山东省青岛第三中学2024届数学高一第二学期期末预测试题含解析

山东省青岛第三中学2024届数学高一第二学期期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知数列an满足a1=1，aA．32021-18 B．320202．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（）A． B． C． D．3．在中，若°，°，．则=A． B． C． D．4．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（）A． B．C． D．5．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则（）A．6 B．5 C．4 D．36．定义运算，设，若，，，则的值域为（）A． B． C． D．7．已知空间中两点,则长为()A． B． C． D．8．等差数列{an}的公差是2，若a2,a4A．n(n+1) B．n(n-1) C．n(n+1)2 D．9．已知，若关于x的不等式的解集为，则（）A． B． C．1 D．710．如图，正四棱柱中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等比数列中，若，，则_____．12．已知，则的值是______.13．当时，的最大值为__________.14．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．15．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的值是______.16．函数的单调递减区间是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量是夹角为的单位向量，，（1）求；（2）当m为何值时，与平行？18．如图，四面体中，，，为的中点.（1）证明：；（2）已知是边长为2正三角形.（Ⅰ）若为棱的中点，求的大小；（Ⅱ）若为线段上的点，且，求四面体的体积的最大值.19．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）当为何值时，等式成立？20．已知函数(1)若关于的不等式的解集为,求的值;(2)若对任意恒成立,求的取值范围.21．已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和.（1）求；（2）记，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由题意得出3n+1-12<an+2【题目详解】∵an+1-又∵an+2-∵an∈Z，∴于是得到a3上述所有等式全部相加得a2019因此，a2019【题目点拨】本题考查数列项的计算，考查累加法的应用，解题的关键就是根据题中条件构造出等式an+22、D【解题分析】因为，所以，因此，选D.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.3、A【解题分析】∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘，a=2，∴由正弦定理得：.本题选择A选项.4、A【解题分析】

本题首先可将四个选项都转化为的形式，然后对四个选项的奇偶性以及周期性依次进行判断，即可得出结果．【题目详解】中，函数，是偶函数，周期为；中，函数是奇函数，周期；中，函数，是非奇非偶函数，周期；中，函数是偶函数，周期.综上所述，故选A．【题目点拨】本题考查对三角函数的奇偶性以及周期性的判断，考查三角恒等变换，偶函数满足，对于函数，其最小正周期为，考查化归与转化思想，是中档题．5、D【解题分析】

由众数就是出现次数最多的数，可确定，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出．【题目详解】由甲组数据的众数为11，得，乙组数据中间两个数分别为6和，所以中位数是，得到，因此.故选：D.【题目点拨】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．6、C【解题分析】

由题意，由于与都是周期函数，且最小正周期都是，故只须在一个周期上考虑函数的值域即可，分别画出与的图象，如图所示，观察图象可得：的值域为，故选C.7、C【解题分析】

根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案．【题目详解】由空间中的距离公式，可得，故选C．【题目点拨】本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、A【解题分析】试题分析：由已知得，a42=a2⋅a8，又因为{an}【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．9、B【解题分析】

由韦达定理列方程求出，即可得解．【题目详解】由已知及韦达定理可得，，，即，，所以．故选：．【题目点拨】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题．10、A【解题分析】

试题分析：连结，异面直线所成角为，设,在中考点：异面直线所成角二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4【解题分析】

根据等比数列的等积求解即可.【题目详解】因为,故.又,故.故答案为：4【题目点拨】本题主要考查了等比数列等积性的运用,属于基础题.12、【解题分析】

根据两角差的正切公式即可求解【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题13、-3.【解题分析】

将函数的表达式改写为：利用均值不等式得到答案.【题目详解】当时，故答案为-3【题目点拨】本题考查了均值不等式，利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键.14、3x＋4y－14＝0【解题分析】由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.15、【解题分析】

根据等差数列的通项公式即可求解【题目详解】故答案为：【题目点拨】本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题16、【解题分析】

求出函数的定义域，结合复合函数求单调性的方法求解即可.【题目详解】由，解得令，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增函数在定义域内单调递增函数的单调递减区间是故答案为：【题目点拨】本题主要考查了复合函数的单调性，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）﹣6【解题分析】

（1）利用单位向量的定义，直接运算即可；（2）利用，有，得出，然后列方程求解即可【题目详解】解：（1）；（2）当，则存在实数使，所以不共线，得，【题目点拨】本题考查向量平行的定义，注意列方程运算即可，属于简单题18、（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（1）取中点，连接，通过证明，证得平面，由此证得.（2）（I）通过证明，证得平面，由此证得,利用“直斜边的中线等于斜边的一半”这个定理及其逆定理，证得.（II）利用求得四面体的体积的表达式，结合基本不等式求得四面体的体积的最大值.【题目详解】（1）取的中点，所以，所以.又因为，所以，又，所以面，所以.（2）（Ⅰ）由题意得，在正三角形中，，又因为，且，所以面，所以.∵为棱的中点，∴，在中，为的中点，.∴（Ⅱ），四面体的体积，又因为，即，所以等号当且仅当时成立，此时.故所求的四面体的体积的最大值为.【题目点拨】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查直角三角形的判定，考查三棱锥体积的最大值的求法，考查基本不等式的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据对数的真数大于零，得出，解出该不等式即可得出函数的定义域；（2）根据对数的运算性质可得出关于的方程，解出即可.【题目详解】（1）由，得，所以，函数定义域为；（2）由，得，即，可得：，即，即，或，由于，得，所以，不合题意，所以，当时，等式成立.【题目点拨】本题考查了对数运算以及简单的对数方程的求解，解题时不要忽略真数大于零这一条件的限制，考查运算求解能力，属于基础题.20、（1）；（2）【解题分析】

(1)不等式可化为，而解集为，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：讨论和时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围；法二：利用二次函数在上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.【题目详解】（1）法一：不等式可化为，其解集为，由根与系数的关系可知，解得，经检验时满足题意.法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4，将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意.（2）法一：由题意可知恒成立，①若，则恒成立，符合题意。②若，则恒成立，而，当且仅当时取等号，所以，即.故实数的取值范围为.法二：二次函数的对称轴为.①若，即，函数在上单调递增，恒成立，故；②若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，由得.故；③若，即，此时函数在上单调递减，由得，与矛盾，故不存在.综上所述，实数的取值范围为.【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意