面的学习中，可以进一步引导学生体会，举例总是令人不放心，在举例的基础上，学会运用其他数学知识赋予逻辑意义，例如同宽不同长的两个长方形，既可以合成一个大长方形计算面积，也可以分别计算图形的面积，这足以说明乘法分配律的成立，这样举例和讲理相结合，猜想的验证就完美了。一件能被称为艺术的作品，即便其中画了百十个人物，但肯定各具不同的姿势与神态。教学也是艺术，对数学思想的感悟自然也应该整体谋划，有序渗透。有些知识具有多元的价值，到底彰显放大那个方面，也值得斟酌思量。前段时间，和青年教师一起商讨“圆的面积”的教学，不免思考在面积公式的推导过程中让学生感悟体会什么。在平行四边形面积公式推导开始时，就开始提“转化”；三角形和梯形的面积计算办法的推导时，又讲“转化”；圆面积计算办法的推导时，难道再提“转化”吗？圆面积计算公式的推导中，到底什么最有价值？回顾历史发现，早在3600多年前，人们就掌握了圆面积的计算办法。古埃及草纸文献中（公元前1650年左右），在圆外面作外切的正方形，然后用匀称的谷粒铺满整个图形，再分别计量圆内的谷粒数量和外切正方形内的谷粒数量，计算两个量的比值，从而得圆面积S=d2，这个算法相当于“3.56r2”，与现行的圆面积计算办法已经没有本质区别。其后几千年，以阿基米德、祖冲之、刘徽、开普勒等为代表的数学家们苦苦探求的是圆面积计算办法的数学原理，他们探求的焦点都集中于如何化圆为方，跨越曲边图形和直边图形之间的界限。经过这样的历史考量，圆面积计算公式推导中最有价值的部分，不是新知识如何转化为旧知识，而是应该在“圆有限分割”的操作上想象“无限分割”，根据圆分割成4份、8份拼成图形的变化趋势去想象它们的终极状态，从而领会：“将圆无限分割后拼成的才是真正的长方形。”这个长方形正是这个无限图形序列的终极状态，也就是无穷系列的极限。这样，学生站到了微积分的门槛上